Tìm tập nghiệm của bất phương trình \(2\left(1+\log_2x\right)\log_4x+\log_8x< 0\). (\(-\infty;\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}\)] \(\left(\frac{1}{2\sqrt[3]{2}};1\right)\) [\(1;+\infty\)) \(\left[\frac{1}{2\sqrt[3]{2}};1\right]\) Hướng dẫn giải: Điều kiện: x > 0, khi đó biến đổi bất phương trình như sau: \(2\left(1+\log_2x\right)\log_4x+\log_8x< 0\) \(\Leftrightarrow2\left(1+\log_2x\right)\log_{2^2}x+\log_{2^3}x< 0\) \(\Leftrightarrow2\left(1+\log_2x\right).\frac{1}{2}\log_2x+\frac{1}{3}\log_2x< 0\) \(\Leftrightarrow\log_2x+\log_2^2x+\frac{1}{3}\log_2x< 0\) \(\Leftrightarrow\log_2^2x+\frac{4}{3}\log_2x< 0\) \(\Leftrightarrow-\frac{4}{3}< \log_2x< 0\) \(\Leftrightarrow\log_22^{-\frac{4}{3}}< \log_2x< \log_21\) \(\Leftrightarrow2^{-\frac{4}{3}}< x< 1\) (thỏa mãn điều kiện x>0)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \(\log_2x-m+1>0\) luôn đúng với \(x>4\). \(m< 2\) \(2< m< 3\) \(m\ge3\) \(m\le3\) Hướng dẫn giải: Điều kiện x > 0. \(\log_2x-m+1>0\) \(\Leftrightarrow\log_2x>m-1\) \(\Leftrightarrow\log_2x>\log_22^{m-1}\) \(\Leftrightarrow x>2^{m-1}\) Để bất phương trình đúng với mọi x > 4 thì: \(2^{m-1}\le4\) \(\Leftrightarrow m-1\le2\Leftrightarrow m\le3\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(5^{x+1}-\dfrac{1}{5}>0\). \(S=\left(1;+\infty\right)\). \(S=\left(-1;+\infty\right)\). \(S=\left(-2;+\infty\right)\). \(S=\left(-\infty;-2\right)\). Hướng dẫn giải: \(5^{x+1}-\dfrac{1}{5}>0\Leftrightarrow5^{x+1}>5^{-1}\Leftrightarrow x+1>-1\Leftrightarrow x>-2\). Bất phương trình có tập nghiệm \(S=\left(-2;+\infty\right)\).
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\log_2^2x-5\log_2x+4\ge0\). \(S=(-\infty;2]\cup[16;+\infty)\) \(S=\left[2;16\right]\) \(S=(0;2]\cup[16;+\infty)\) \(S=(-\infty;1]\cup[4;+\infty)\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=\log_2x\) thì bất phương trình trở thành \(t^2-5t+4\ge0\). Giải bất phương trình mới nhận được ta có \(t\le1;t\ge4\). Trả lại biến cũ ta được hai bất phương trình : \(\log_2x\le1\) (1) và \(\log_2x\ge4\) (2). Bất phương trình thứ nhất có nghiệm là \(0< x\le2\Leftrightarrow x\in(0;2]\). Bất phương trình thứ hai có nghiệm là \(x\ge2^4\Leftrightarrow x\in[16;+\infty)\). Vì vậy \(S=(0;2]\cup[16;+\infty)\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(2^{2x}< 2^{x+6}\) là: \(\left(0;6\right)\) \(\left(-\infty;6\right)\) \(\left(0;64\right)\) \(\left(6;+\infty\right)\) Hướng dẫn giải: \(2^{2x}< 2^{x+6}\) \(\Leftrightarrow2x< x+6\Leftrightarrow x< 6\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left(-\infty;6\right)\)
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) thỏa mãn \(\log u_1+\sqrt{2+\log u_1-2\log u_{10}}=2\log u_{10}\) và \(u_{n+1}=2u_n\forall n\ge1\). Giá trị nhỏ nhất của n để \(u_n>5^{100}\) bằng: 247 248 229 290 Hướng dẫn giải: Cách 1 (tự luận): Ta có \(u_{n+1}=2u_n\Rightarrow u_{10}=2^9u_1\) Ta có \(\log u_1+\sqrt{2+\log u_1-2\log u_{10}}=2\log u_{10}\Leftrightarrow\log u_1+\sqrt{2+\log u_1-2\log\left(2^9u_1\right)}=2\log\left(2^9u_1\right)\) \(\Leftrightarrow\log u_1+\sqrt{2+\log u_1-2\log2^9-2\log u_1}=2\log2^9+2\log u_1\) \(\Leftrightarrow\sqrt{2-2\log2^9-\log u_1}=2\log2^9+\log u_1\) Đặt \(2\log2^9+\log u_1=t\Rightarrow\sqrt{2-t}=t\left(0\le t\le2\right)\Rightarrow2-t=t^2\Rightarrow t^2+t-2=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\) Với \(t=1\Rightarrow2\log2^9+\log u_1=1\Leftrightarrow\log u_1=1-18\log2\) \(\Leftrightarrow u_1=\log\dfrac{10}{2^{18}}\Leftrightarrow u_1=\dfrac{5}{2^{17}}\) Vậy thì \(u_n=2^{n-1}.u_1=2^{n-1}.\dfrac{5}{2^{17}}=2^{n-18}.5\) Để \(u_n>500\Rightarrow2^{n-18}.5>5^{100}\Rightarrow2^{n-18}>5^{99}\Rightarrow n>18+99\log_25\approx247,87\) Vậy \(n_{\min}=248\) Cách 2 (casio): - Giả thiết \(u_{n+1}=2u_n\forall n\ge1\) có nghĩa là dãy \(\left(u_n\right)\) là một cấp số nhân công bội \(q=2\), nên \(u_n=u_1.2^{n-1}\). - Giả thiết \(\log u_1+\sqrt{2+\log u_1-2\log u_{10}}=2\log u_{10}\) \(\Leftrightarrow\left(\log u_1-2\log u_{10}\right)+\sqrt{2+\left(\log u_1-2\log u_{10}\right)}=0\). - Đặt \(x=\log u_1-2\log u_{10}\)ta được phương trình \(x+\sqrt{2+x}=0\). Dùng lệnh SOLVE trong MODE COMP: Q)+s2+Q)qr2= Màn hình cho kết quả \(x=-1\) nên \(\log u_1-2\log u_{10}=-1\Leftrightarrow\log X-2\log\left(X.2^9\right)+1=0\) - Lại dùng lệnh SOLVE giải phương trình ẩn X này (nghiệm chính là \(u_1\)), lưu kết quả vào biến A: CgQ))p2gQ)O2^9$)+1qr2=qJz - Vậy \(u_n=A.2^{n-1}\). Cần tìm n nhỏ nhất để \(u_n>5^{100}\Leftrightarrow\log_5u_n>100\Leftrightarrow\log5\left(A.2^{n-1}\right)>100\). Dùng MODE TABLE lập bảng với \(f\left(X\right)=\log_5\left(A.2^{X-1}\right)\), Start = 229; End = 248, Step =1: w7i5$QzO2^Q)p1==229=248=1= Bảng giá trị cho thấy số n nguyên dương nhỏ nhất để \(u_n>5^{100}\) đúng là \(n=248.\) Đáp số đúng là 248.
