Ba số dương a, b, c làm thành 1 cấp số cộng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? \(\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}};\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}};\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) lập thành một cấp số cộng \(a^2+2bc=c^2+2ab\) \(a^2+8bc=\left(ab+c\right)^2\) \(\frac{1}{b+c};\frac{1}{c+a};\frac{1}{a+b}\) lập thành 1 cấp số cộng Hướng dẫn giải: * a, b, c lập thành một cấp số cộng : => \(a+c=2b;b-a=c-b=d;c-a=2d\) Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{d};\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{a}}{2d};\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{d};\) và \(\frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{d}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{d}=2\left(\frac{\sqrt{c}-\sqrt{a}}{2d}\right)\) Vậy \(\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}};\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}};\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) lập thành cấp số cộng. * Ta biến đối: \(a^2+2bc=a^2+2\frac{\left(a+c\right)}{2}c=a^2+ac+c^2=a\left(a+c\right)+c^2=2ab+c^2\), => \(a^2+2bc=c^2+2ab\) * Ta biến đổi: \(a^2+8bc=a^2+8\frac{a+c}{2}c=a^2+4ac+4c^2=\left(a+2c\right)^2=\left(2b-c+2c\right)^2=\left(2b+c\right)^2\). * \(\frac{1}{b+c};\frac{1}{c+a};\frac{1}{a+b}\) không phải là cấp số cộng, ví dụ lấy (a, b, c) = (2, 4, 6) là cấp số cộng nhưng \(\left(\frac{1}{4+6};\frac{1}{2+6};\frac{1}{2+4}\right)=\left(\frac{1}{10};\frac{1}{8};\frac{1}{6}\right)\) không phải là cấp số cộng vì \(\frac{1}{8}\ne\frac{1}{2}\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{6}\right)\)
Một cấp số cộng có \(S_m=n;S_n=m\left(m>n\right)\). Tinh tổng \(S_{m+n}\). \(S_{m+n}=m+n\) \(S_{m+n}=-m-n\) \(S_{m+n}=m-n\) \(S_{m+n}=n-m\) Hướng dẫn giải: Bài toán cho \(S_n=\frac{2u_1+\left(n-1\right)d}{2}.n=m\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}2u_1+\left(n-1\right)d=\frac{2m}{n}\\2u_1+\left(m-1\right)d=\frac{2n}{m}\end{cases}\) Giải hệ phương trình trên tính được \(\begin{cases}d=\frac{-2\left(m+n\right)}{m.n}\\u_1=\frac{m^2+n^2+mn-m-n}{m.n}\end{cases}\) Vậy \(S_{m+n}=\frac{\left[2u_1+\left(m+n-1\right)d\right]\left(m+n\right)}{2}\) \(=\frac{\left[\frac{2\left(m^2+n^2+mn-m-n\right)}{mn}-\frac{2\left(m+n-1\right)\left(m+n\right)}{mn}\right]\left(m+n\right)}{2}\) \(=\frac{\left(m^2+n^2+mn-m-n-\left(m+n\right)^2+m+n\right)}{mn}\left(m+n\right)\) \(=-\left(m+n\right)\)
\(a,b\) phải thỏa mãn điều kiện gì để phương trình \(x^3+ax+b=0\) có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. \(a>0;b>0\) \(a>0;b=0\) \(a< 0;b< 0\) \(a< 0;b=0\) Hướng dẫn giải: Giả sử phương trình \(x^3+ax+b=0\) có ba nghiệm \(x_1;x_2;x_3\) thì : Khi đó: \(x^3+ax+b=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\) \(=x^3-\left(x_1+x_2+x_3\right)x^2+\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)x-x_1x_2x_3\) \(\Rightarrow\begin{cases}-\left(x_1+x_2+x_3\right)=0\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=a\\-x_1x_2x_3=b\end{cases}\) Vì \(x_1.x_2.x_3\) lập thành cấp số cộng nên: \(x_1+x_2+x_3=3x_2=0\Rightarrow x_2=0\) Vậy \(x_2=0\) là một nghiệm của phương trình. \(\Rightarrow0^3+a.0+b=0\Rightarrow b=0\) Khi đó ta có phương trình \(x^3+ax=0\Leftrightarrow x\left(x^2+a\right)=0\) Để phương trình này có 3 nghiệm thì \(a< 0\), khi đó ba nghiệm là: \(x_1=-\sqrt{-a};x_2=0;x_3=\sqrt{-a}\) Và ba nghiệm này lập thành cấp số cộng. Vậy điều kiện là: \(a< 0;b=0\)
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(x^4-\left(3m+4\right)x^2+\left(m+1\right)^2=0\) có 4 nghiệm lập thành 1 cấp số cộng . \(m=2\) hay \(m=-\frac{22}{19}\) \(m=-2\) hay \(m=\frac{22}{19}\) \(m=2\) hay \(m=\frac{22}{19}\) \(m=-2\) hay \(m=-\frac{22}{19}\) Hướng dẫn giải: Phương trình : \(x^4-\left(3m+4\right)x^2+\left(m+1\right)^2=0\) có \(\Delta=5m^2+16m+12\) Để có đủ 4 nghiệm thì điều kiện phương trình trùng phương có các nghiệm \(x^2\) dương. Hay là: \(\begin{cases}-\frac{b}{a}>0\\\frac{c}{a}>0\\\Delta>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}3m+4>0\\\left(m+1\right)^2>0\\5m^2+16m+12>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m>-\frac{4}{3}\\m\ne-1\\m< -2;m>-\frac{6}{5}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow-\frac{6}{5}< m\ne-1\) Khi đó 4 nghiệm của phương trình \(\left(x_1;x_2;x_3;x_4\right)\) là: \(-\sqrt{\frac{3m+4+\sqrt{\Delta}}{2}};-\sqrt{\frac{3m+4-\sqrt{\Delta}}{2}};\sqrt{\frac{3m+4-\sqrt{\Delta}}{2}};\sqrt{\frac{3m+4+\sqrt{\Delta}}{2}}\) Để 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng khi \(\left(x_4+x_2\right)=2x_3\), hay là : \(\sqrt{\frac{3m+4+\sqrt{\Delta}}{2}}-\sqrt{\frac{3m+4-\sqrt{\Delta}}{2}}=2\sqrt{\frac{3m+4-\sqrt{\Delta}}{2}}\) \(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{3m+4+\sqrt{\Delta}}{2}}=3\sqrt{\frac{3m+4-\sqrt{\Delta}}{2}}\) \(\Leftrightarrow10\sqrt{\Delta}=8\left(3m+4\right)\) \(\Leftrightarrow5\sqrt{\Delta}=4\left(3m+4\right)\) \(\Leftrightarrow25\left(5m^2+12m+12\right)=16\left(9m^2+24m+16\right)\) \(\Leftrightarrow19m^2-16m-44=0\) \(\Leftrightarrow m=2\) hay \(m=-\frac{22}{19}\) đều thỏa mãn \(>-\frac{6}{5}\) và \(\ne-1\)
