I. Định nghĩa Cấp số cộng \(\left\{a_1,a_2,...,a_n\right\}\) là dãy số xác định bởi: \(a_1=a\) \(a_{k+1}=a_k+d\) với k=1, 2, .., n - 1 a1 được gọi là số hạng đầu tiên, an là số hạng cuối, ak là số hạng thứ k của cấp số cộng; n được gọi là số số hạng của cấp số cộng ; d được gọi là công sai của cấp số cộng. Sở dĩ có thuật ngữ công sai này là vì $a_2 – a_1 = a_3 – a_2 = … = a_n – a_{n-1} = d$. Cấp số cộng còn có thể được đặc trưng bởi đẳng thức $a_{k+1} – 2a_{k} + a_{k-1} = 0$ với mọi $k=2, …, n-1$. Hay là $a_k = 1/2 (a_{k-1} + a_{k+1}$), số ở giữa bằng trung bình cộng hai số đứng cạnh Ngoài các cấp số cộng có hữu hạn phần tử, người ta còn xét những cấp số cộng có vô hạn phần tử. Ví dụ dãy các bội số dương của 3 là một cấp số cộng có vô hạn phần tử với số hạng đầu là 3 và công sai là 3. II. Các công thức liên quan đến cấp số cộng Hai bài toán cơ bản liên quan đến dãy số có thể giải khá dễ dàng đối với cấp số cộng. Cụ thể - Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng: $$a_k = a + (k-1)d$$. - Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: \(S_n=a_1+a_2+...+a_n=\frac{\left(a_1+a_n\right)n}{2}=na+\frac{n\left(n-1\right)}{2}d\) Ở đây khi chứng minh công thức thứ nhất, ta đã dùng ý tưởng của Gauss (khi ông còn là 1 cậu bé) khi ông tính tổng 1 + 2 + … + 99 + 100 rằng 1 + 100 = 2 + 99 = … = 50 + 51 gồm 50 cặp số, mỗi cặp có tổng bằng 101. Cuối cùng, cũng cần nhắc đến công thức tính số số hạng của một cấp số cộng khi biết số hạng đầu, số hạng cuối và công sai: Số số hạng = [(Số hạng đầu – Số hạng cuối): công sai] + 1 Đây chính là công thức của bài toán trồng cây quen thuộc ở cấp 2! III. Các ví dụ Ví dụ 1: Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy số \(a^2,b^2,c^2\) lập thành một cấp số cộng có công sai dương là dãy số \(\frac{1}{b+c};\frac{1}{c+a};\frac{1}{a+b};\) là một cấp số cộng. Bài giải: Dãy số \(\frac{1}{b+c};\frac{1}{c+a};\frac{1}{a+b};\)là một cấp số cộng \(\Leftrightarrow\frac{1}{c+a}-\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a}\Leftrightarrow\frac{b-a}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}=\frac{c-b}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\) \(\Leftrightarrow b^2-a^2=c^2-b^2\Leftrightarrow2b^2=a^2+c^2\) Vậy \(a^2,b^2,c^2\) lập thành một cấp số cộng. Ví dụ 2 : Biết rằng dãy số thực dương \(a_1;a_2;....a_n\) là một cấp số cộng, chứng minh hệ thức : \(\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+....+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}}\left(1\right)\) Bài giải : Ta có \(\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}=\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}}{\left(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}\right)\left(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}\right)}=\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}}{a_2-a_1}=\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}}{d}\) Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}=\frac{\sqrt{a_3}-\sqrt{a_1}}{d};.......\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{a_n-a_1}{d}\) Vế trái của (1) thành : \(\frac{\left(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}\right)+\left(\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2}\right)+\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}}\right)}{d}=\frac{\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}\right)}{d}=\frac{a_n-a_1}{d\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}\right)}\) \(=\frac{\left(a_1+\left(n-1\right)d\right)-a_1}{d\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}\right)}=\frac{n-1}{\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}\right)}\) Ví dụ 3 : Cho 2 cấp số cộng \(u_n=u_1;u_2;.....u_n\) có công sai \(d_1\) và \(v_n=v_1;v_2;.....v_n\) có công sai \(d_2\) Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là \(S_n=u_1+u_2+.....+u_n=7n+1\) và \(T_n=v_1+v_2+.....+v_n=4n+27\). Tìm tỉ số \(\frac{u_{11}}{v_{11}}\) Bài giải Ta có \(S_n=2u_1+\left(n-1\right)d_1\) và \(T_n=2v_1+\left(n-1\right)d_2\) nên \(\frac{S_n}{T_n}=\frac{2u_1+\left(n-1\right)d_1}{2v_1+\left(n-1\right)d_2}=\frac{7n+1}{4n+27}\left(1\right)\) \(\frac{u_{11}}{v_{11}}=\frac{u_1+10d_1}{v_1+10d_2}=\frac{2u_1+20d_1}{2v_1+20d_2}\left(2\right)\) So sánh (1) và (2) => n=21 nên \(\frac{u_{11}}{v_{11}}=\frac{148}{111}=\frac{4}{3}\)
Một cấp số cộng có \(a_9=47;d=5\). Số 10042 là số hạng thứ mấy của cấp số đó ? 2006 2007 2008 2009 Hướng dẫn giải: \(a_9=a_1+8.5=47\Rightarrow a_1=7\) \(a_n=7+\left(n-1\right).5=10042\Leftrightarrow n=2008\)
Cho cấp số cộng: \(5,9,13.....\). Số nào trong 4 số sau đây không phải là một số hạng của cấp số đó ? 201 317 421 3119 Hướng dẫn giải: Công thức số hạng tổng quát \(a_n=5+\left(n-1\right)4\) \(5+\left(n-1\right).4=201\Leftrightarrow n=50\) \(5+\left(n-1\right).4=317\Leftrightarrow n=79\) \(5+\left(n-1\right).4=421\Leftrightarrow n=105\) \(5+\left(n-1\right).4=3199:\) không có \(n\in N\) thỏa mãn
Một cấp số cộng được cho bởi : \(\begin{cases}u_2+u_4=10\\u_1+u_6=17\end{cases}\) Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) của cấp số cộng. \(u_1=-9;d=7\) \(u_1=-7;d=4\) \(u_1=2;d=1\) \(u_1=1;d=2\) Hướng dẫn giải: Thay \(u_2=u_1+d,u_4=u_1+3d,u_6=u_1+5d\) vào hệ ta có: \(\begin{cases}u_1+d+u_1+3d=10\\u_1+u_1+5d=17\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}2u_1+4d=10\\2u_1+5d=17\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u_1=-9\\d=7\end{cases}\)
Một cấp số cộng có số hạng đầu tiên \(a_1=2\), số hạng cuối cùng là 30 và tổng các số hạng đó bằng 352. Tìm công sai và số số hạng của cấp số cộng. 20 số hạng và \(d=\frac{4}{3}\) 22 số hạng và \(d=4\) 22 số hạng và \(d=\frac{4}{3}\) 20 số hạng và \(d=4\) Hướng dẫn giải: Nếu cấp số hạng cộng có \(n\) số hạng thì \(\frac{\left(2+30\right)n}{2}=352\Leftrightarrow n=22\) \(30=2+21d\Rightarrow d=\frac{4}{3}\)
Một cấp số cộng được cho bởi \(a_3=-15;a_{14}=18\). Tính tổng số 50 số hạng của cấp số cộng này. 2025 2225 2425 2625 Hướng dẫn giải: Từ giả thiết của hệ phương trình : \(\begin{cases}u_1+2d=-15\\u_1+13d=18\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}d=3\\u_1=21\end{cases}\) \(S_{50}=\frac{\left(u_1+u_{50}\right)50}{2};u_{50}=-21+49.3=126\) \(\Rightarrow S_{50}=\frac{\left(-21+126\right)50}{2}=2625\)
Tìm các giá trị của \(x\) để ba số \(10-3x;2x^2+3;7-4x\) lập thành một cấp số cộng. \(x=1\) hay \(x=-\frac{11}{4}\) \(x=-1\) hay \(x=\frac{11}{4}\) \(x=\frac{1}{4}\) hay \(x=-11\) \(x=11\) hay \(x=-\frac{1}{4}\) Hướng dẫn giải: Để \(10-3x;2x^2+3;7-4x\) làm thành cấp cộng thì : \(\left(10-3x\right)+\left(7-4x\right)=2\left(2x^2+3\right)\) \(\Leftrightarrow4x^2+7x-11=0\) \(\Leftrightarrow x=1\) hay \(x=-\frac{11}{4}\)
Một cấp số cộng \(\left(a_n\right)\) có \(a_4=14;a_{21}=65\). Tính tổng 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này. 1010 1020 1030 1025 Hướng dẫn giải: Ta có: \(\begin{cases}a_4=14\\a_{21}=65\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a_1+3d=14\\a_1+20d=65\end{cases}\) \(\begin{cases}a_1=5\\d=3\end{cases}\) \(\Rightarrow a_{25}=5+24.3=77\) \(\Rightarrow S_{25}=\frac{\left(a_1+a_{25}\right).25}{2}=\frac{\left(5+77\right)25}{2}=1025\)
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình : \(x^4-2\left(m+1\right)x^2+2m+1=0\) có 4 nghiệm lập thành 1 cấp số cộng . \(m=4\) hay \(m=-\frac{4}{9}\) \(m=\frac{4}{9}\) hay \(m=-4\) \(m=2\) hay \(m=-\frac{8}{9}\) \(m=\frac{8}{9}\) hay \(m=-2\) Hướng dẫn giải: Phương trình \(x^4-2\left(m+1\right)x^2+2m+1=0\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-2m-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=1\\x^2=2m+1\end{matrix}\right.\) . Phương trình sẽ có 4 nghiệm khi và chỉ khi \(2m+1\ge0\). Khi đó các nghiệm của phương trình viết theo thứ tự tăng là \(-\sqrt{2m+1};-1;1;\sqrt{2m+1}\) hoặc \(-1;-\sqrt{2m+1};\sqrt{2m+1};1\) Vì vậy để bốn nghiệm lập thành cấp số cộng phải có - hoặc \(\sqrt{2m+1}-1=1-\left(-1\right)\Leftrightarrow\sqrt{2m+1}=3\Leftrightarrow m=4\). - hoặc \(1-\sqrt{2m+1}=\sqrt{2m+1}-\left(-\sqrt{2m+1}\right)\Leftrightarrow\sqrt{2m+1}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow m=-\dfrac{4}{9}\). Đáp số: \(m=4;m=-\dfrac{4}{9}\).
Một cấp số cộng có tổng \(n\) số hạng đầu tiên là \(S_n=5n^2+3n\). Tìm số hạng đầu \(a_1\)và công sai \(d\) của cấp số cộng. \(a_1=10,d=8\) \(a_1=8,d=10\) \(a_1=18,d=2\) \(a_1=2,d=18\) Hướng dẫn giải: Ta có \(a_n=S_n-S_{n-1}=\left(5n^2+3n\right)-\left(5\left(n-1\right)^2+3\left(n-1\right)\right)=10n-2.\) Do đó \(a_1=8,a_2=18\Rightarrow d=a_2-a_1=10.\) Cách khác: Từ giả thiết \(S_n=5n^2+3n\) suy ra \(S_1=8,S_2=26\Rightarrow d=a_2-a_1=\left(S_2-S_1\right)-S_1=S_2-2S_1=26-2.8=10.\)
