Tìm nghiệm của bất phương trình \(\log_x\left(\log_2\left(4^x-6\right)\right)< 1.\) . \(0< x< \log_32\) \(1< x< \log_23\) \(\log_32\le x< 3\) \(\log_23\le x\le2\) Hướng dẫn giải: Ta có \(\log_x\left(\log_2\left(4^x-6\right)\right)< 1.\) ĐK: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0;x\ne1\\4^x>6\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>0;x\ne1\\x>\log_46\end{matrix}\right.\Rightarrow x>\log_46.\) Do \(x>\log_46>1\) nên bất phương trình tương đương với \(\log_x\left(\log_2\left(4^x-6\right)\right)< \log_xx\Leftrightarrow\log_2\left(4^x-6\right)< x\) \(\Leftrightarrow4^x-6< 2^x\Leftrightarrow4^x-2^x-6< 0\) Đặt 2x = t (t > 0) ta có t2 - t - 6 < 0 \(\Rightarrow-2< t< 3\) \(\Leftrightarrow0< 2^x< 3\Leftrightarrow x< \log_23\). Kết hợp điều kiện được đáp số \(\log_46< x< \log_23\) (chú ý rằng \(\log_23=\log_{2^2}3^2=\log_49>\log_46\))
Giải bất phương trình có nghiệm \(\log_{\frac{1}{2}}\left[\log_6\frac{x^2+x}{x+4}\right]< 0\) \(-5< x< -4\) hay \(x>6\) \(4< x< 5\) hay \(x< -6\) \(-4< x< -3\) hay \(x>8\) \(3< x< 4\) hay \(x< -8\) Hướng dẫn giải: \(\log_{\dfrac{1}{2}}\left[\log_6\dfrac{x^2+x}{x+4}\right]< 0\Leftrightarrow\log_6\dfrac{x^2+x}{x+4}>1\Leftrightarrow\dfrac{x^2+x}{x+4}>6\Leftrightarrow\dfrac{x^2-5x-24}{x+4}>0\) \(\Leftrightarrow\left(x^2-5x-24\right)\left(x+4\right)>0\Leftrightarrow-4< x< -3;x>8\)
Giải bất phương trình \(\log_{\frac{x}{2}}8+\log_{\frac{x}{4}}8< \frac{\log_2x^4}{\log_2x^2-4}\) \(0< x< 1\) hoặc \(x>3\) \(0< x< 2\) hoặc \(x>4\) \(0< x< 3\) hoặc \(x>5\) \(0< x< 4\) hoặc \(x>6\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=\log_2x\) thì \(\log_{\dfrac{x}{2}}8=\dfrac{\log_28}{\log_2\dfrac{x}{2}}=\dfrac{3}{t-1},\log_{\dfrac{x}{4}}8=\dfrac{3}{t-2},\log_2x^4=4t,\log_2x^2=2t\). Bất phương trình tương đương với \(\dfrac{3}{t-1}+\dfrac{3}{t-2}< \dfrac{2t}{t-2}\Leftrightarrow\dfrac{3}{t-1}+\dfrac{3-2t}{t-2}< 0\Leftrightarrow\dfrac{-2t^2+8t-9}{\left(t-1\right)\left(t-2\right)}< 0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)>0\) \(\Leftrightarrow t< 1;t>2\Leftrightarrow\log_2x< 1;\log_2x>2\Leftrightarrow0< x< 2;x>4\)
Giải bất phương trình \(\log_x2.\log_{2x}2.\log_24x>1\) \(\frac{1}{2^{\sqrt{2}}}< x< \frac{1}{2}\) hay \(1< x< 2^{\sqrt{2}}\) \(\frac{1}{2^{\sqrt{3}}}< x< \frac{1}{2}\) hay \(1< x< 2^{\sqrt{3}}\) \(\frac{1}{2^{\sqrt{5}}}< x< \frac{1}{2}\) hay \(1< x< 2^{\sqrt{5}}\) \(\dfrac{1}{2}< x< \dfrac{1}{2^{\sqrt{2}}}\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=\log_2x\) thì \(\log_x2=\dfrac{1}{t},\log_{2x}2=\dfrac{1}{\log_22x}=\dfrac{1}{t+1},\log_24x=t+2\), bất phương trình trở thành \(\dfrac{t+2}{t\left(t+1\right)}-1>0\Leftrightarrow\dfrac{t+2-t\left(t+1\right)}{t\left(t+1\right)}>0\Leftrightarrow\dfrac{-t^2+2}{t\left(t+1\right)}>0\Leftrightarrow t\left(t+2\right)\left(t^2-2\right)< 0\) \(\Leftrightarrow-\sqrt{2}< t< -1;0< t< \sqrt{2}\Leftrightarrow-\sqrt{2}< \log_2x< -1;0< \log_2x< \sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2^{\sqrt{2}}}< x< \dfrac{1}{2};1< x< 2^{\sqrt{2}}\)
Giải bất phương trình \(\log_5x+\log_2x>1+\log_5x.\log_2x\) \(1< x< 3\) \(2< x< 5\) \(3< x< 6\) \(4< x< 5\) Hướng dẫn giải: Bất phương trình tương đương với \(\left(\log_5x-1\right)\left(\log_2x-1\right)< 0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\log_2x-\log_22}{x-2}.\dfrac{\log_5x-\log_55}{x-5}\left(x-2\right)\left(x-5\right)< 0\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>0\\\left(x-2\right)\left(x-5\right)< 0\end{matrix}\right.\) ( có \(\dfrac{\log_2x-\log_22}{x-2}>0,\dfrac{\log_5x-\log_52}{x-5}>0\) vì \(\log_2x,\log_5x\) đồng biến) \(\Leftrightarrow2< x< 5\)
Giải phương trình \(6^{\log^2_6x}+x^{\log_6x}\le12\) \(\frac{1}{3}\le x\le3\) \(\frac{1}{6}\le x\le6\) \(\frac{1}{9}\le x\le9\) \(\frac{1}{4}\le x\le4\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=\log_6x\) thì \(x=6^t\), bất phương trình trở thành \(6^{t^2}+\left(6^t\right)^t\le12\Leftrightarrow6^{t^2}\le6\Leftrightarrow t^2\le1\Leftrightarrow-1\le t\le1\Leftrightarrow-1\le6^x\le1\Leftrightarrow\dfrac{1}{6}\le x\le6\)
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \(0,3^{2x^2-3x+6}< 0,00243\) \(\left(-1;-\frac{1}{2}\right)\) \(\left(\frac{1}{2};1\right)\) \(\left(1;\frac{3}{2}\right)\) \(\left(\frac{3}{2};2\right)\) Hướng dẫn giải: Ta có \(0,00243=\left(0,3\right)^5\) và \(0,3< 1\) nên bất phương trình đã cho tương đương với \(2x^2-3x+6< 5\Leftrightarrow2x^2-3x+1< 0\Leftrightarrow x\in\left(\dfrac{1}{2};1\right)\) Đáp số: \(\left(\dfrac{1}{2};1\right)\)
Bất phương trình \(\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{6-5x}{2+5x}}< \frac{25}{4}\) có tập nghiệm là : \(\mathbb{R}\)\(\backslash\left[\dfrac{2}{5};2\right]\) \(\mathbb{R}\)\(\backslash\left[2;\dfrac{2}{5}\right]\) \(\mathbb{R}\) \(\backslash\left[-2;-\dfrac{2}{5}\right]\) \(\mathbb{R}\)\(\backslash\left[-\dfrac{5}{2};-2\right]\) Hướng dẫn giải: \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^{\dfrac{6-5x}{2+5x}}< \dfrac{25}{4}\Leftrightarrow\left(\dfrac{5}{2}\right)^{\dfrac{5x-6}{5x+2}}< \left(\dfrac{5}{2}\right)^2\Leftrightarrow\dfrac{5x-6}{5x+2}< 2\Leftrightarrow\dfrac{5x-6-2\left(5x+2\right)}{5x+2}< 0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{-5x-10}{5x+2}< 0\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(5x+2\right)>0\Leftrightarrow x\notin\left[-2;-\dfrac{2}{5}\right]\) Đáp số: \(\mathbb{R}\backslash\)\(\left[-2;-\dfrac{2}{5}\right]\).
Bất phương trình \(4^{x+1}-16^x< 2\log_48\) có tập nghiệm là : \(\mathbb{R}\)\(\backslash\left[0,\log_23\right]\) \(\mathbb{R}\)\(\backslash\left[0,\log_43\right]\) \(\mathbb{R}\)\(\backslash\left[0,\log_83\right]\) \(\mathbb{R}\)\(\backslash\left[0,\log_{16}3\right]\) Hướng dẫn giải: Ta có \(2\log_48=\log_464=3\) nên bất phương trình đã cho trở thành \(4^{x+1}-16^x< 3\). Đặt \(t=4^x\) ta được bất phương trình \(t^2-4t+3>0\Leftrightarrow t< 1;t>3\Leftrightarrow4^x< 1;4^x>3\Leftrightarrow x< 0;x>\log_43\Leftrightarrow x\notin\left[0;\log_43\right]\) Đáp số: \(\mathbb{R}\)\(\backslash\left[0;\log_43\right]\)
Bất phương trương trình \(\frac{x-1}{\log_3\left(9-3^x\right)-3}\le1\) có tập nghiệp là : \(\left[\log_3\frac{3}{10};1\right]\) \((-2;-\log_3\dfrac{9}{10}]\) \([\log_3\dfrac{9}{10};2)\) \(\left[-1;\log_3\frac{3}{10}\right]\) Hướng dẫn giải: Chú ý rằng \(9-3^x< 9\Rightarrow\log_3\left(9-3^x\right)< 2\Rightarrow\log_3\left(9-3^x\right)-3< 0\) với mọi x thuộc tập xác định của bất phương trình. Vì vậy bất phương trình tương đương với \(x-1\ge\log_3\left(9-3^x\right)-3\Leftrightarrow x+2\ge\log_3\left(9-3^x\right)\Leftrightarrow3^{x+2}\ge9-3^x>0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{9}{10}\le3^x< 9\Leftrightarrow\log_3\dfrac{9}{10}\le x< 2\)
