Giải bất phương trình \(\left(0,4\right)^{x\left(x+1\right)}>\left(2,5\right)^{3-2x^2}\) Bất phương trình vô nghiệm \(x< \frac{1-\sqrt{13}}{2}\) hoặc \(x>\frac{1+\sqrt{13}}{2}\) \(\frac{1-\sqrt{13}}{2}< x< \frac{1+\sqrt{13}}{2}\) \(\frac{-1-\sqrt{13}}{2}< x< \frac{-1+\sqrt{13}}{2}\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(0,4=\frac{2}{5}\) , \(2,5=\frac{5}{2}\). Bất phương trình đã cho tương đương với \(\left(\frac{2}{5}\right)^{x\left(x+1\right)}>\left(\frac{5}{2}\right)^{3-2x^2}\) \(\Leftrightarrow\left(\frac{5}{2}\right)^{-x\left(x+1\right)}>\left(\frac{5}{2}\right)^{3-2x}\) \(\Leftrightarrow-x\left(x+1\right)>3-2x^2\) \(\Leftrightarrow x^2-x-3>0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x< \frac{1-\sqrt{13}}{2}\\x>\frac{1+\sqrt{13}}{2}\end{array}\right.\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(3^x.5^{x^2}< 1\) . \(S=\varnothing\) \(S=\left(-\infty;0\right)\) \(S=\left(-\log_53;0\right)\) \(S=\left(-\infty;-\log_53\right)\cup\left(0;+\infty\right)\) Hướng dẫn giải: Lấy log cơ số 5 hai vế ta có: \(\log_5\left(3^x.5^{x^2}\right)< \log_51\) \(\Leftrightarrow x\log_53+x^2< 0\) \(\Leftrightarrow x\left(\log_53+x\right)< 0\) \(\Leftrightarrow-\log_53< x< 0\) (Chú ý: \(\log_53>\log_51=0\))
Cho bất phương trình \(\log_{\frac{2}{3}}\left|x+1\right|+\log_{1,5}\left(x+2\right)>0\). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ? \(\log_{\frac{2}{3}}\left|x+1\right|+\log_{1,5}\left(x+2\right)>0\Leftrightarrow\begin{cases}x\ne0\\x+2>0\\\left|x+1\right|>x+2\end{cases}\) \(\log_{\frac{2}{3}}\left|x+1\right|+\log_{1,5}\left(x+2\right)>0\Leftrightarrow\begin{cases}x\ne-1\\\left|x+1\right|< x+2\end{cases}\) \(\log_{\frac{2}{3}}\left|x+1\right|+\log_{1,5}\left(x+2\right)>0\Leftrightarrow\begin{cases}x+2\ge0\\\left|x+1\right|>x+2\end{cases}\) \(\log_{\frac{2}{3}}\left|x+1\right|+\log_{1,5}\left(x+2\right)>0\Leftrightarrow\begin{cases}x+2\ge0\\\left|x+1\right|< x+2\end{cases}\) Hướng dẫn giải: \(\log_{\frac{2}{3}}\left|x+1\right|+\log_{1,5}\left(x+2\right)>0\) \(\Leftrightarrow\log_{\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}}\left|x+1\right|+\log_{\frac{3}{2}}\left(x+2\right)>0\) \(\Leftrightarrow-\log_{\left(\frac{3}{2}\right)}\left|x+1\right|+\log_{\frac{3}{2}}\left(x+2\right)>0\) \(\Leftrightarrow\log_{\frac{3}{2}}\left(x+2\right)>\log_{\frac{3}{2}}\left|x+1\right|\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x-2>0\\x+1\ne0\\x+2>\left|x+1\right|\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x+1\ne0\\x+2>\left|x+1\right|\end{cases}\) (chú ý điều kiện \(x-2>0\) nghiễm nhiên thỏa mãn nếu x thỏa mãn hai điều kiện còn lại) Đáp số: \(\log_{\frac{2}{3}}\left|x+1\right|+\log_{1,5}\left(x+2\right)>0\Leftrightarrow\begin{cases}x\ne-1\\\left|x+1\right|< x+2\end{cases}\)
Giải bất phương trình \(x+\log_{0.2}\left(1-5^x\right)\ge0\) \(x\ge\log_{0,2}2\) \(x\le\log_{0,2}2\) \(\log_{0,2}2\le x\le0\) \(\log_{0,2}2\le x< 0\) Hướng dẫn giải: Điều kiện: \(1-5^x>0\) \(\Leftrightarrow5^x< 1\) \(\Leftrightarrow x< 0\) Khi đó biến đổi bất phương trình như sau: \(\log_{0.2}\left(1-5^x\right)\ge-x\) Lũy thừa cơ số \(0,2\) hai vế ta được bất đẳng thức đổi chiểu (vì có số 0,2 < 1): \(0,2^{\log_{0.2}\left(1-5^x\right)}\le0,2^{-x}\) \(\Leftrightarrow1-5^x\le0,2^{-x}\) \(\Leftrightarrow1-5^x\le\left(\frac{1}{5}\right)^{-x}\) \(\Leftrightarrow1-5^x\le5^x\) \(\Leftrightarrow1\le2.5^x\) \(\Leftrightarrow5^x\ge\frac{1}{2}\) Lấy log cơ số 0,2 hai vế ta có: \(\Leftrightarrow\log_{0,2}5^x\le\log_{0,2}\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow x\log_{0,2}5\le-\log_{0,2}2\) \(\Leftrightarrow x\log_{5^{-1}}5\le-\log_{0,2}2\) \(\Leftrightarrow-x\le-\log_{0,2}2\) \(\Leftrightarrow x\ge\log_{0,2}2\) Kết hợp với điều kiện x < 0 ta có: \(\log_{0,2}2\le x< 0\) (Chú ý: \(\log_{0,2}2< \log_{0,2}1=0\))
Giải bất phương trình \(2^{2x-1}+2^{2x-2}+2^{2x-3}\ge448\). \(x\ge\dfrac{9}{2}\) \(x>\dfrac{9}{2}\) \(x\ge3\) \(x\ge4,25\) Hướng dẫn giải: Viết lại bất phương trình cần giải thành \(2^{2x-3}(4+2+1)\ge448\) hay \(2^{2x-3}\ge2^6\). Do đó \(2x-3\ge6\) \(\Leftrightarrow x\ge\frac{9}{2}\) . A là phương án trả lời đúng.
Giải bất phương trình \(\left(0,4\right)^x-\left(2,5\right)^{x+1}>1,5\) \(x\ge1\) \(x< -1\) \(x\le-1\) \(x<2\) Hướng dẫn giải: Chú ý rằng \(0,4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=\left(\frac{5}{2}\right)^{-1}\).Do đó đặt \(t=\left(\frac{5}{2}\right)^x\left(t>0\right)\) thì bất phương trình cần giải trở thành \(\frac{1}{t}-\frac{5}{2}t>\frac{3}{2}\) . Với điêu kiện \(t>0\), bất phương trình này tương đương với \(2-5t^2>3t\) hay \(5t^2+3t-2<0\) . Nghiệm dương của bất phương trình này là \(0< t< \frac{2}{5}\) . Do đó bất phương trình cần giải tương đương với \(\left(\frac{5}{2}\right)^x< \left(\frac{5}{2}\right)^{-1}\). Tập nghiệm là \(x<-1\) . Chọn B.
Giải bất phương trình \(\left(0,4\right)^{x\left(x+1\right)}>\left(2,5\right)^{3-2x^2}\) Bất phương trình vô nghiệm \(x< \frac{1-\sqrt{13}}{2}\) hoặc \(x>\frac{1+\sqrt{13}}{2}\) \(\frac{1-\sqrt{13}}{2}< x< \frac{1+\sqrt{13}}{2}\) \(\frac{-1-\sqrt{13}}{2}< x< \frac{-1+\sqrt{13}}{2}\) Hướng dẫn giải: Viết lại bất phương trình đã cho dưới dạng \(\left(\frac{5}{2}\right)^{-x\left(x+1\right)}>\left(\frac{5}{2}\right)^{3-2x^2}\)
Giải bất phương trình \(3^{x+2}+3^{x-1}\le28\). \(x>1\) \(x\le1\) \(x\le3,5\) \(-1< x< 1\) Hướng dẫn giải: Vết trái bất phương trình: đặt \(3^{x-1}\) làm thừa số chung.
Giải bất phương trình \(4^x-3.2^x+2>0\). \(-1< x< 0\) \(0\le x\le1\) \(0< x< 1\) \(x< 0;x>1\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=2^x\left(t>0\right)\)
Giải bất phương trình \(\Big(\sqrt5-1\Big)^x+\Big(\sqrt5+1\Big)^x-2^{x+\frac{3}{2}} \le0\) . \(x< \log_{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\left(\sqrt{2}-1\right)\) \(x<1\) \(\log_{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\left(\sqrt{2}-1\right)\le x\le\log_{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\left(\sqrt{2}+1\right)\) \(x>\log_{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\left(\sqrt{2}+1\right)\) Hướng dẫn giải: Biến đổi tương đương bất phương trình cần giải về dạng \(\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^x+\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^x-2\sqrt{2}\le0\)
