Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? \(\forall x\in R,\forall y\in R,x+y^2\ge0\) \(\exists x\in R,\forall y\in R,x+y^2\le0\) \(\forall x\in R,\exists y\in R,x+y^2\ge0\) \(\exists x\in R,\forall y\in R,x+y^2\ge0\) Hướng dẫn giải: Ta có \(0+y^2\ge0\) đúng với mọi số thực y nên " \(\exists x\in R,\forall y\in R,x+y^2\ge0\)" là mệnh đề đúng.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện \(\left(\dfrac{1}{n}\right)^2=2\) Với mọi số tự nhiên n, \(n^2+1\) không chia hết cho 3. Tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện \(n^2=2\). Tồn tại hai số tự nhiên \(m,n\) thỏa mãn điều kiện \(\left(\dfrac{m}{n}\right)^2=2\) Hướng dẫn giải: Nếu n là bội số của 3 thì \(n^2\) cũng là bội của 3, do đó \(n^2+1\) chia 3 dư 1. Nếu n chia 3 dư 1 hoặc 2 thì \(n^2\) chia 3 dư 1, do đó \(n^2+1\) chia 3 dư 2. Do đó " Với mọi số tự nhiên n, \(n^2+1\) không chia hết cho 3 " là mệnh đề đúng.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Với mọi số nguyên tố p lớn hơn 3, số \(p^2-1\) chia hết cho 2. Với mọi số nguyên tố p lớn hơn 3, số \(p^2-1\) chia hết cho 4. Với mọi số nguyên tố p lớn hơn 3, số \(p^2-1\) chia hết cho 8. Với mọi số nguyên tố p lớn hơn 3, số \(p^2-1\) chia hết cho 16. Hướng dẫn giải: \(p=5\) là số nguyên tố lớn hơn 3 nhưng \(p^2-1=24\) không chia hết cho 16. Vì vậy " Với mọi số nguyên tố p lớn hơn 3, số \(p^2-1\) chia hết cho 16 " là mệnh đề sai.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? \(\forall x\in R,\forall y\in R,x^2+y^2\ge-2xy\) \(\forall x\in R,\forall y\in R,\left|x-y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\) \(\forall x\in R,\forall y\in R,\left|x+y\right|=\left|x\right|+\left|y\right|\Rightarrow x\ge0,y\ge0\) \(\forall x\in R,\forall y\in R,\left|x-y\right|=\left|x\right|+\left|y\right|\Leftrightarrow xy\le0\) Hướng dẫn giải: " \(\forall x\in R,\forall y\in R,\left|x+y\right|=\left|x\right|+\left|y\right|\Rightarrow x\ge0,y\ge0\) " sai vì \(\left|x+y\right|=\left|x\right|+\left|y\right|\) cũng đúng cả khi \(x,y\) cùng âm.
Viết mệnh đề phủ định \(\overline{P}\) của mệnh đề P = "Tất cả các học sinh khối 10 của trường em đều biết bơi ". \(\overline{P}\) = " Tất cả các học sinh khối 10 trường em đều biết bơi " \(\overline{P}\) = " Tất cả các học sinh khối 10 trường em đều không biết bơi " \(\overline{P}\) = " Trong các học sinh khối 10 trường em có bạn không biết bơi " \(\overline{P}\) = " Trong số học sinh khối 10 trường em có bạn biết bơi" Hướng dẫn giải: Kí hiệu \(X\) là tập hợp học sinh khối 10 của trường và \(P\left(x\right)\) là mệnh đề chứa biến " \(x\) biết bơi " thì có thể viết lại mệnh đề đã cho dưới dạng sau: \(P=\) " \(\forall x\in X,P\left(x\right)\) ". Phủ định của P là \(\overline{P}\)= " \(\exists x\in X,\overline{P\left(x\right)}\) " tức là " tồn tại một học sinh khối 10 không biết bơi " hay " Trong các học sinh khối 10 trường em có bạn không biết bơi " .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề phủ định đúng? \(\exists x\in Z,x^2=9\) \(\exists n\in N,\left(n^2+1\right)⋮4\) \(\forall n\in N,\left(n^2+1\right)⋮̸3\) \(\exists\in Z,\left(x-1\right)^2=x-1\) Hướng dẫn giải: Phủ định của \(P=\)" \(\exists x\in Z,x^2=9\) " là \(\overline{P}=\) " \(\forall x\in Z,x^2\ne9\) ". Mệnh đề \(\overline{P}\) sai vì có \(x=3\) làm cho \(P\) đúng. Phủ định của \(Q=\)" \(\forall n\in N,\left(n^2+1\right)⋮̸3\) " là \(\overline{Q}=\) " \(\exists n\in N,\left(n^2+1\right)⋮3\) ". Mệnh đề \(\overline{Q}\) sai vì Q đúng ( nếu n là bội của 3 thì \(n^2⋮3\) suy ra \(\left(n^2+1\right)⋮̸3\) , còn nếu n không là bội số của 3 thì \(n^2\) chia 3 dư 1, suy ra \(\left(n^2+1\right)\) chia 3 dư 2. Phủ định của \(R=\) " \(\exists x\in Z,\left(x-1\right)^2=x-1\) " là \(\overline{R}=\) " \(\forall x\in Z,\left(x-1\right)^2\ne x-1\) " . Mệnh đề \(\overline{R}\) sai vì R là mệnh đề đúng ( có \(x=2\in Z\) mà \(\left(x-1\right)^2=x-1\) ) Phủ định của mệnh đề \(T=\)" \(\exists n\in N,\left(n^2+1\right)⋮4\) " là \(\overline{T}=\) " \(\forall n\in N,\left(n^2+1\right)⋮̸4\) " Mệnh đề \(\overline{T}\) đúng vì \(\left(n^2+1\right)\) chia 4 dư 1 khi n chẵn; dư 2 khi n là số lẻ. Đáp số: \(\exists n\in N,\left(n^2+1\right)⋮4\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? \(\forall x\in Z,x^2>0\) \(\forall n\in N,n^2+9\) là hợp số. \(\exists n\in N,2^n-1\) là số nguyên tố. \(\exists n\in N,n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\) không phải là bội của 6. Hướng dẫn giải: Vì \(0\in Z\) và \(0^2\) không lớn hơn 0 nên " \(\forall x\in Z,x^2>0\) " là mệnh đề sai. Vì \(2\in N\) và \(2^2+9=13\) là số nguyên tố nên " \(\forall n\in N,n^2+9\) là hợp số " là mệnh đề sai. Vì \(2\in N,2^2-1=3\) là số nguyên tố nên " \(\exists n\in N,2^n-1\) là số nguyên tố " là mệnh đề đúng.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9 Nếu a và b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5 Nếu 2 tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau Hướng dẫn giải: - Mệnh đề "Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9 " có mệnh đề đảo " Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3" đúng. - Mệnh đề "Nếu a và b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c" có mệnh đề đảo "Nếu a + b chia hết cho c thì a và b cũng chia hết cho c" sai vì 6 = 5 + 1 chia hết cho 3 nhưng 5 và 1 không chia hết cho 3. - Mệnh dề "Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5" có mệnh đề đảo "Nếu một số chia hết cho 5 thì có tận cùng bằng 0" sai vì 25 chia hết cho 5 nhưng không có tận cùng 0. - Mệnh đề " Nếu 2 tam giác có diện tích bằng nhau thì có diện tích bằng nhau" sai (các tam giác có chung đáy BC và có đỉnh A chạy trên một đường thẳng song song với BC thì có cùng diện tích nhưng không bằng nhau).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? \(\exists x\in Z,2x^2-8=0\) \(\exists n\in N,\left(n^2+1\right)⋮4\) \(\exists\) số nguyên tố chia hết cho 5. \(\exists n\in N,n^2+11n+2\) chia hết cho 11. Hướng dẫn giải: Nếu \(n\) chẵn thì \(n=2k,k\in N\) suy ra \(\left(n^2+1\right)=\left(\left(2k\right)^2+1\right)=\left(4k^2+1\right)⋮̸4\) . Nếu n lẻ thì \(n=2k+1,k\in N\) suy ra \(\left(n^2+1\right)=\left(\left(2k+1\right)^2+1\right)=\left(4k^2+4k+2\right)⋮̸4\). Do đó không có số tự nhiên n nào mà \(\left(n^2+1\right)⋮4\) . Vì vậy mệnh đề " \(\exists n\in N,\left(n^2+1\right)⋮4\) " sai.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? \(\forall x\in R,-x^2< 0\) \(\exists n\in N,n\left(n+11\right)+6\) chia hết cho 11. Không có số chẵn nào là số nguyên tố. Phương trình \(3x^2-6=0\) có nghiệm hữu tỷ. Hướng dẫn giải: Với \(n=4\) thì \(n\left(n+11\right)+6=66\) chia hết cho 11. Vậy mệnh đề " \(\exists n\in N,n\left(n+11\right)+6\) chia hết cho 11 " là mệnh đề đúng.