Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạn thứ 2, mỗi số hạn đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với số không đổi q. Số q gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu (\(u_n\)) là cấp số nhân với công bội q, ta có \(u_{n+1}=u_nq\), với mọi số nguyên dương n. Số hạng tổng quát: \(u_n=u_1q_{n-1}\) với n ≥ 2 Tính chất các số hạng của cấp số nhân: \(\left(u_k\right)^2=u_{k-1}.u_{k+1}\), với k ≥ 2 Tổng n số hạng đầu của Cấp số nhân Nếu \(q=1\) thì \(S_n=n.u_1\) Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh tương ứng a; b; c. Biết \(\widehat{A}=90^0\) và \(a;\sqrt{\frac{2}{3}b};c\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tìm số đo các góc B và C Bài giải : Theo tính chất cấp số nhân, ta có : \(ac=\frac{2}{3}b^2\) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có : \(b=a.\sin B,c=a.\cos B\) Vậy \(ac=\frac{2}{3}b^2\Leftrightarrow3a^2.\cos B=2a^2\sin^2B\) \(\Leftrightarrow2\cos^2B+3\cos B-2=0\) \(\Rightarrow\cos B=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{B}=60^0;\widehat{C}=30^0\) Ví dụ 2: Tìm bốn số hạng đầu của một cấp số nhân, biết tổng 3 số hạng đầu bằng \(16\frac{4}{9}\), đồng thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất, thứ 4 và thứ 8 của một cấp số cộng Bài giải : Gọi \(u_1,u_2,u_3,u_4\) là 4 số hạng đầu tiên của cấp số nhân, với công bội q. Gọi \(\left(v_n\right)\) là cấp số cộng tương ứng với công sai là d. Theo giả thiết ta có : \(\begin{cases}u_1+u_2+u_3+u_4=16\frac{4}{9}\left(1\right)\\u_1=v_1\\u_2=v_4=v_1+3d\\u_3=v_8=v_1+7d\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u_1+u_1q+u_1q^2=16\frac{4}{9}\left(1\right)\\u_1q=u_1+3d\left(2\right)\\u_1q^2=u_1+7d\left(3\right)\end{cases}\) Khử d từ (2) và (3) ta được \(u_1\left(3q^2-7q+4\right)=0\left(4\right)\) Do (1) nên : \(u_1\ne0\Rightarrow\left(4\right)\Leftrightarrow\begin{cases}q=1\\q=\frac{4}{3}\end{cases}\) Theo định nghĩa thì \(q\ne1\), do vậy \(q=\frac{4}{3}\) Thay vào (1), ta được \(u_1=4;u_2=u_1q=\frac{16}{3};u_3=\frac{64}{9};u_4=\frac{256}{27}\) Ví dụ 3: Chứng minh rằng dãy số \(a_n=2.3^n\) lập thành một cấp số nhân và tính tổng của 8 số hạng đầu tiên của nó Bài giải : Xét \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2.3^{n+1}}{2.3^n}=3>1\) chứng tỏ \(a_n\) là một cấp số nhân, có công bội q = 3, \(a_1=2.3=6\) Do vậy : \(S_8=\frac{6\left(3^8-1\right)}{3-1}=3.\left(3^8-1\right)=17.680\) Ví dụ 4: Giả sử a, b, c, d lập thành một cấp số nhân. Hãy tính giá trị biểu thức : \(\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2-\left(a-d\right)^2\) Bài giải : Ta có : \(A=\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2-\left(a-d\right)^2\) \(=\left(a-aq^2\right)^2+\left(aq-aq^2\right)^2+\left(aq-aq^3\right)^2-\left(a-aq^3\right)^2=0\)
Dãy số \(a_n\) được cho bởi : \(\begin{cases}a_1=3\\a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n\left(\forall n\ge1\right)\end{cases}\). Khẳng định nào sau đây là sai ? \(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=\frac{93}{16}\) \(a_{10}=\frac{3}{512}\) \(a_{n+1}+a_n=\frac{9}{2^n}\) \(a_n=\frac{3}{2^n}\) Hướng dẫn giải: Dãy số đã cho là cấp số nhân với số hạng đầu là \(a_1=3\), công bội \(q=\dfrac{1}{2}\) nên \(a_n=a_1.q^{n-1}=\dfrac{3}{2^{n-1}}\). Vì vậy khẳng định " \(a_n=\dfrac{3}{2^n}\)" sai.
Biết rằng \(a,b,c\) lập thành một cấp số nhân. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? \(\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)=a^2+b^2+c^2\) \(\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)=\left(ab+bc\right)^2\) \(\left(bc+ca+ab\right)^3=abc\left(a+b+c\right)^3\) \(\frac{2}{b-a};\frac{1}{b};\frac{2}{b-c}\) là cấp số nhân. Hướng dẫn giải: Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên \(b^2=ac\) . Ta kiểm tra: *) \(\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)=\left(a+c\right)^2-b^2\) \(=a^2+2ac+c^2-b^2\) \(=a^2+2b^2+c^2-b^2\) \(=a^2+b^2+c^2\) *) \(\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)=a^2b^2+b^2c^2+b^4+a^2c^2=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+a^2c^2\) \(=a^2b^2+b^2c^2+2ac.ac\) \(=a^2b^2+b^2c^2+2ac.b^2=\left(ab+bc\right)^2\) *) \(\left(bc+ca+ab\right)^3=\left(bc+b^2+ab\right)^3\) \(=\left[b\left(c+b+a\right)\right]^3=b^2.b\left(a+b+c\right)^3=abc\left(a+b+c\right)^3\) Vì vậy khẳng định sai chỉ có thể là khẳng định " \(\frac{2}{b-a};\frac{1}{b};\frac{2}{b-c}\) là một cấp số nhân". Thật vậy: Xét cấp số nhân \(a=1,b=2,c=4\) ta có \(\dfrac{2}{b-a}=\dfrac{2}{2-1}=2;\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{b-c}=\dfrac{2}{2-4}=-1\), ba số \(2;\dfrac{1}{2};-1\) không lập thành cấp số nhân (nếu ngược lại thì \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=2.\left(-1\right)\) vô lý.
Một cấp số nhân có n số hạng. Biết số hạng đầu \(a_1=7\), công bội q = 2 và số hạng thứ \(n:a_n=1792\). Tổng các số hạng của cấp số này bằng bao nhiêu? 5377 3577 5737 8085,5 Hướng dẫn giải: Ta có: \(a_n=a_1.q^{n-1}=7.2^{n-1}=1792\) \(\Leftrightarrow2^{n-1}=256\) \(\Leftrightarrow n-1=8\) \(\Leftrightarrow n=9\) Tổng \(S_9=\frac{a_1\left(q^9-1\right)}{q-1}=\frac{7\left(2^9-1\right)}{2-1}=7.511=3577\)
Biết ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng; a, b, c + 3 lập thành một cấp số nhân và a + b + c = 18. Tìm ba số đó. 12, 4, 2 10, 6, 2 6 , 6 , 6 3, 6, 9 Hướng dẫn giải: Từ \(a,b,c\) là cấp số cộng ta có \(a+c=2b\) \(a+b+c=18\Leftrightarrow3b=18\Leftrightarrow b=6\) \(\Leftrightarrow a+c=12\Leftrightarrow c=12-a\) Từ \(a,b,c+3\) là cấp số nhân \(\Leftrightarrow a\left(c+3\right)=b^2=36\) \(\Leftrightarrow a\left(15-a\right)=36\Leftrightarrow a^2-15a+36=0\) \(\Leftrightarrow a=3\) hay \(a=12\) Nhận \(a=3\) từ đó \(a=3;b=6;c=9\).
Một cấp số nhân \(\left(a_n\right)\) có \(a_3+a_5=20;a_4+a_6=-40\). Tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số này. 85 -85 58 -58 Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có \(\begin{cases}a_3+a_5=20\\a_4+a_6=-40\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a_1q^2+a_1q^4=20\\a_1q^3+a_1q^5=-40\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a_1q^2\left(1+q^2\right)=20\\a_1q^3\left(1+q^2\right)=-40\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}q=-2\\a_1=1\end{cases}\) Do đó \(S_8=\frac{a_1\left(q^8-1\right)}{q-1}=\frac{1\left(\left(-2\right)^8-1\right)}{-2-1}=\frac{255}{-3}=-85\).
Tìm công bội của cấp số nhân \(\left(a_n\right)\) thỏa mãn \(\begin{cases}a_1+a_6=244\\a_3+a_4=36\end{cases}\) \(\frac{1}{3};3;\frac{7-\sqrt{13}}{6};\frac{7+\sqrt{13}}{6}\) \(3;\frac{1}{3};\frac{-7-\sqrt{13}}{6};\frac{-7+\sqrt{13}}{6}\) \(3;-\frac{1}{3};-1;-3\) \(3;-\frac{1}{3};\frac{\sqrt{13}-7}{6};\frac{\sqrt{13}+7}{6}\) Hướng dẫn giải: Điều kiện đề cho có thể viết lại : \(\begin{cases}a_1+a_1.q^5=244\\a_1q^2+a_1q^3=36\end{cases}\)\(\Rightarrow\frac{1+q^5}{q^2+q^3}=\frac{61}{9}\) \(\Rightarrow9.q^5-61q^3-61q^2+9=0\) \(\Leftrightarrow\left(q+1\right)\left(q-3\right)\left(q-\frac{1}{3}\right)\left(9q^2+21q+9\right)=0\) \(\Leftrightarrow q=-1;q=3;q=\frac{1}{3q};q=\frac{-7-\sqrt{13}}{6};q=\frac{-7+\sqrt{13}}{6}\) Loại \(q=-1\) còn các giá trị : \(q=3;q=\frac{1}{3};q=\frac{-7-\sqrt{13}}{6};q=\frac{-7+\sqrt{13}}{6}\) đều thỏa mãn các điều kiện của đề.
Cho cấp số nhân \(4^{x+3},2^{5x+1},4^{x^2+1}\) . Số \(x\) phải là \(x=3\) hay \(x=-1\) \(x=-3\) hay \(x=1\) \(x=3\) hay \(x=1\) \(x=-3\) hay \(x=-1\) Hướng dẫn giải: \(4^{x+3},2^{5x+1},4^{x^2+1}\) là một cấp số nhân nên \(4^{x+3}.4^{x^2+1}=\left(2^{5x+1}\right)^2\Leftrightarrow4^{x^2+x+4}=4^{5x+1}\) \(\Leftrightarrow x^2+x+4=5x+1\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\) \(\Leftrightarrow x=1\) hay \(x=3\).
Một cấp số nhân \(\left(a_n\right)\) thỏa mãn : \(\begin{cases}a_1+a_2+a_3=13\\a_4+a_5+a_6=351\end{cases}\) Tìm số hạng đầu tiên \(a_1\) và công bội q của cấp số nhân này. \(a_1=3;q=\frac{1}{3}\) \(a_1=1;q=3\) \(a_1=1;q=2\) \(a_1=2;q=2\) Hướng dẫn giải: \(\begin{cases}a_1+a_2+a_3=13\\a_4+a_5+a_6=351\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a_1\left(1+q+q^2\right)=13\\a_1q^3\left(1+q+q^2\right)=351\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a_1=1\\q=3\end{cases}\)
Ba số \(a,b,c\) lập thành một cấp số nhân có : \(a+b+c=21\) và \(a^2+b^2+c^2=189\) Tìm ba số đó. \(1,4,16\) hoặc \(16,4,1\). \(7,7,7\) hoặc \(7,7,7\). \(3,6,12\) hoặc \(12,6,3\). \(1,8,12\) hoặc \(12,8,1\). Hướng dẫn giải: Vì a, b, c là cấp số nhân nên \(ac=b^2\). Ta có: \(\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)=\left(a+c\right)^2-b^2\) \(=a^2+2ac+c^2-b^2\) \(=a^2+2b^2+c^2-b^2\) \(=a^2+b^2+c^2\) Theo giả thiết suy ra \(21\left(a-b+c\right)=189\) \(\Leftrightarrow a-b+c=9\) Từ \(\begin{cases}a+b+c=21\\a-b+c=9\end{cases}\) \(\Leftrightarrow2b=12\Leftrightarrow b=6\) \(\Rightarrow a+c=21-b=21-6=15\) \(\Rightarrow a,c\) là nghiệm của hệ : \(\begin{cases}a+c=15\\a.c=b^2=36\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a=3\\c=12\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a=12\\c=3\end{cases}\) Vậy \(\left(a;b;c\right)=\left(3;6;12\right)\) hoặc \(\left(a;b;c\right)=\left(12;6;3\right)\)
