Giải bất phương trình \(\log_8\left(4-2x\right)\ge2\) \(x\le-30\) \(x\le30\) \(x>-30\) \(x\ge-30\) Hướng dẫn giải: Bất phương trình tương đương với \(4-2x\ge64\).
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \(\log_3\left[\log_{0,5}\left(x^2-1\right)\right]< 1\) \(S=(-\sqrt2;\sqrt2)\) \(S=(-\infty;-\dfrac{3}{2\sqrt2})\cup(\dfrac{3}{2\sqrt2};+\infty)\) \(S=(\dfrac{3}{2\sqrt2};\sqrt2)\) \(S=(-\sqrt2;-\dfrac{3}{2\sqrt2})\cup(\dfrac{3}{2\sqrt2};\sqrt2)\) Hướng dẫn giải: Mũ hóa theo cơ số 3 và không đổi chiều, bất phương trình đã cho tương đương với \(0< \log_{0,5}\left(x^2-1\right)< 3\) . Mũ hóa theo cơ số 0,5 và đổi chiều, hệ bất phương trình vừa nhận được tương đương với \(1>x^2-1>\dfrac{1}{8}\) . Giải hệ này ta nhận được kết quả là \(S=\left(-\sqrt{2};-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)\cup\left(\dfrac{3}{2\sqrt{2}};\sqrt{2}\right)\)
Giải bất phương trình \(\frac{1-\log_4x}{1+\log_2x}\le\frac{1}{4}\). \(x\ge2\) \(x< \frac{1}{\sqrt{2}};x\ge\sqrt{2}\) \(0< x< \frac{1}{2};x\ge2\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\le x\le\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=\log_4x\) thì \(\log_2x=\log_{4^{0,5}}x=2\log_4x=2t\) , bất phương trình đã cho trở thành \(\frac{1-t}{1+2t}\le\frac{1}{4}\). Biến đổi tương đương bất phương trình này thành \(\frac{-6t+3}{4\left(1+2t\right)}\le0\), bất phương trình này có nghiệm là \(t< -\frac{1}{2};t\ge\frac{1}{2}\), từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là \(0< x< \dfrac{1}{2};x>2\).
Bất phương trình : \(5.4^x+2.25^x-7.10^x\le0\) có nghiệm là : \(-1\le x\le0\) \(0\le x\le1\) \(-2\le x\le-1\) \(1\le x\le2\) Hướng dẫn giải:
Bất phương trình : \(4^x\le3.2^{\sqrt{x}+x}+x.3^{\sqrt{x}}< 2x^2.3^{\sqrt{x}}+2x+6\) có nghiệm là : \(0\le x\le1\) \(0\le x\le4\) \(0\le x\le9\) \(0\le x\le16\) Hướng dẫn giải:
Bất phương trình : \(4x^2+3^{\sqrt{x}+1}+x.3^{\sqrt{x}}< 2x^2.3^{\sqrt{x}}+2x+6\) có nghiệm là : \(0\le x< \log^2_23\) hay \(x>1\) \(1\le x< \log^2_23\) hay \(x>3\) \(0\le x< \log^2_22\) hay \(x>\frac{3}{2}\) \(\log^2_23< x< 1\) hay \(x>4\) Hướng dẫn giải:
Bất phương trình : \(4x^2+3^{\sqrt{x}+1}+x.3^{\sqrt{x}}< 2x^2.3^{\sqrt{x}}+2x+6\) có nghiệm là : \(0\le x< \log^2_23\) ; \(x>1\) \(1\le x< \log^2_23\) ; \(x>3\) \(0\le x< \log^2_22\) ; \(x>\frac{3}{2}\) \(\log^2_23< x< 1\) ; \(x>4\) Hướng dẫn giải: \(4x^2+3^{\sqrt{x}+1}+x.3^{\sqrt{x}}< 2x^2.3^{\sqrt{x}}+2x+6\Leftrightarrow\left(4x^2-2x-6\right)< 3^{\sqrt{x}}\left(2x^2-x-3\right)\) \(\Leftrightarrow\left(2x^2-x-3\right)\left(3^{\sqrt{x}}-2\right)>0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(2x-3\right)\left(3^{\sqrt{x}}-2\right)>0\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\\left(2x-3\right)\left(3^{\sqrt{x}}-2\right)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\\left(2x-3\right).\dfrac{3^{\sqrt{x}}-3^{\log_32}}{\sqrt{x}-\log_32}\left(\sqrt{x}-\log_32\right)>0\end{matrix}\right.\) (chú rằng hàm số \(\log_3x\) đồng biến nên \(\dfrac{\log_3x-\log_3t}{x-t}>0,\left(\forall x,t>0,x\ne t\right)\) ) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\\left(2x-3\right)\left(\sqrt{x}-\log_32\right)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\\dfrac{\left(2x-3\right)\left(x-\log_3^22\right)}{\sqrt{x}+\log_32}>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0\le x< \log_3^22;x>\dfrac{3}{2}\).
Bất phương trình : \(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{2}{x}}+9\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x}+2}>12\) có nghiệm là : \(-2< x< -1\) \(1< x< 2\) \(-1< x< 0\) \(0< x< 1\) Hướng dẫn giải:
Giải bất phương trình \(\sqrt{9^x+3^x-2}>9-3^x\) \(x>\log_3\frac{81}{19}\) \(x>\log_3\frac{83}{19}\) \(x>\log_3\frac{85}{19}\) \(x>\log_3\frac{87}{19}\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=3^x\left(t>0\right)\) bất phương trình trở thành \(\sqrt{t^2+t-2}>9-t\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}9-t< 0\\t^2+t-2\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}9-t\ge0\\t^2+t-2>\left(9-t\right)^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}t>9\\\left(t+2\right)\left(t-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}t\le9\\19t>83\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t>9\\\dfrac{83}{19}< t\le9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t>\dfrac{83}{19}\Leftrightarrow3^x>\dfrac{83}{19}\)\(\Leftrightarrow x>\log_3\dfrac{83}{19}\)
Giải bất phương trình : \(2^{2x+1}-21\left(\frac{1}{2}\right)^{2x+3}+2\ge0\) \(x\ge\log_2\dfrac{3}{4}\) \(x\ge\log_2\frac{\sqrt{2}}{3}\) \(x\ge\log_4\dfrac{3}{4}\) \(x\ge\log_2\frac{2}{\sqrt{3}}\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=4^x\left(t>0\right)\)thì \(2^{2x+1}=2t,\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x+3}=\dfrac{1}{8t}\), bất phương trình tương đương với \(2t-\dfrac{21}{8t}+2\ge0\Leftrightarrow16t^2+16t-21\ge0\Leftrightarrow\left(4t\right)^2+4\left(4t\right)-7.3\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(4t+7\right)\left(4t-3\right)\ge0\Leftrightarrow4t-3\ge0\Leftrightarrow t\ge\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow4^x\ge\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow x\ge\log_4\dfrac{3}{4}\)
