Cho mệnh đề chứa biến \(P\left(x\right)=\)"\(x\in R,x< x^2\) " . Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau: 1) \(P\left(1\right)\). 2) \(P\left(2\right)\) 3) \(\exists x\in R,P\left(x\right)\) 4) \(\forall x\in R,P\left(x\right)\) Hướng dẫn giải: 1) \(P\left(1\right)=\)" \(1< 1^2\)" là mệnh đề sai. 2) \(P\left(2\right)=\) " \(2< 2^2\) " là mệnh đề đúng. 3) " \(\exists x\in R,P\left(x\right)\) " là mệnh đề đúng (do \(P\left(2\right)\) là mệnh đề đúng). 4) " \(\forall x\in R,P\left(x\right)\) " là mệnh đề sai (do \(P\left(1\right)\) là mệnh đề sai).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? \(\forall x\in R,x^2< 0\) \(\exists x\in R,x^2< 0\) \(\forall x\in R,\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\) \(\exists x\in R,\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\) Hướng dẫn giải: \(\exists x\in R,\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\) đúng vì \(\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x-2}=x+2,\forall x\ne2\).
Xét hai mệnh đề P = " ABC là tam giác vuông " ; Q = " \(AB^2+AC^2=BC^2\)". Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Mệnh đề " \(P\Rightarrow Q\) " được phát biểu thành lời là " Nếu ABC là tam giác vuông thì \(AB^2+AC^2=BC^2\) " Mệnh đề " \(Q\Rightarrow P\) " được phát biểu thành lời là " Nếu \(AB^2+AC^2=BC^2\) thì ABC là tam giác vuông " " \(Q\Rightarrow P\) " là mệnh đề đúng. " \(P\Rightarrow Q\) " là mệnh đề đúng. Hướng dẫn giải: Nếu tam giác ABC vuông tại B thì không suy ra được \(AB^2+AC^2=BC^2\). Vì vậy " \(P\Rightarrow Q\)" không thể là mệnh đề đúng.
Xét hai mệnh đề P = " Tam giác ABC có \(\widehat{A}=90^0\) " ; Q = " BC là cạnh lớn nhất của tam giác ABC " . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? " Nếu tam giác ABC có \(\widehat{A}=90^0\) thì BC là cạnh lớn nhất của tam giác ABC " là phát biểu thành lời của " \(P\Rightarrow Q\) " " Nếu BC là cạnh lớn nhất của tam giác ABC thì tam giác ABC có \(\widehat{A}=90^0\) " là phát biểu thành lời của " \(Q\Rightarrow P\) " Mệnh đề " \(P\Rightarrow Q\) " đúng. Mệnh đề " \(Q\Rightarrow P\)" đúng. Hướng dẫn giải: Xét tam giác ABC cân tại A với \(\widehat{A}=120^0\) thì A là góc lớn nhất suy ra BC là cạnh lớn nhất vì vậy " \(Q\Rightarrow P\) " là mệnh đề sai.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Nếu \(3^{125}\) là số chẵn thì \(\sqrt{5}>4\) Nếu \(3^{125}\) là số chẵn thì \(\sqrt{5}< 4\) Nếu \(\sqrt{5}>4\) thì \(3^{125}\) là số chẵn. Nếu \(\sqrt{5}< 4\) thì \(3^{125}\) là số chẵn. Hướng dẫn giải: Nhắc lại rằng mệnh đề \(P\Rightarrow Q\) chỉ sai trong trường hợp P đúng và Q sai. Ta thấy \(\sqrt{5}< 4\) đúng , \(3^{125}\) sai nên " Nếu \(\sqrt{5}< 4\) thì \(3^{125}\) là số chẵn " là mệnh đề sai.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. Hướng dẫn giải: Tổng của hai số lẻ là một số chẵn nên " Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn " là mệnh đề sai. Tích của một số chẵn với một số lẻ lại là số chẵn nên " Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn " là mệnh đề sai. Tổng của hai số lẻ luôn luôn là số chẵn nên " Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ " là mệnh đề sai.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? \(\forall x\in R,\dfrac{1}{x}< 2\Leftrightarrow x>2\) \(\forall x\in R,x>1\Rightarrow\dfrac{2x}{x+1}< 1\) \(\forall x\in R,\dfrac{1}{x+1}< 0\Leftrightarrow x< -1\) \(\exists x\in R,x>1\Rightarrow\dfrac{2x}{x+1}< 1\) Hướng dẫn giải: Nhớ lại rằng nếu \(a,b\) cùng dấu thì \(\dfrac{a}{b}>0\), nếu \(a,b\) trái dấu thì \(\dfrac{a}{b}< 0\). Do đó \(\dfrac{1}{x+1}< 0\Leftrightarrow x+1< 0\Leftrightarrow x< -1\). Vì vậy " \(\forall x\in R,\dfrac{1}{x+1}< 0\Leftrightarrow x< -1\) " là mệnh đề đúng.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? \(\forall n\in N,\) \(n^2\) chẵn khi và chỉ khi \(n\) chẵn. \(\forall n\in N,\) \(n^2\) là bội số của 3 khi và chỉ khi \(n\) là bội số của 3. \(\forall n\in N,\) nếu \(n^2\)chia hết cho 6 thì \(n\) chia hết cho 6. \(\forall n\in N,\) nếu \(n^2\) chia hết cho 9 thì n chia hết cho 9. Hướng dẫn giải: Mệnh đề " \(\forall n\in N,\) nếu \(n^2\) chia hết cho 9 thì n chia hết cho 9 " sai vì có " \(3^2\) chia hết cho 9" đúng nhưng "3 chia hết cho 9" sai .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? \(\forall x\in R,x^2>x\) \(\forall x\in R,x^2\ge x\) \(\forall x\in R,\left|x\right|>1\Rightarrow x>1\) \(\exists x\in R,x^2< x\) Hướng dẫn giải: Vì \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2< \dfrac{1}{2}\) đúng nên " \(\exists x\in R,x^2< x\) " là mênh đề đúng.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Với mọi số thực x, nếu \(x< -2\) thì \(x^2< 4\) Với mọi số thực x, nếu \(x< -2\) thì \(x^2>4\). Với mọi số thực x, nếu \(x^2< 4\) thì \(x< -2\) Với mọi số thực x, nếu \(x^2>4\) thì \(x>-2\). Hướng dẫn giải: Ta có \(x^2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)\) . Nếu \(x< -2\) thì \(x-2< 0,x+2< 0\) suy ra \(x^2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)>0\) nên \(x^2>4\). Vì vậy "Với mọi số thực x, nếu \(x< -2\) thì \(x^2>4\) " là mệnh đề đúng.
