Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{4}-x+1\). Từ điểm \(M\left(2;-1\right)\) có thể kẻ đến đồ thị (P) của hàm số hai tiếp tuyến phân biệt. Viết phương trình hai tiếp tuyến đó. \(y=-x+1\) và \(y=x-3\) \(y=-x+3\) và \(y=x+1\) \(y=-x-3\) và \(y=x-1\) \(y=-x-1\) và \(y=x+3\) Hướng dẫn giải: Ta có \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{4}-x+1\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{x}{2}-1\). Tiếp tuyến tổng quát của (P) có phương trình \(y=f'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)\). Chọn \(x_0\) để tiếp tuyến này qua M(2;-1) tức là chọ \(x_0\) sao cho \(-1=f'\left(x_0\right)\left(2-x_0\right)+f\left(x_0\right)\Leftrightarrow-1=\left(\dfrac{x_0}{2}-1\right)\left(2-x_0\right)+\dfrac{x_0^2}{4}-x_0+1\) \(\Leftrightarrow\dfrac{x_0^2}{4}-x_0=0\Leftrightarrow x_0=0;x_0=4\). Với \(x_0=0\) thì \(f'\left(x_0\right)=-1,f\left(x_0\right)=1\) tiếp tuyến có phương trình \(y=-\left(x-0\right)+1\Leftrightarrow y=-x+1\). Với \(x_0=4\) thì \(f'\left(x_0\right)=1,f\left(x_0\right)=1\) tiếp tuyến có phương trình \(y=1.\left(x-4\right)+1\Leftrightarrow y=x-3\). Đáp số: \(y=-x+1\) và \(y=x-3\).
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=-\dfrac{x^2}{2}+2x+1\) có đồ thị (P) và đường thẳng (d) có phương trình \(y=kx\). Tìm tất cả các giá trị của k để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến tại hai giao điểm này vuông góc nhau. \(k=\frac{4}{5}\) \(k=\frac{5}{4}\) \(k=\dfrac{5}{8}\) \(k=-\frac{5}{4}\) Hướng dẫn giải: Ta có \(f\left(x\right)=-\dfrac{x^2}{2}+2x+1\Rightarrow f'\left(x\right)=-x+2\). Phương trình xác định hoành độ các giao điểm của (d) và (P) là \(-\dfrac{x^2}{2}+2x+1=kx\Leftrightarrow x^2-\left(4-2k\right)x-2=0\) (1) . Với mọi k, phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\) vì vậy chỉ cần tìm các giá trị của k để \(f'\left(x_1\right)f'\left(x_2\right)=-1\), tức là \(\left(-x_1+2\right)\left(-x_2+2\right)=-1\Leftrightarrow x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+5=0\). Theo Viet, điều này tương đương với \(-2-2\left(4-2k\right)+5=0\Leftrightarrow4k-5=0\Leftrightarrow k=\dfrac{5}{4}\).
Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y=f\left(x\right)=-\dfrac{x^3}{3}-2x^2-3x+1\). Có hai tiếp tuyến của (C) cùng có hệ số góc bằng \(\frac{3}{4}\). Tìm phương trình hai tiếp tuyến đó. \(y=\frac{3}{4}x+\frac{29}{24}\) và \(y=\frac{3}{4}x+3\) \(y=\frac{3}{4}x-\frac{37}{12}\) và \(y=\frac{3}{4}x-3\) \(y=\frac{3}{4}x+\frac{37}{12}\) và \(y=\frac{3}{4}x+\frac{13}{4}\) \(y=\frac{3}{4}x+3\) và \(y=\frac{3}{4}x-\frac{29}{24}\) Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ tiếp điểm các tiếp tuyến có hệ số góc \(\dfrac{3}{4}\) là \(f'\left(x\right)=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow x^2-4x-3=\dfrac{3}{4}\). Phương trình này có hai nghiệm là \(x=-\dfrac{5}{2}\) và \(x=-\dfrac{3}{2}\). Ta có \(f\left(-\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{29}{24},f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{17}{8}\) . Do đó các tiếp tuyến có hệ số góc \(\dfrac{3}{4}\) của đồ thị là: \(y=\dfrac{3}{4}\left(x+\dfrac{5}{2}\right)+\dfrac{29}{24}=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{37}{12}\) và \(y=\dfrac{3}{4}\left(x+\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{17}{8}=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{13}{4}\)
Một đường thẳng cắt đồ thị (P) của hàm số \(y=f\left(x\right)=2x^2-3x+5\) tại A(2;a), B(b;10). Tiếp tuyến của (P) song song với đường thẳng đã cho có hệ số góc bằng bao nhiêu? 1 hoặc - 6 - 1 hoặc 6 2 hoặc - 3 - 2 hoặc 3 Hướng dẫn giải: Hai điểm A(2;a), B(b;10) thuộc đồ thị (P) nên \(a=f\left(2\right)=7\) và \(f\left(b\right)=10\Leftrightarrow2b^2-3b-5=0\Leftrightarrow b=-1;b=\dfrac{5}{2}\) Nếu \(b=-1\) thì tiếp tuyến có hệ số góc bằng hệ số góc đường thẳng AB tức là bằng \(\dfrac{a-10}{2-b}=\dfrac{-3}{3}=-1\). Nếu \(b=\dfrac{5}{2}\) thì tiếp tuyến có hệ số góc bằng \(\dfrac{a-10}{2-b}=\dfrac{-3}{-\dfrac{1}{2}}=6\). Đáp số: -1 và 6
Gọi (P) là đồ thị của hàm số \(y=f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{2}+4x+4\).Tìm phương trình tiếp tuyến của (P) vuông góc với đường thẳng \(x+2y-2=0\). \(2x-y+1=0\) \(2x-y-1=0\) \(2x-y+2=0\) \(2x-y-2=0\) Hướng dẫn giải: \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{2}+4x+4\Rightarrow f'\left(x\right)=x+4\). Đường thẳng \(x+2y-2=0\) có hệ số góc \(-\dfrac{1}{2}\) nên tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng này phải có hệ số góc 2. Phương trình hoành độ tiếp điểm là \(f'\left(x\right)=2\Leftrightarrow x+4=2\Leftrightarrow x=-2\) . Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x+2y-2=0\) có phương trình \(y=2\left(x+2\right)+f\left(-2\right)=2x+4-2\Leftrightarrow2x-y+2=0\).
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=2x^3+3x^2-4x+5\) có đồ thị là (C). Trong số các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến nào có hệ số góc nhỏ nhất? \(y=-\dfrac{7}{2}x-\dfrac{27}{4}\) \(y=-\dfrac{11}{2}x+\dfrac{9}{2}\) \(y=-5x+\dfrac{9}{2}\) \(y=-\dfrac{11}{2}x+\dfrac{27}{4}\) Hướng dẫn giải: Ta có \(f'\left(x\right)=6x^2+6x-4\). Tiếp tuyến tổng quát của (C) có phương trình \(y=f'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)\). Tiếp tuyến này có hệ số góc bằng \(f'\left(x_0\right)=6x_0^2+6x_0-4=\dfrac{1}{6}\left(36x_0^2+36x_0-24\right)\)\(=\dfrac{1}{6}\left[\left(6x_0+3\right)^2-9-24\right]\ge\dfrac{1}{6}.\left(-33\right)\). Như vậy tiếp tuyến sẽ có hệ số góc nhỏ nhất khi và chỉ khi \(6x_0+3=0\Leftrightarrow x_0=-\dfrac{1}{2}\) và có phương trình \(y=-\dfrac{11}{2}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)+f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{11}{2}x-\dfrac{11}{4}+\dfrac{29}{4}\Leftrightarrow y=-\dfrac{11}{2}x+\dfrac{9}{2}\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=x^3-3x^2\) có đồ thị là (C). Các đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây là những tiếp tuyến của (C) ? \(\left(d_1\right):y=9x+5\); \(\left(d_2\right):y=9x-5\); \(\left(d_3\right):y=9x+27\); \(\left(d_4\right):y=9x-27\) \(\left(d_1\right),\left(d_2\right)\) \(\left(d_2\right),\left(d_3\right)\) \(\left(d_1\right)\left(d_3\right)\) \(\left(d_1\right)\left(d_4\right)\) Hướng dẫn giải: Cả bốn đường thẳng đã cho đều có hệ số góc bằng 9, vì vậy ta tìm các tiếp tuyến (của (C)) có hệ số góc bằng 9. Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì hoành độ tiếp điểm của các tiếp tuyến với hệ số góc 9 là nghiệm của phương trình \(f'\left(x\right)=9\Leftrightarrow3x^2-6x-9=0\) , phương trình này có hai nghiệm \(x=-1;x=3\). Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x=-1\) có phương trình \(y=9\left(x+1\right)+f\left(-1\right)=9x+9-4=9x+5\). Tiếp tuyến tại điểm cớ phương trình \(y=9\left(x-3\right)+f\left(3\right)=9x-27\). Đáp số: \(\left(d_1\right)\left(d_4\right)\)
Cho bốn đường thẳng \(\left(d_1\right):y=-8x-3\); \(\left(d_2\right):y=-8x+3\); \(\left(d_3\right):y=8x-3\); \(\left(d_4\right):y=8x+3\) Cặp đường thẳng nào trong các cặp đường thẳng sau là các tiếp tuyến tại hai A(1;-5) và B(-1;-5) của đồ thị \(y=f\left(x\right)=x^4-6x^2\) ? \(d_1;d_2\) \(d_2;d_3\) \(d_1;d_4\) \(d_2;d_4\) Hướng dẫn giải: Ta có \(f'\left(x\right)=4x^3-12x\). Tiếp tuyến tại A(1;-5) có hệ số góc \(f'\left(1\right)=-8\) và có phương trình \(y=-8\left(x-1\right)-5=-8x+3\)' Tiếp tuyến tại B(-1;-5) có hệ số góc \(f'\left(-1\right)=8\) và có phương trình \(y=8\left(x+1\right)-5=8x+3\). Đáp số: \(d_2;d_4\)
Tính hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{x+1}{x-1}\) tại điểm có tung độ bằng 2 . \(k=-2\) \(k=\dfrac{1}{2}\) \(k=-\dfrac{1}{2}\) \(k=2\) Hướng dẫn giải: Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình \(2=\dfrac{x+1}{x-1}\Leftrightarrow x=3\). Ta có \(y=\dfrac{x+1}{x-1}\Rightarrow y'=-\dfrac{2}{\left(x-1\right)^2}\) nên hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x=3\) là \(k=-\dfrac{2}{\left(3-1\right)^2}=-\dfrac{1}{2}\)
Một vật rơi tự do theo phương trình \(s=\dfrac{1}{2}gt^2\), trong đó \(g\approx9,8\) (m/\(s^2\) ) là gia tốc trọng trường. Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t=10\left(s\right)\) 9,8 (m/\(s^2\) ) 98 (m/\(s^2\) ) 49 (m/\(s^2\) ) 490 (m/\(s^2\) ) Hướng dẫn giải: \(v=s'=\left(\dfrac{1}{2}gt^2\right)'=gt=9,8t\) Với \(t=10\) thì \(v=98\) (m/\(s^2\))
