Cho \(A=\left\{1;2;3\right\}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? \(\varnothing\subset A\) \(2\in A\) \(\left\{2;3\right\}\subset A\) \(A=\left(1;2;3\right)\) Hướng dẫn giải: \(\varnothing\subset A\): tập rỗng là tập con của tập A. Đúng \(2\in A\): 2 là một phần tử của tập A. Đúng \(\left\{2;3\right\}\subset A\): Tập \(\left\{2;3\right\}\) là một bộ phận của tập A. Đúng Khẳng định \(A=\left(1;2;3\right)\) sai.
Mệnh đề nào sau đây sai? \(A\in A\) \(\varnothing\subset A\) \(A\subset A\) \(A\ne\left\{A\right\}\) Hướng dẫn giải: \(\varnothing\subset A\): Tập rỗng là tập con của tập hợp A. Đúng. \(A\subset A\): Tập hợp A là tập con của chính nó. Đúng. \(A\ne\left\{A\right\}\): A là một phần tử của tập \(\left\{A\right\}\) , do đó \(A\ne\left\{A\right\}\) đúng. Mệnh đề \(A\in A\) sai.
Xác định tập hợp \(A=\left\{x\in\mathbb{R}|\left(x^2-4\right)\left(x^2+2\right)=0\right\}\) bằng cách liệt kê các phần tử của nó. \(A=\left\{-2\right\}\) \(A=\left\{2\right\}\) \(A=\left\{-2;2\right\}\) \(A=\left\{-2;2;-\sqrt{2};\sqrt{2}\right\}\) Hướng dẫn giải: \(\left(x^2-4\right)\left(x^2+2\right)=0\Leftrightarrow x^2-4=0\) (do \(x^2+2>0,\forall x\)) \(\Leftrightarrow x=-2;x=2\). Do đó \(A=\left\{-2;2\right\}\)
Xác định tập hợp \(A=\left\{x\in\mathbb{R}|x^4-6x^2+8=0\right\}\) bằng cách liệt kê các phần tử của nó. \(A=\left\{\sqrt{2};2\right\}\) \(A=\left\{-\sqrt{2};-2\right\}\) \(A=\left\{-2;\sqrt{2}\right\}\) \(A=\left\{-2;2;-\sqrt{2};\sqrt{2}\right\}\) Hướng dẫn giải: \(x^4-6x^2+8=0\Leftrightarrow x^4-4x^2-\left(2x^2-8\right)=0\Leftrightarrow\left(x^2-4\right)\left(x^2-2\right)=0\) \(\Leftrightarrow x^2=4;x^2=2\Leftrightarrow x=\pm2;x=\pm\sqrt{2}\). Đáp số: \(A=\left\{-2;2;-\sqrt{2};\sqrt{2}\right\}\)
Xác định tập hợp A các ước số chung của 36 và 120 bằng cách liệt kê các phần tử của nó. A = \(\left\{1;2;3;6;12\right\}\) A = \(\left\{1;2;3;4;6;12\right\}\) A = \(\left\{1;2;3;4;6;8;12\right\}\) \(A=\left\{2;3;4;6;8;12\right\}\) Hướng dẫn giải: Có \(36=2^2.3^2\) và \(120=2^3.3.5\) nên các ước số chung của 36 và 120 có dạng \(x=2^a.3^b\) trong đó \(a=0;1;2\) và \(b=0;1\). Do đó A = \(\left\{1;2;3;4;6;12\right\}\).
Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập rỗng? \(A=\left\{x\in\mathbb{N}|x^2-4=0\right\}\) \(B=\left\{x\in\mathbb{R}|x^2-5=0\right\}\) \(C=\left\{x\in\mathbb{N}|x^2-3=0\right\}\) \(D=\left\{x\in\mathbb{Q}|x^2+x-12=0\right\}\) Hướng dẫn giải: \(A=\left\{x\in\mathbb{N}|x^2-4=0\right\}\)\(=\left\{2\right\}\)\(\ne\varnothing\) \(B=\left\{x\in\mathbb{R}|x^2-5=0\right\}\)\(=\left\{-\sqrt{5};\sqrt{5}\right\}\)nên \(B\ne\varnothing\) \(D=\left\{x\in\mathbb{Q}|x^2+x-12=0\right\}\)\(=\left\{3;-4\right\}\ne\varnothing\) Vậy \(C=\left\{x\in\mathbb{N}|x^2-3=0\right\}\)là tập rỗng
Xét hai tập hợp \(X=\left\{x\in\mathbb{N}|x⋮4\&x⋮6\right\}\), \(Y=\left\{x\in\mathbb{N}|x⋮12\right\}\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây sai? \(X\subset Y\) \(X\ne Y\) \(Y\subset X\) \(X=Y\) Hướng dẫn giải: Nếu \(x\in X\) thì \(x⋮4\) và \(x⋮6\), suy ra \(x⋮4\) và \(x⋮3\), do đó \(x⋮12\) (vì 3 và 4 là 2 số nguyên tố cùng nhau). tức là \(x\in Y\). Đảo lại, nếu \(x\in Y\) thì \(x\)là bội số của 12, suy ra \(x\)\(⋮4\) và\(x⋮6\), tức là \(x\in X\). Vậy \(X=Y\). Khẳng định sai là \(X\ne Y\)
Tìm tập hợp không rỗng trong các tập hợp sau A = \(\left\{x\in\mathbb{R}|x^2-x+1=0\right\}\) B = \(\left\{x\in\mathbb{N}|x+5=0\right\}\) C = \(\left\{x\in\mathbb{Z}|\left(4x-3\right)\left(x^2+3\right)=0\right\}\) D = \(\left\{x\in\mathbb{Q}|\left(3x-5\right)\left(x^3-x+1\right)=0\right\}\) Hướng dẫn giải: \(x=\dfrac{5}{3}\in\)D nên D \(\ne\varnothing\).
Kí hiệu \(B_n\)là tập hợp các số nguyên chia hết cho n. Điều kiện cần và đủ để \(B_n\subset B_m\)là n là bội của m m là bội của n n nhỏ hơn m m là số liền sau của n Hướng dẫn giải: Trước hết ta chứng minh rằng quan hệ chia hết cho trong tập hợp số tự nhiên có tính chất bắc cầu, tức là với ba số tự nhiên \(m,n,p\), nếu \(m⋮n\) và \(n⋮p\) thì \(m⋮p\). Thật vậy, các giả thiết này có nghĩa là tồn tại hai số tự nhiên \(k,l\)sao cho \(m=kn\) và \(n=lp\). Suy ra \(m=kn=k\left(lp\right)=\left(kl\right)p\), do đó \(m⋮p\) (đpcm). Áp dụng nhận xét trên ta có thể dễ dàng chứng minh đáp số đúng là " n là bội số của m". Thật vậy: - Nếu n là bôi số của m thì \(\forall x\in B_n\)có \(n⋮m\) và \(x⋮n\) suy ra \(x⋮m\) , do đó \(x\in B_m\). Vì vậy \(B_n\subset B_m\). - Đảo lại, nếu \(B_n\subset B_m\) thì chú ý rằng \(n\in B_n\) suy ra \(n\in B_m\), do đó n là bối số của m.
Tập hợp nào trong các tập hợp sau có đúng 1 tập hợp con? \(\left\{a\right\}\) \(\left\{\varnothing\right\}\) \(\varnothing\) \(\left\{\left\{a\right\}\right\}\) Hướng dẫn giải: Tập rỗng có 1 tập con duy nhất là chính nó.
