I. Qui tắc lũy thừa khử căn: Khi khử căn, ta dùng một số phép biến đổi tương đương sau: (1) \(\sqrt{A}=B\Leftrightarrow\begin{cases}B\ge0\\A=B^2\end{cases}\) (2) \(\sqrt{A}=\sqrt{B}\Leftrightarrow\begin{cases}A\ge0\\A=B\end{cases}\) (*) \(\sqrt{A}=\sqrt{B}\Leftrightarrow\begin{cases}B\ge0\\A=B\end{cases}\) (**) (chú ý chọn phép biến đổi tương đương phù hợp, chọn (*) nếu biểu thức A đơn giản hơn, chọn (**) nếu B đơn giản hơn) (3) \(\sqrt[3]{A}=B\Leftrightarrow A=B^3\) (4) \(\sqrt[3]{A}=\sqrt[3]{B}\Leftrightarrow A=B\) II. Các ví dụ 1) Ví dụ 1: Giải phương trình: \(2\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}=4\) Giải: Điều kiện: \(x\ge-1\), khi đó phương trình đã cho tương đương với: \(2\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}+4\) \(4\left(x+2+2\sqrt{x+1}\right)=x+1+16+8\sqrt{x+1}\) \(3x=9\) \(x=3\) (thỏa mãn điều kiện) 2) Ví dụ 2: (Đề ĐH-2009A) Giải phương trình \(2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}-8=0\) Giải: ĐK: \(x\le\frac{6}{5}\) Đặt \(u=\sqrt[3]{3x-2}\) => \(x=\frac{u^3+2}{3}\) => \(6-5x=\frac{8-5u^3}{3}\) Phương trình trở thành: \(2u+3\sqrt{\frac{8-5u^3}{3}}-8=0\) \(\Leftrightarrow3\sqrt{\frac{8-5u^3}{3}}=8-2u\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}8-2u\ge0\\3\left(8-5u^3\right)=\left(8-2u\right)^2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u\le4\\15u^3+4u^2-32u+40=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u\le4\\15u^3+30u^2-26u^2-52u+20u+40=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u\le4\\15u^2\left(u+2\right)-26u\left(u+2\right)+20\left(u+2\right)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u\le4\\\left(u+2\right)\left(15u^2-26u+20\right)=0\end{cases}\) \(u=-2\) Vậy \(\sqrt[3]{3x-2}=-2\Leftrightarrow3x-2=-8\Leftrightarrow x=-2\) (thỏa mãn điều kiện)
