PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ QUAY VÀ ỨNG DỤNG1. Cơ sở của phương pháp - Bản chất của dao động điều hòa: Là chuyển động của hình chiếu của một chuyển động tròn đều lên một trục tọa độ thuộc mặt phẳng quỹ đạo. - Điểm M chuyển động tròn đều thì hình chiếu của nó M' dao động điều hoà trên trục Ox. - Do vậy dao động điều hòa có thể được biểu diễn bằng chuyển động tròn đều tương ứng. 2. Phương pháp véc tơ quay (giản đồ véc tơ) - Biểu diễn DĐĐH có phương trình: \(x = A\cos(\omega t + \varphi)\) (*) - Các bước: B1: Vẽ trục tọa độ Ox nằm ngang. B2: Vẽ véc tơ \(\overrightarrow{OM}\left\{ \begin{array}{} (\overrightarrow{OM}, Ox) = \varphi\\ OM = A \end{array} \right. \) B3: Khi t = 0, cho \(\overrightarrow{OM}\) quay đều quanh O với tốc độ góc \(\omega\). Khi đó véc tơ quay \(\overrightarrow{OM}\) biểu diễn DĐĐH có phương trình (*). - Ví dụ: Biểu diễn bằng véc tơ quay phương trình sau: \(x = 5\cos(10\pi t +\frac{\pi}{3})(cm)\) Lời giải: Ta biểu diễn như hình bên dưới 3. Tìm pha ban đầu của dao động điều hòa - Ở bài Khái niệm về dao động, dao động điều hòa, ta đã biết một cách để tìm pha ban đầu trong dao động. Bây giờ, khi đã biết cách biểu diễn dao động điều hòa bằng véc tơ quay, chúng ta có một cách khác để tìm pha ban đầu. - Nhận xét: Khi véc tơ quay ở nửa trên vòng tròn ứng với dao động theo chiều âm, và ngược lại. - Từ đó, chúng ta có sơ đồ để tìm pha ban đầu như sau: (Để đơn giản, ta giả sử một dao động điều hòa biên độ 2cm, khi đó, pha ban đầu được xác định theo tọa độ tương ứng như hình vẽ bên dưới) Căn cứ theo hình vẽ, nếu ở thời điểm ban đầu: Vật qua VTCB theo chiều dương \(\Rightarrow\varphi = -\frac{\pi}{2}\); Vật qua VTCB theo chiều âm \(\Rightarrow\varphi = \frac{\pi}{2}\); Vật qua li độ 1 cm theo chiều dương \(\Rightarrow\varphi = -\frac{\pi}{3}\); Vật qua li độ 1 cm theo chiều âm \(\Rightarrow\varphi = \frac{\pi}{3}\); Vật qua li độ √2 cm theo chiều dương \(\Rightarrow\varphi = -\frac{\pi}{4}\); Vật qua li độ √2 cm theo chiều âm \(\Rightarrow\varphi = \frac{\pi}{4}\); Vật qua li độ √3 cm theo chiều dương \(\Rightarrow\varphi = -\frac{\pi}{6}\); Vật qua li độ √3 cm theo chiều dương \(\Rightarrow\varphi = \frac{\pi}{6}\); Vật qua li độ dương \(\Rightarrow\varphi = 0\) Một cách tương tự, các bạn có thể tìm được pha ban đầu khi vật dao động ở phía li độ âm (-1cm; -√2cm; -√3 cm; -2cm). 4. Tính thời gian dao động - Bài toán: Tính thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x1 đến li độ x2. - Nhận xét: Thời gian: \(t_{x_1\rightarrow x_2} = t_{M_1\rightarrow M_2}=\frac{\alpha}{360}T\) (Vì véc tơ quay quay đều quanh O, nó quay hết 1 vòng ứng với góc quay 3600 và thời gian là 1 chu kì T). Ta có thể tính: \(\alpha = \alpha_1+\alpha_2\); với \(\sin(\alpha_1)=|\frac{x_1}{A}|\), \(\sin(\alpha_2)=|\frac{x_2}{A}|\) - Ví dụ: Chất điểm dao động điều hòa quanh VTCB O với chu kì T =2s, biên độ 4cm. Tính thời gian ngắn nhất để chất điểm đi từ x1=-2cm đến x2=\(2\sqrt3\) cm. Lời giải: \(\sin \alpha_1=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha_1=30^0\) \(\sin \alpha_2=\frac{2\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2}\Rightarrow \alpha_2=60^0\) Góc quay \(\alpha = \alpha_1+\alpha_2 = 30 +60=90^0\) Thời gian: \(t=\frac{90}{360}T=\frac{T}{4}=2/4=0,5\)(s) 5. Tính quãng đường - Nhận xét: Trong thời gian t = T, quãng đường vật đi được: S=4A. Trong thời gian t = T/2, quãng đường vật đi được: S=2A. Với thời gian t < T/2, thì quãng đường vật đi được không còn tỉ lệ nữa. Do đó, để tính quãng đường vật đi được trong thời gian t, ta phân tích: \(t=n\frac{T}{2}+\Delta t\) Quãng đường vật đi được: \(S= n.2A+\Delta S\), với \(\Delta S\) được tính theo \(\Delta t\) - Ví dụ: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình: \(x=4\cos(2\pi t-\frac{\pi}{3})\)(cm). Tính quãng đường chất điểm đi được trong thời gian: \(5\frac{1}{6}\)s đầu tiên. - Lời giải: Chu kì: T = 1s. Ta có: t = \(5\frac{1}{6}\)= 5+\(\frac{1}{6}\) (s) = 5T + T/6. Trong thời gian 5T, quãng đường S1=5.4A=20A = 20.4=80 (cm) Sau 5T, véc tơ quay quay được 5 vòng và về vị trí ban đầu (M), do đó trong thời gian T/6 còn lại: Góc quay: \(\alpha = \frac{1}{6}360\)= 600 Khi đó, véc tơ quay quét một góc 600 từ M đến N, ứng với dao động đi từ 2 đến 4cm. Quãng đường: S2=4 - 2= 2cm. Vậy tổng quãng đường vật đi được là: S = S1+S2 = 80 + 2 = 82 (cm). 6. Tính số lần dao động qua một vị trí - Bây giờ, sau khi hiểu rõ mục 5, 6, bạn có thể nghĩ ra cách làm của bài toán tính số lần vật qua một vị trí. Hãy làm ví dụ sau nhé: - Ví dụ: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình: \(x=4\cos(2\pi t-\frac{\pi}{3})\)(cm). a) Tính số lần vật qua VTCB trong 5 s đầu tiên. b) Tính số lần vật qua li độ x = 3 cm trong 5,5 s đầu tiên. c) Tính số lần vật qua li độ x = 3 cm theo chiều dương trong 5,5 s đầu tiên. Hướng dẫn: Ta biểu diễn véc tơ quay như sau Dựa vào véc tơ quay ở trên, các bạn có thể dễ dàng tính ra đáp số như sau: a) 10 lần. b) 11 lần. c) 5 lần.
Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình x = Asinωt. Nếu chọn gốc toạ độ O tại vị trí cân bằng của vật thì gốc thời gian t = 0 là lúc vật ở vị trí li độ cực đại thuộc phần dương của trục Ox. qua vị trí cân bằng O ngược chiều dương của trục Ox. ở vị trí li độ cực đại thuộc phần âm của trục Ox. qua vị trí cân bằng O theo chiều dương của trục Ox. Hướng dẫn giải: Đổi: x = Asinωt = Acos(ωt - \(\frac{\pi}{2}\)) Biểu diễn thời điểm ban đầu trên véc tơ quay ta có: Véc tơ OM quay ngược chiều kim đồng hồ nên hình chiếu của nó lên Ox chuyển động qua O theo chiều dương (từ trái sang phải). Vậy t = 0, vật qua vị trí cân bằng O theo chiều dương trục Ox.
Một vật nhỏ dao động điều hòa có biên độ A, chu kì dao động T, ở thời điểm ban đầu to = 0 vật đang ở vị trí biên. Quãng đường mà vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t = T/4 là: A/2. 2A. A/4. A. Hướng dẫn giải: Sau thời gian t = T/4, véc tơ quay đã quay một góc: $90^0$, ứng với vị trí từ M đến N. Do đó, hình chiếu véc tơ này đi quãng đường từ biên A về O, có giá trị là A.
Một vật dao động điều hoà với tần số góc ω= 5rad/s. Lúc t = 0, vật đi qua vị trí có li độ là x = -2cm và có vận tốc 10(cm/s) hướng về phía vị trí biên gần nhất. Phương trình dao động của vật là: \(x=2\sqrt2\cos(5t+\frac \pi 4)(cm).\) \(x=2\cos(5t-\frac \pi 4)(cm).\) \(x=\sqrt2\cos(5t+\frac {5\pi} 4)(cm).\) \(x=2\sqrt2\cos(5t+\frac {3\pi} 4)(cm).\) Hướng dẫn giải: Biên độ dao động: \(A^2 = x^2 +\frac{v^2}{\omega ^2} = (-2)^2 + \frac{(10)^2}{5^2}=2.2^2 \Rightarrow A = 2\sqrt 2\) (cm) Pha ban đầu được xác định theo thời điểm ban đầu, như hình vẽ: Suy ra φ = 90 + 45 = 1350 = \(\frac{3\pi}{4}\)(rad) Vậy PTDĐ: \(x=2\sqrt2\cos(5t+\frac {3\pi} 4)(cm).\)
Một vật dao động điều hoà có chu kì T = 1s. Lúc t = 2,5s, vật nặng đi qua vị trí có li độ là x = \(-5\sqrt 2\)cm với vận tốc là v = \(-10\pi\sqrt 2\)cm/s. Phương trình dao động của vật là: \(x=10\cos(2\pi t + \frac \pi 4)(cm).\) \(x=10\cos(\pi t - \frac \pi 4)(cm).\) \(x=20\cos(2\pi t - \frac \pi 4)(cm).\) \(x=10\cos(2\pi t - \frac \pi 4)(cm).\) Hướng dẫn giải: Phương trình dao động tổng quát: \(x=A\cos(\omega t + \varphi)\) + \(\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\)(rad/s). + Áp dụng công thức độc lập: \(A^2 = x^2 +\frac{v^2}{\omega ^2} = (-5\sqrt 2)^2+(\frac{-10\pi\sqrt 2}{2\pi})^2 = 10\)(cm). + Tìm pha ban đầu: Tại thời điểm t = 2,5 s chất điểm ở vị trí ứng với véc tơ quay tại M. Chu kì T = 1s, như vậy kể từ thời điểm ban đầu, véc tơ quay đã quay được 2,5 vòng để đến M. Do đó muốn xác định thời điểm ban đầu, ta có véc tơ OM quay ngược về trước 2,5 vòng, nghĩa là quay theo chiều kim đồng hồ 2,5 vòng và đến N. Vậy N là vị trí véc tơ quay ở thời điểm ban đầu. Từ hình vẽ, ta thấy pha ban đầu: \(\varphi = -\frac{\pi}{4}\) Vậy phương trình dao động: \(x=10\cos(\pi t - \frac \pi 4)(cm).\)
Một vật dao động điều hoà đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm ở thời điểm ban đầu. Khi vật đi qua vị trí có li độ \(x_1=3cm\) thì có vận tốc \(v_1=8\pi \;cm/s\), khi vật qua vị trí có li độ \(x_2=4cm\) thì có vận tốc \(v_2=6\pi \;cm/s\). Vật dao động với phương trình có dạng: \(x=5\cos(2\pi t +\frac \pi 2)(cm).\) \(x=5\cos(2\pi t + \pi)(cm).\) \(x=10\cos(2\pi t + \frac \pi 2)(cm).\) \(x=5\cos(4\pi t - \frac \pi 2)(cm).\) Hướng dẫn giải: Phương trình dao động tổng quát: \(x= A\cos(\omega t + \varphi)\) Áp dụng công thức độc lập: \(A^2 = x^2 + \frac{v^2}{\omega ^2} \Rightarrow A^2 = 3^2 + \frac{(8\pi)^2}{\omega ^2} = 4^2 + \frac{(6\pi)^2}{\omega ^2} \) Suy ra: \(\omega = 2\pi\)(rad/s) ; A = 5 cm. Thời điểm ban đầu vật qua VTCB theo chiều âm nên \(\varphi = \frac{\pi}{2}\) (rad) Vậy PTDĐ: \(x=5\cos(2\pi t + \frac \pi 2)(cm).\)
Một chất điểm dao động dọc theo trục Ox. Theo phương trình dao động \(x=2\cos(2\pi t +\pi)(cm)\). Thời gian ngắn nhất vật đi từ lúc bắt đầu dao động đến lúc vật có li độ \(x=\sqrt3 cm\) là: 2,4s. 1,2s. 5/6s. 5/12s.
Một chất điểm dao động với phương trình dao động là \(x= 5\cos(8\pi t-\frac{2\pi} 3 )(cm)\). Thời gian ngắn nhất vật đi từ lúc bắt đầu dao động đến lúc vật có li độ x = 2,5cm là 3/8s. 1/24s. 8/3s. 1/12s.
Một chất điểm dao động dọc theo trục Ox. Phương trình dao động là \(x= 4\cos(5\pi t)(cm)\). Thời gian ngắn nhất vật đi từ lúc bắt đầu dao động đến lúc vật đi được quãng đường S = 6cm là: 3/20s. 2/15s. 0,2s. 0,3s.
Vật dao động điều hoà theo phương trình \(x= \cos(\pi t - \frac{2\pi} 3)(dm)\). Thời gian vật đi được quãng đường S = 5cm kể từ thời điểm ban đầu t = 0 là: 1/4s. 1/2s. 1/6s. 1/12s.
