1.Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt: Cung Giá trị lượng giác0\(\frac{\pi}{6}\)\(\frac{\pi}{4}\)\(\frac{\pi}{3}\)\(\frac{\pi}{2}\)\(\sin x\)0\(\frac{1}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)1\(\cos x\)1\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{1}{2}\)0\(\tan x\)0\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)1\(\sqrt{3}\)||\(\cot x\)||\(\sqrt{3}\)1\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)02. Hàm số \(\sin\) và hàm số côsin a) Hàm số sin Có thể đặt tương ứng mỗi số thực x với một điểm M duy nhất trên đường tròn lượng giác mà số đo cung \(\widehat{AM}\) bằng x (rad) hình (a). Điểm M có tung độ hoàn toàn xác định, đó chính là giá trị sin x Biểu diễn giá trị của x trên trục hoành và giá trị của sin x trên trục tung, ta được hình (b) Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sin x : sin : \(R\rightarrow R\) \(x\rightarrow y=\sin x\) được gọi là hàm số sin, kí hiệu là \(y=\sin x\) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = sin x - Tập xác định của hàm số sin là R - Miền giá trị: \(-1\le\sin x\le1\) - Là hàm số lẻ [ vì sin (-x) = -sin x ] - Là hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi\) [ vì sin(x+2k\(\pi\)) = sin(x) ] - Đồ thị hàm số: Để vẽ đồ thị hàm số trên toàn trục số, ta vẽ đồ thị hàm số y = sin x trên [0 ; \(\pi\) ], rồi sử dụng tính chất hàm số lẻ để suy ra đồ thị trên [\(-\pi\) ; 0] (hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ) và suy ra đồ thị trên toàn trục số dựa trên tính chất tuần hoàn chu kì \(2\pi\) của hàm sin x. +) vẽ đồ thị trên [0 ; \(\pi\) ]: x0\(\frac{\pi}{6}\)\(\frac{\pi}{4}\)\(\frac{\pi}{3}\)\(\frac{\pi}{2}\)\(\frac{2\pi}{3}\)\(\frac{3\pi}{4}\)\(\frac{5\pi}{6}\)\(\pi\)sin x0\(\frac{1}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)1\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{1}{2}\)0Khảo sát sự biến thiên: Hàm số đồng biến trên [0 ; \(\frac{\pi}{2}\)] và nghịch biến trên [\(\frac{\pi}{2}\) ; \(\pi\) ], đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x = \(\frac{\pi}{2}\). +) Vẽ đồ thị trên toàn trục số: áp dụng tính chất hàm lẻ, lấy đối xứng đồ thị trên đoạn [0, \(\pi\) ] qua gốc tọa độ; sau đó áp dụng tính chất tuần hoàn chu kì \(2\pi\) ta được đồ thị hàm số sin đầy đủ như sau: b) Hàm số côsin Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cos x \(\cos:R\rightarrow R\) \(x\rightarrow y=\cos x\) được gọi là hàm côsin, ký hiệu là \(y=\cos x\) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = cos x - Tập xác định của hàm số côsin là R - Miền giá trị: \(-1\le\cos x\le1\) - Là hàm số chẵn [ vì cos (-x) = cos x ] - Là hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi\) [ vì cos(x+2k\(\pi\)) = cos(x) ] - Đồ thị hàm số: Để vẽ đồ thị hàm số y = cos x ta có 2 cách: Cách 1: tương tự cách vẽ hàm số sin x ở trên, ta vẽ đồ thị hàm số y = cos x trên [0 ; \(\pi\) ], rồi sử dụng tính chất hàm số chẵn để suy ra đồ thị trên [\(-\pi\) ; 0] (hàm số chẵn đối xứng qua trục tung); sau đó suy ra đồ thị trên toàn trục số dựa trên tính chất tuần hoàn chu kì \(2\pi\) của hàm cos x. Cách 2: Đồ thị y = cos x có thể suy ra từ đồ thị hàm số y = sin x như sau: Ta có cos x = sin \(\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\). Vậy nếu ta tịnh tiến đồ thị y = sin x theo vec tơ \(\overrightarrow{u}=\left(-\frac{\pi}{2};0\right)\) (tức là tịnh tiến sang trái mọt đoạn có đọ dài bằng \(\frac{\pi}{2}\), song song với trục hoành) thì ta được đồ thị hàm số y = cos x (xem hình vẽ dưới). 2. Hàm số tang và hàm số côtang a) Hàm số tang Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức :\(y=\frac{\sin x}{\cos x},\left(\cos x\ne0\right)\), ký hiệu là \(y=\tan x\) - Tập xác định: Vì \(\cos x\ne0\) khi và chỉ khi \(x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\left(k\in Z\right)\) nên tập xác định của hàm số \(y=\tan x\) là \(D=R\)/\(\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\right\}\) - Là hàm số lẻ [ vì tan (-x) = - tan(x) - Hàm số tuần hoàn chu kì \(\pi\) - Đồ thị: Vẽ đồ thị trên đoạn [0, \(\frac{\pi}{2}\)), rồi lấy đối xứng qua gốc tọa độ (do là hàm lẻ), sau đó dựng đồ thị trên toàn trục số dựa trên tính chất tuần hoàn. Đồ thị hàm số như sau: b) Hàm số côtang Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức :\(y=\frac{\cos x}{\sin x},\left(\sin x\ne0\right)\), ký hiệu là \(y=\cot x\) - Tập xác định: Vì \(\sin x\ne0\) khi và chỉ khi \(x\ne k\pi\left(k\in Z\right)\) nên tập xác định của hàm số \(y=\cot x\) là \(D=R\)/\(\left\{k\pi,k\in Z\right\}\) - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi\) - Đồ thị:
Phát biểu nào sau đây là SAI? Hàm số \(y=\sin x\) tuần hoàn với chu kì là \(2\pi\) Hàm số \(y=\cos x\) tuần hoàn với chu kìlà \(2\pi\) Hàm số \(y=\tan x\) tuần hoàn với chu kì là \(2\pi\) Hàm số \(y=\cot x\) tuần hoàn với chu kì là \(\pi\) Hướng dẫn giải: Theo SGK trang 7, 9, 10, 13 thì: Hàm số \(y=\sin x\) và \(y=\cos x\) tuần hoàn với chu kì là \(2\pi\), hàm số \(y=\cot x\) và hàm số \(y=\tan x\) tuần hoàn chu kì \(\pi.\) Hàm số tan x và cot x tuần hoàn với chu kì là \(\pi\).
Tập xác định của hàm số \(y=\tan x\) là: \(D=\mathbb{R}\backslash\left\{k\frac{\pi}{2};k\in\mathbb{Z}\right\}\) \(D=\mathbb{R}\backslash\left\{k\pi;k\in\mathbb{Z}\right\}\) \(D=\mathbb{R}\backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi;k\in\mathbb{Z}\right\}\) \(D=\mathbb{R}\) Hướng dẫn giải: Theo SGK trang 10 ta có: tập xác định của hàm số \(y=\tan x\) là \(D=\mathbb{R}\backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi;k\in\mathbb{Z}\right\}\)
Phát biểu nào sau đây là SAI: Hàm số \(y=\sin x\) là hàm số lẻ Hàm số \(y=\cos x\) là hàm số chẵn Hàm số \(y=\tan x\) là hàm số lẻ Hàm số \(y=\cot x\) là hàm số chẵn Hướng dẫn giải: Ta có: \(\sin\left(-x\right)=-\sin x\) \(\tan\left(-x\right)=-\tan x\) \(\cot\left(-x\right)=-\cot x\) nên các hàm sin, tan, cot là các hàm lẻ. Vì \(\cos\left(-x\right)=\cos x\) nên hàm cos là hàm chẵn. Vậy khẳng đinh "hàm \(\cot x\) là hàm chẵn" là khẳng định SAI.
Đồ thị của một hàm số chẵn nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng nhận trục hoành làm trục đối xứng nhận trục tung làm trục đối xứng nhận đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ ba làm trục đối xứng. Hướng dẫn giải: Giả sử \(y=f\left(x\right)\) là một hàm số chẵn và (C) là đồ thị của hàm số này. Xét một điểm \(A\left(x;f\left(x\right)\right)\) tùy ý thuộc (C). Điểm đối xứng của A qua trục tung là điểm \(B\left(-x;f\left(x\right)\right)\). Do giả thiết \(y=f\left(x\right)\) là hàm số chẵn suy ra \(f\left(x\right)=f\left(-x\right)\), suy ra \(B\left(-x;f\left(-x\right)\right)\), do đó \(B\) cũng thuộc (C). Như vậy trục tung là trục đối xứng của (C). Vậy Đồ thị của một hàm số chẵn nhân trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng trục hoành làm trục đối xứng trục tung là trục đối xứng đường phân giác góc phần tư thứ nhất và thứ ba là trục đối xứng Hướng dẫn giải: Giả sử (C) là đồ thị của hàm số lẻ \(y=f\left(x\right)\). Xét một điểm \(A\left(x;f\left(x\right)\right)\) tùy ý thuộc (C). Điểm đối xứng của \(A\) qua gốc tọa độ là \(B\left(-x;-f\left(x\right)\right)\). Theo giả thiết \(y=f\left(x\right)\)là hàm số lẻ nên \(f\left(x\right)=-f\left(-x\right)\) nên \(B\left(-x;f\left(-x\right)\right)\) thuộc (C). Vì thế (C) nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
Hàm y = sin x nhận giá trị dương khi \(x\) thuộc các khoảng nào sau đây? \(\left(k\pi;2k\pi\right),k\in\mathbb{Z}.\) \(\left(k\pi;2h\pi\right),k\in\mathbb{Z};h\in\mathbb{Z}.\) \(\left(k2\pi;\pi+k2\pi\right),k\in\mathbb{Z}.\) \(\left(k2\pi;\pi+2h\pi\right),k\in\mathbb{Z},h\in\mathbb{Z}.\) Hướng dẫn giải: Đồ thị hàm số y = sin x như sau: Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số dương khi: \(0+2k\pi< x< \pi+2k\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\) (chú ý, hai biên phải sử dụng cùng tham số k) Hay là: \(x\in\left(2k\pi;\pi+2k\pi\right),k\in\mathbb{Z}\)
Dựa trên đồ thị hàm số y = cos x, hãy tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm. \(x\in\left(-\pi+2k\pi;2k\pi\right),k\in\mathbb{Z}\) \(x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2h\pi;\frac{\pi}{2}+2h\pi\right),h\in\mathbb{Z}\) \(x\in\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi;\frac{3\pi}{2}+2h\pi\right),k\in\mathbb{Z},h\in\mathbb{Z}\) \(x\in\left(\frac{\pi}{2}+2h\pi;\frac{3\pi}{2}+2h\pi\right),h\in\mathbb{Z}\) Hướng dẫn giải: Đồ thị hàm số y = cos x như sau: Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số nhận giá trị âm khi \(x\) thuộc các khoảng \(\left(-\dfrac{3\pi}{2};-\dfrac{\pi}{2}\right),\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right),\left(\dfrac{5\pi}{2};\dfrac{7\pi}{2}\right),...\) tức là \(\frac{\pi}{2}+2h\pi< x< \frac{3\pi}{2}+2h\pi\) với \(h\in\mathbb{Z}\) (chú ý cả hai cận trái và phải của khoảng phải cùng tham số h)
Tập giá trị của hàm số \(y=3\sin x+4\) là: \(\left[1;7\right]\) \(\left[-1;1\right]\) \(\left[-1;4\right]\) \(\left[-1;7\right]\) Hướng dẫn giải: Ta đã biết hàm số \(y=\sin x\) có tập giá trị là đoạn \(\left[-1;1\right]\)suy ra hàm số \(y=3\sin x+4\) có tập giá trị là đoạn \(\left[3.\left(-1\right)+4;3.1+4\right]=\left[1;7\right]\)
Tập giá trị của hàm số \(y=5\left|\cos4x\right|+1\) là \(\left[-1;3\right]\) \(\left[1;5\right]\) \(\left[-1;4\right]\) \(\left[1;6\right]\) Hướng dẫn giải: Hàm số \(y=\left|\cos x\right|\) có tập giá trị là đoạn \(\left[0;1\right]\), suy ra hàm số \(y=\left|\cos4x\right|\) cũng có tập giá trị là đoạn \(\left[0;1\right]\). Do đó hàm số \(y=5\left|\cos4x\right|+1\) có tập giá trj là đoạn \(\left[5.0+1;5.1+1\right]=\left[1;6\right]\)
