Tìm nghiệm của phương trình: \(\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right)^{2x}+\left(\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)^{2x}=6.2^{x-1}\) \(x=1;x=-1\) \(x=1;x=0\) \(x=-1;x=0\) \(x=2;x=-2\) Hướng dẫn giải: Chỉ cần lần lượt kiểm kiểm tra các nghiệm cho trong phương án. Với x = 1: \(\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right)^2+\left(\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)^2=6.2^0\) đúng Với x = -1: \(\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right)^{-2}+\left(\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)^{-2}=6.2^{-2}\) \(\frac{1}{3+\sqrt{5}}+\frac{1}{3-\sqrt{5}}=\frac{6}{4}\) đúng Với x = 0: \(\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right)^0+\left(\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)^0=6.2^{-1}\) sai Vậy chọn phương án \(x=1;x=-1\)
Tìm tập nghiệm của bất phương trình: \(3^{x+2}+3^{x-1}\le28\) \(\left(1;+\infty\right)\) (\(-\infty;1\)] \(\left(-\infty;+\infty\right)\) \(\left(-1;1\right)\) Hướng dẫn giải: \(3^{x+2}+3^{x-1}\le28\) \(\Leftrightarrow3^{x-1}\left(3^3+1\right)\le28\) \(\Leftrightarrow3^{x-1}\le1\) \(\Leftrightarrow3^{x-1}\le3^0\) \(\Leftrightarrow x-1\le0\Leftrightarrow x\le1\)
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \(2^{\left|x-1\right|}\ge4\). (\(-\infty;-1\)]\(\cup\)[\(3;+\infty\)) \(\left(-\infty;-1\right)\cup\left(3;+\infty\right)\) \(\left(-1;3\right)\) \(\left[-1;3\right]\) Hướng dẫn giải: \(2^{\left|x-1\right|}\ge4\) \(\Leftrightarrow2^{\left|x-1\right|}\ge2^2\) \(\Leftrightarrow\left|x-1\right|\ge2\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x-1\le-2\\x-1\ge2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x\le-1\\x\ge3\end{matrix}\right.\)
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \(4^x-3.2^x+2>0\). \(\left(-1;0\right)\) \(\left[0;1\right]\) \(\left(0;1\right)\) \(\left(-\infty;0\right)\cup\left(1;+\infty\right)\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=2^x,t>0\) ta có: \(t^2-3t+2>0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}t< 1\\t>2\end{matrix}\right.\) Suy ra \(\left[\begin{matrix}2^x< 1\\2^x>2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x< 0\\x>1\end{matrix}\right.\)
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \(\left(\sqrt{5}-1\right)^x+\left(\sqrt{5}+1\right)^x-2^{x+\frac{3}{2}}\le0\) \(\left(-\infty;\log_{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\left(\sqrt{2}-1\right)\right)\) \(\left(-\infty;+\infty\right)\) \(\left[\log_{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\left(\sqrt{2}-1\right);\log_{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\left(\sqrt{2}+1\right)\right]\) \(\left(\log_{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\left(\sqrt{2}+1\right);+\infty\right)\) Hướng dẫn giải: Chia cả hai vế cho \(2^x\) ta có: \(\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^x+\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^x-2^{\frac{3}{2}}\le0\) Đặt \(t=\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^x,t>0\) thì \(\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^x=\frac{1}{t}\) Ta có: \(\frac{1}{t}+t-2\sqrt{2}\le0\) \(\Leftrightarrow t^2-2\sqrt{2}t+1\le0\) \(\Leftrightarrow\sqrt{2}-1\le t\le\sqrt{2}+1\) \(\Leftrightarrow\sqrt{2}-1\le\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^x\le\sqrt{2}+1\) \(\Leftrightarrow\log_{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\left(\sqrt{2}-1\right)\le x\le\log_{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\left(\sqrt{2}+1\right)\)
Tìm m để bất phương trình \(9^x-2.3^x+3-m>0\) nghiệm đúng với mọi x. \(m< 2\) \(m< 3\) \(2< m< 3\) \(m=2\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=3^x\) thì với mọi \(x\) miền giá trị của t là \(t\in\left(0;+\infty\right)\). Yêu cầu đề bài tương đương với: tìm m để tam thức bậc hai \(t^2-2.t+3-m>0\) với mọi \(t\in\left(0;+\infty\right)\). Ta có: Parabol \(y=t^2-2.t+3-m\) có đỉnh tại \(t=1,y=2-m\), để \(t^2-2.t+3-m>0\) thì \(2-m>0\Leftrightarrow m< 2\).
Tìm nghiệm của bất phương trình: \(\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-3x+2\right)\ge-1\). \(x\in\) [\(0;1\))\(\cup\)(\(2;3\)] \(x\in\left(-\infty;1\right)\) \(x\in\)[\(0;2\)) \(x\in\left[1;2\right]\) Hướng dẫn giải: Điều kiện: \(x^2-3x+2>0\Leftrightarrow x\in\left(-\infty;1\right)\cup\left(2;+\infty\right)\). \(\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-3x+2\right)\ge-1\) \(\Leftrightarrow\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-3x+2\right)\ge\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\) \(\Leftrightarrow x^2-3x+2\le\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\) \(\Leftrightarrow x^2-3x+2\le2\) \(\Leftrightarrow x^2-3x\le0\) \(\Leftrightarrow x\in\left[0;3\right]\) Đối chiếu với điều kiện ta có: \(x\in\)[\(0;1\))\(\cup\)(\(2;3\)]
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \(\log_{0,2}x-\log_5\left(x-2\right)< \log_{0,2}3\). \(\left(-3;3\right)\) \(\left(3;+\infty\right)\) \(\left(-\infty;+\infty\right)\) \(\left(-\infty;3\right)\) Hướng dẫn giải: Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix}x>0\\x-2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x>2\) \(\log_{0,2}x-\log_5\left(x-2\right)< \log_{0,2}3\) \(\Leftrightarrow\log_{\frac{1}{5}}x-\log_5\left(x-2\right)< \log_{\frac{1}{5}}3\) \(\Leftrightarrow\log_{5^{-1}}x-\log_5\left(x-2\right)< \log_{5^{-1}}3\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{-1}\log_5x-\log_5\left(x-2\right)< \frac{1}{-1}\log_53\) \(\Leftrightarrow-\left(\log_5x+\log_5\left(x-2\right)\right)< -\log_53\) \(\Leftrightarrow\log_5x+\log_5\left(x-2\right)>\log_53\) \(\Leftrightarrow\log_5x\left(x-2\right)>\log_53\) \(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)>3\) \(\Leftrightarrow x^2-2x-3>0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x< -1\left(loại\right)\\x>3\end{matrix}\right.\) Vậy nghiệm là \(x>3\)
Tìm nghiệm của bất phương trình \(\log_2\left(3^x-2\right)< 0\). \(x< 1\) \(\log_32< x< 1\) \(x\le\log_32\) \(x\ge1\) Hướng dẫn giải: Điều kiện: \(3^x-2>0\) \(\Leftrightarrow x>\log_32\) \(\log_2\left(3^x-2\right)< 0\) \(\Leftrightarrow\log_2\left(3^x-2\right)< \log_21\) \(\Leftrightarrow3^x-2< 1\) \(\Leftrightarrow3^x< 3\) \(\Leftrightarrow x< 1\) Đối chiếu với điều kiện ta có: \(\log_32< x< 1\)
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{1}{2}\log_2\left(x^2+4x-5\right)>\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{x+7}\right)\). \(\left[-7;-\frac{27}{5}\right]\) (\(-\infty;-7\)] \(\left(-7;-\frac{27}{5}\right)\) [\(-\frac{27}{5};+\infty\)) Hướng dẫn giải: Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix}x^2+4x-5>0\\x+7>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x< -5;x>1\\x>-7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x\in\left(-7;-5\right)\cup\left(1;+\infty\right)\) (*) Biến đổi bất phương trình như sau: \(\frac{1}{2}\log_2\left(x^2+4x-5\right)>\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{x+7}\right)\) \(\Leftrightarrow\log_2\left(x^2+4x-5\right)^{\frac{1}{2}}>\log_{2^{-1}}\left(\frac{1}{x+7}\right)\) \(\Leftrightarrow\log_2\left(x^2+4x-5\right)^{\frac{1}{2}}>-\log_2\left(\frac{1}{x+7}\right)\) \(\Leftrightarrow\log_2\sqrt{\left(x^2+4x-5\right)}>\log_2\left(\frac{1}{x+7}\right)^{-1}\) \(\Leftrightarrow\log_2\sqrt{\left(x^2+4x-5\right)}>\log_2\left(x+7\right)\) \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+4x-5\right)}>\left(x+7\right)\) Vì điều kiện x > - 7 nên bất phương trình trên tương đương với: \(\Leftrightarrow x^2+4x-5>\left(x+7\right)^2\) \(\Leftrightarrow x< -\frac{27}{5}\) Kết hợp với điều kiện (*) ta rút ra \(-7< x< -\frac{27}{5}\)
