1. Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), x0 ∈ (a;b). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số $\frac{f(x)-f(x_0))}{x-x_0}$ khi $x → x_0$ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x0, kí hiệu là f'( x0) hay y'( x0). Như vậy: $f'(x) = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0))}{x-x_0}$. Nếu đặt $x - x_0 = ∆x$ và $∆y = f(x_0+∆x) - f(x_0)$ thì ta có $f'(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ Đại lượng ∆x được gọi là số gia của đối số tại x0 và đại lượng ∆y được gọi là số gia tương ứng của hàm số. 2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa Bước 1. Với ∆x là số gia của số đối tại x0 ,tính ∆y = f(x0+∆x)- f(x0); Bước 2. Lập tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ Bước 3. Tính $\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ Nhận xét: nếu thay $x_0$ bởi x ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x ∈ (a;b)$. 3. Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm Định lí. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại $x_0$ thì nó liên tục tại $x_0$. Chú ý. Định lí trên tương đương với khẳng định : Nếu y = f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. Mệnh đề đảo của định lí không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó. 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Nếu tồn tại, $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M0(x_0;f(x_0))$. Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M_0(x_0;f(x_0))$ là $y - f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)$ 5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm $v(t) = s'(t)$ là vận tốc tức thời của chuyển động $s = s(t)$ tại thời điểm t. 6. Các dạng toán cơ bản : Loại 1: Tính đạo hàm bằng công thức : Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\frac{1}{x}\) tại điểm \(x_0=2\) Bài giải : Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0=2\). Ta có : \(\Delta y=f\left(2+ \Delta x\right)-f\left(2\right)=\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}=-\frac{\Delta x}{2\left(2+\Delta x\right)}\) \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{2\left(2+\Delta x\right)}\) \(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{-1}{2\left(2+\Delta x\right)}=-\frac{1}{4}\) Vậy \(f'\left(2\right)=-\frac{1}{4}\) Ví dụ 2 : Tính đạo hàm hàm số : \(y=\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}\) Bài giải : Xét hàm số : \(y=\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}\) ta có \(y'=\frac{\left(x+\sqrt{x}\right)'}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\) \(=\frac{1+2\sqrt{x}}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1+2\sqrt{x}+2\sqrt{x+\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}\) Loại 2 : Chứng minh các đẳng thức về đạo hàm : Ví dụ 1: Cho \(y=e^{-x}.\sin x\), chứng minh hệ thức \(y"+2y'+2y=0\) Bài giải : Ta có \(y'=-e^{-x}.\sin x+e^{-x}.\cos x\) \(y"=e^{-x}.\sin x-e^{-x}.\cos x-e^{-x}.\cos x-e^{-x}.\sin x=-2e^{-x}.\cos x\) Vậy \(y"+2y'+2y=-2.e^{-x}.\cos x--2.e^{-x}.\sin x+2.e^{-x}.\cos x+2.e^{-x}.\sin x=0\) Ví dụ 2 : Cho \(y=\frac{1}{2}x^2e^x\),chứng minh hệ thức \(y"-2'+y=e^x\) Bài giải : Ta có : \(y'=xe^x+\frac{1}{2}x^2e^x\) \(y"=e^x+xe^x+xe^x+\frac{1}{2}x^2e^x=e^x+3xe^x+\frac{1}{2}x^2e^x\) Khi đó : \(y"+2y'+y=e^x+2xe^x+\frac{1}{2}x^2e^x-x^2e^x+\frac{1}{2}x^2e^x=e^x\) Ví dụ 3 : Cho \(y=\sqrt{2x+x^2}\), chứng minh rằng ta có hệ thức \(y^3y"+1=0\) Bài giải : Ta có : \(y'=\frac{2+2x}{2\sqrt{2x+x^2}}=\frac{1+x}{\sqrt{2x+x^2}}\) \(y"=\frac{\sqrt{2x+x^2}-\left(1+x\right)\frac{1+x}{\sqrt{2x+x^2}}}{2x+x^2}=\frac{2x+x^2-\left(1+x\right)^2}{2x+x^2\sqrt{2x+x^2}}=\frac{-1}{2x+x^2\sqrt{2x+x^2}}\) Ta có :\(y^3y"+1=\left(2x+x^2\right)\sqrt{2x+x^2}\left(\frac{-1}{\left(2x+x^2\right)\sqrt{2x+x^2}}\right)+1=0\) Loại 3 : Phương trình và bất phương trình có đạo hàm Ví dụ 1: Cho \(f\left(x\right)=x^3\ln x\), giải phương trình : \(f'\left(x\right)-\frac{1}{x}f\left(x\right)=0\) (1) Bài giải : Ta có \(f\left(x\right)=3x^2\ln x+x^3.\frac{1}{x}=3x^2\ln x+x^2\) Vậy (1) \(\Leftrightarrow3x^2\ln x+x^2-x^2\ln x=0\) \(\Leftrightarrow2x^2\ln x+x^2=0\) \(\Leftrightarrow x^2\left(2\ln x+1\right)=0\) (2) Rõ ràng \(x>0\) là điều kiện tồn tại phương trình nên : \(\left(2\right)\Leftrightarrow2\ln x+1=0\) \(\Leftrightarrow\ln x=-\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{e}}\) Ví dụ 2 : Cho \(f\left(x\right)=2x^2\cos^2\frac{x}{2}\) và \(g\left(x\right)=x-x^2\sin x\). Giải phương trình \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\) (1) Bài giải : Ta có : \(f'\left(x\right)=4x\cos^2\frac{x}{2}+2x^2\cos\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}\right)=4x\cos^2\frac{x}{2}-x^2\sin x\) Vậy (1) \(\Leftrightarrow4x\cos^2\frac{x}{2}-x^2\sin x=x-x^2\sin x\) \(\Leftrightarrow4x\cos^2\frac{x}{2}=x\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1}{4}\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\1+\cos x=\frac{1}{2}\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\\cos x=-\frac{1}{2}\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=\pm\frac{2\pi}{3}+k2\pi,k\in Z\end{array}\right.\) Ví dụ 3 : Cho \(f\left(x\right)=2x^3+12x^2\) và \(g\left(x\right)=9x^2+72x\), giải phương trình \(f'\left(x\right)+g'\left(x\right)\le0\) Bài giải : Ta có : \(f'\left(x\right)=6x^2+24x\) \(g'\left(x\right)=18x+72\) Khi đó (1) \(\Leftrightarrow6x^2+24x+18+72\le0\) \(\Leftrightarrow x^2+7x+12\le0\) \(\Leftrightarrow-4\le x\le-3\) Loại 4 : Đạo hàm cấp cao : Ví dụ : Cho \(f\left(x\right)=\frac{5x-3}{x^2-3x+2}\); tìm \(f^{\left(n\right)}\left(x\right)\) Bài giải : Ta hãy tìm A, B sao cho : \(\frac{5x-3}{x^2-3x+2}=\frac{5x-3}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}\) (1) Từ (1) ta có \(5x-3=A\left(x-2\right)+B\left(x-1\right)=x\left(A+B\right)-\left(2A+B\right)\) \(\Rightarrow\begin{cases}A+B=5\\2A+B=3\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}A=-2\\B=7\end{cases}\) Vậy \(f\left(x\right)=\frac{5x-3}{x^2-3x+2}=\frac{-2}{\left(x-1\right)}+\frac{7}{\left(x-2\right)}\) \(\Rightarrow f^{\left(n\right)}\left(x\right)=-2\left(\frac{1}{x-1}\right)^{\left(n\right)}+7\left(\frac{1}{x-2}\right)^{\left(n\right)}\) Từ ví dụ trên, suy ra : \(f^{\left(n\right)}\left(x\right)=7\left(-1\right)^nn!\frac{1}{\left(x-2\right)^{n+1}}-2\left(-1\right)n!\frac{1}{\left(x-1\right)^{n+1}}=\left(-1\right)^nn!\left[\frac{7}{\left(x-2\right)^{n+1}}-\frac{2}{\left(x-1\right)^{n+1}}\right]\) Loại 5 : Bài toán sử dụng định nghĩa đạo hàm : Ví dụ 1 : Cho hàm số \(f\left(x\right)=\begin{cases}\frac{1-\cos x}{x};x\ne0\\2;x=0\end{cases}\) có tồn tại đạo hàm \(f\left(x\right)\) tại \(x=0\) hay không ? Bài giải : Ta có : \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x}\) \(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}.\lim\limits_{x\rightarrow0}\sin\frac{x}{2}=1.0=0\) Do đó \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)\ne f\left(0\right)\) vậy \(f\left(x\right)\) là hàm số không liên tục tại \(x=0\) suy ra \(f\left(x\right)\) không có đạo hàm tại x = 0 (không thỏa mãn điều kiện cần) Ví dụ 2 : Cho hàm số \(f\left(x\right)\) xác định trên R và thỏa mãn. \(\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)^2\le\left|x-y\right|^3\), mọi \(x,y\in R\) Chứng minh rằng hàm số \(f\left(x\right)\) có đạo hàm trên R Bài giải : Lấy \(x_0\) tùy ý thuộc R. Từ giả thiết ta có : \(\left(f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)\right)^2\le\left|x_0+\Delta x-x_0\right|^3\) \(\Leftrightarrow\left(\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\right)^2\le\left|\Delta x\right|\) \(\Leftrightarrow-\sqrt{\left|\Delta x\right|}\le\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\le\sqrt{\left|\Delta x\right|}\) Do \(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow x}\sqrt{\left|\Delta x\right|}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow x}\left(-\sqrt{\left|\Delta x\right|}\right)=0\) nên theo "nguyên lí kép" ta có \(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=0\) Vậy tồn tại đạo hàm của \(f\left(x\right)\) tại \(x_0\) Do \(x_0\) tùy thuộc R nên \(f\left(x\right)\) là hàm số có đạo hàm trên R Hơn thế, ta còn có \(f'\left(x\right)=0\) với mọi \(x\in R\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\begin{cases}\dfrac{x^2}{2};\left(x\le1\right)\\ax+b;\left(x>1\right)\end{cases}\) Tìm các giá trị của a và b để hàm số có đạo hàm tại \(x=1\). \(a=1;b=\frac{1}{2}\) \(a=1;b=-\frac{1}{2}\) \(a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{2}\) \(a=\frac{1}{2};b=-\frac{1}{2}\) Hướng dẫn giải:
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\begin{cases}x^2;\left(x\le2\right)\\-\frac{x^2}{2}+bx+c;\left(x>2\right)\end{cases}\) Tìm các cặp số \(b,c\) để hàm số có đạo hàm tại x = 2. \(b=-6;c=6\) \(b=6;c=-6\) \(b=3;c=-3\) \(b=-3;c=3\) Hướng dẫn giải:
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\begin{cases}ux^2+vx+1;\left(x\ge0\right)\\\left(u+x\right)e^{-vx};\left(x< 0\right)\end{cases}\) Tìm giá trị thích hợp của u và v để hàm số này có đạo hàm tại x = 0. \(u=\frac{1}{2};v=\frac{1}{2}\) \(u=1;v=-\frac{1}{2}\) \(u=1;v=\frac{1}{2}\) \(u=\frac{1}{2};v=-\frac{1}{2}\) Hướng dẫn giải:
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\begin{cases}\frac{2-\sqrt{4-x}}{x};\left(x\ne0\right)\\\frac{1}{4};\left(x=0\right)\end{cases}\) Tính \(f'\left(0\right)\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{16}\) \(\frac{1}{32}\) \(\frac{1}{64}\) Hướng dẫn giải:
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=x^2+5x+4\) có đồ thị (P). Tìm phương trình các tiếp tuyến của (P) tại các giao điểm của (P) với trục hoành. \(y=3x-3\) và \(y=-3x+12\) \(y=3x+3\) và \(y=-3x-12\) \(y=2x-3\) và \(y=-2x+3\) \(y=2x+3\) và \(y=-2x-3\) Hướng dẫn giải: Ta có \(f\left(x\right)=x^2+5x+4\Rightarrow f'\left(x\right)=2x+5\). Phương trình hoành độ giao điểm của (P) với trục hoành là \(x^2+5x+4=0\Leftrightarrow x=-1,x=-4\). Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x=-1\) có phương trình \(y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)=3\left(x+3\right)\) (chú ý rằng đồ thị cắt trục hoành tại \(x=-1\) và \(x=-4\) nên \(f\left(-1\right)=0\) và \(f\left(-4\right)=0\)). Cũng vậy, tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x=-4\) có phương trình \(y=f'\left(-4\right)\left(x+4\right)=-3\left(x+4\right)\). Đáp số: \(y=-3x-12\)
Một đường thẳng (d) cắt đồ thị (P) của hàm số \(y=3x^2-5x+5\) tại \(A\left(2;a\right)\) và \(B\left(b;3\right)\). Tìm hệ số góc của đường thẳng (d). 3 hoặc - 4 - 3 hoặc 4 3 hoặc 4 - 3 hoặc - 4 Hướng dẫn giải: Từ giả thiết suy ra A(2;a) và B(b;3) có tọa độ thỏa mãn phương trình \(y=3x^2-5x+5\) tức là \(\left\{{}\begin{matrix}a=3.3^2-5.2+5=7\\3=3b^2-5b+5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=7\\b\in\left\{1;\dfrac{2}{3}\right\}\end{matrix}\right.\). Đường thẳng d qua A(2;a) và B(b;3) nên có hệ số góc \(k=\dfrac{a-3}{2-b}=\dfrac{4}{2-b}\). Với \(b=1\) thì \(k=4\). Với \(b=\dfrac{2}{3}\) thì \(k=\dfrac{4}{2-b}=3\) . Đáp số: 3 hoặc 4.
Cho (P) là đồ thị của hàm số \(y=f\left(x\right)=x^2-2x+3\). Tiếp tuyến của (P) song song với đường thẳng \(4x-2y+5=0\) là đường thẳng có phương trình nào trong số các phương trình dưới đây: \(y=2x-2\) \(y=2x+2\) \(y=2x-1\) \(y=2x+1\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng \(4x-2y+5=0\) có hệ số góc 2 nên tiếp tuyến song song với đường thẳng này cũng phải có hệ số góc 2. Phương trình hoành độ tiếp điểm là \(f'\left(x\right)=2\) \(\Leftrightarrow2x-2=2\Leftrightarrow x=2\). Tiếp tuyến song song với \(4x-2y+5=0\) có phương trình \(y=2\left(x-2\right)+f\left(2\right)\Leftrightarrow y=2x-4+3\Leftrightarrow y=2x-1\).
Hàm số \(y=f\left(x\right)=3x^2-2x+5\) có đồ thị là (P) . Đường thẳng nào trong các đường thẳng cho dưới đây là một tiếp tuyến của (P) vuông góc với đường thẳng \(x+4y+1=0\) ? \(y=4x+1\) \(y=4x+2\) \(y=4x-1\) \(y=4x-2\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng \(x+4y+1=0\) có hệ số góc bằng \(-\dfrac{1}{4}\), tiếp tuyến vuông góc với \(x+4y+1=0\) phải có hệ số góc bằng 4. Phương trình hoành độ tiếp điểm các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 4 là \(f'\left(x\right)=4\Leftrightarrow6x-2=4\Leftrightarrow x=1\). Vì \(f\left(1\right)=6\) nên tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x=1\) có phương trình là \(y=4\left(x-1\right)+6\Leftrightarrow y=4x+2\)
Hàm số \(y=f\left(x\right)=x^2-5x-8\) có đồ thị là (P). Đường thẳng \(y=3x+m\) tiếp xúc với (P), tìm tọa độ tiếp điểm. \(\left(4;12\right)\) \(\left(-4;12\right)\) \(\left(-4;-12\right)\) \(\left(4;-12\right)\) Hướng dẫn giải: Tiếp tuyến \(y=3x+m\) có hệ số góc bằng 3 nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình \(f'\left(x\right)=3\Leftrightarrow2x-5=3\Leftrightarrow x=4\). Tiếp điểm có hoành độ 4 và có tung độ \(f\left(4\right)=-12\) . Đáp số: \(\left(4;-12\right)\)
