TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ1. TIỆM CẬN NGANG - Đường thẳng \(\displaystyle y = {y_0}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(\displaystyle y = f(x)\) nếu \(\displaystyle {y_0} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\) hoặc \(\displaystyle {y_0} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\). - Những hàm thường gặp là hàm phân thức với bậc của tử không lớn hơn bậc của mẫu. Ví dụ 1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số a) \(\displaystyle y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) b) \(\displaystyle y = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - x + 1}}\) c) \(\displaystyle y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }}\) hướng dẫn: a) Ta có \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 2\) . Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là đường \(\displaystyle y = 2\). b) Ta có \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + 2}}{{{x^2} - x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}} = 0\). Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường \(\displaystyle y = 0\). c) Ta có \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {2 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\). Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang. - Chú ý: Đối với hàm phân thức, khi tính giới hạn khi \(\displaystyle x \to \pm \infty \) thì ta chỉ cần tính giới hạn của biểu thức với các bậc lớn nhất. Ví dụ 2: Tìm \(\displaystyle m\) để đồ thị hàm số \(\displaystyle y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }}\) có hai tiệm cận ngang. Hướng dẫn: Ta có \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{x}{{\sqrt {m{x^2}} }} = \pm \frac{1}{{\sqrt m }}\) . Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi giới hạn trên tồn tại hay \(\displaystyle m > 0\). - Không chỉ có hàm phân thức mới có tiệm cận ngang, hàm căn thức cũng có thể có tiệm cận ngang. Ví dụ 3: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(\displaystyle y = \sqrt {{x^2} + 2x + 3} - x\) Hướng dẫn: - Ta có \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 3} - x} \right) = + \infty \). Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang về bên trái. - Có \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 3} - x} \right)\)\(\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} + x}}\)\(\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2}} + x}} = 1\). Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(\displaystyle y = 1\) về bên phải. 2. TIỆM CẬN ĐỨNG - Đường thẳng \(\displaystyle x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(\displaystyle y = f(x)\) khi một trong 4 giới hạn sau xảy ra \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \pm \infty \] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = \pm \infty \] - Vậy \(\displaystyle {x_0}\) phải thoả mãn các điều kiện sau: + Làm cho hàm số không xác định nhưng phải xác định ít nhất 1 khoảng bên phải hoặc bên trái \(\displaystyle {x_0}\) + Nếu là phân thức thì tử số không giản ước hết \(\displaystyle x - {x_0}\), nghĩa là nếu \(\displaystyle {x_0}\) vừa là nghiệm của mẫu và của tử thức thì nghiệm của mẫu phải là nghiệm bội cao hơn nghiệm của tử. - Từ các nhận xét trên, ngoại trừ hàm logarit, ta chỉ quan tâm đến hàm phân thức mà mẫu thức có nghiệm. Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số sau a) \(\displaystyle y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) Vì \(\displaystyle x = 1\) là nghiệm của mẫu và không là nghiệm của tử và hàm số xác định 2 bên \(\displaystyle x = 1\) nên \(\displaystyle x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. b) \(\displaystyle y = \frac{{x - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}\) Vì \(\displaystyle x = 1\) là nghiệm của mẫu cũng là nghiệm của tử nhưng ở mẫu là nghiệm bội 2 trong khi ở tử là nghiệm bội 1 (nghiệm đơn) nên sau khi giản ước nhân tử chung vẫn còn \(\displaystyle x - 1\) ở mẫu. Do đó, đường thẳng \(\displaystyle x = 1\) là tiệm cận đứng. c) \(\displaystyle y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - x - 2}}\) Tập xác định \(\displaystyle \mathbb{R} \setminus {\rm{\{ }} - 1;2\} \). Có \(\displaystyle x = 2\) và \(\displaystyle x = - 1\) là nghiệm của mẫu (nghiệm đơn) và \(\displaystyle x = 2\) cũng là nghiệm của tử nên chỉ có đường \(\displaystyle x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. d) \(\displaystyle y = \frac{{\sqrt {4{x^2} - 1} - x}}{{{x^2} - x}}\) Tập xác định \(\displaystyle \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right) \setminus \{ 1\} \). Ta thấy mặc dù \(\displaystyle x = 0\) và \(\displaystyle x = 1\) cùng là nghiệm của mẫu nhưng hàm số không xác định 2 bên \(\displaystyle x = 0\) nên \(\displaystyle x = 0\) không là tiệm cận đứng. Còn \(\displaystyle x = 1\) là nghiệm của mẫu v à không là nghiệm của tử mà hàm số lại xác định 2 bên \(\displaystyle x = 1\) nên \(\displaystyle x = 1\) là tiệm cận đứng. Ví dụ 2: Tìm \(\displaystyle m\) đề đồ thị hàm số \(\displaystyle y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 4x + m}}\) có đúng một tiệm cận đứng? TH1: Mẫu có nghiệm kép \(\displaystyle \Leftrightarrow \Delta’ = 0 \Leftrightarrow 4 - m = 0 \Leftrightarrow m = 4\) TH2: Mẫu có 1 nghiệm là \(\displaystyle x = 1\), nghiệm còn lại khác 1 \(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{1^2} - 4.1 + m = 0\\\frac{c}{a} = \frac{m}{1} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3\) Vậy có 2 giá trị của \(\displaystyle m\) làm cho đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang là \(\displaystyle m = 4\) hoặc \(\displaystyle m = 3\) Ví dụ 3: Tìm \(\displaystyle m\) đề đồ thị hàm số \(\displaystyle y = \frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{{x^2} - 2mx + m}}\) không có tiệm cận đứng. TH1: Mẫu \(\displaystyle {x^2} - 2mx + m = 0\) có nghiệm kép \(\displaystyle x = 1\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta’ = 0\\ - \frac{b}{{2a}} = m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\) . TH2: Mẫu \(\displaystyle {x^2} - 2mx + m = 0\) vô nghiệm \(\displaystyle \Leftrightarrow \Delta’ < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 1\). Vậy tất cả các giá trị của \(\displaystyle m\) để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là \(\displaystyle 0 < m \le 1\). Ví dụ 4: Tìm \(\displaystyle m\) đề đồ thị hàm số \(\displaystyle y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 2mx + m}}\) không có tiệm cận đứng. Vì \(\displaystyle x = 1\) là nghiệm đơn trên tử thức nên trường hợp mẫu có nghiệm kép vẫn làm cho đồ thị hàm số có tiệm cận đứng. Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng chỉ khi mẫu vô nghiệm, hay \(\displaystyle 0 < m < 1\).
