Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có \(A\left(1;0;1\right);B\left(2;1;2\right);D\left(1;-1;1;\right);C'\left(4;5;-5\right)\). Tìm thể tích của hình hộp trên. 3 6 9 12 Hướng dẫn giải:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm \(A\left(4;0;0\right);B\left(x_0;y_0;0\right)\) với \(x_0>0;y_0>0\) sao cho OB = 8 và \(\widehat{AOB}=60^0\). Gọi C(0;0;c) với c > 0. Để thể tích tứ diện OABC = 16 thì tọa độ của C là : \(C\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) \(C\left(0;0;2\sqrt{3}\right)\) \(C\left(0;0;\sqrt{2}\right)\) \(C\left(0;0;2\sqrt{2}\right)\) Chọn câu trả lời đúng ? Hướng dẫn giải:
Cho hai điểm \(A\left(2;1;1\right);B\left(-1;2;1\right)\). Xét điểm A' đối xứng của A qua B. Tìm tọa độ điểm A' : ( 4; 3; 3) ( 4; -3; 3) ( 3; 4; -3) ( -4; 3; 1) Hướng dẫn giải: Gọi A'(x;y;z). A' đối xứng với A qua B nên: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA'}\) Suy ra: \(\left(-1-2;2-1;1-1\right)=\left(x+1;y-2;z-1\right)\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(-3;1;0\right)=\left(x+1;y-2;z-1\right)\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x+1=-3\\y-2=1\\z-1=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-4\\y=3\\z=1\end{cases}\) Vậy A(-4; 3; 1).
Chọn câu sai : Điểm đối xứng của điểm \(A\left(2;1;3\right)\) qua mặt phẳng Oyz là điểm \(\left(-2;1;3\right)\) Điểm đối xứng của điểm \(A\left(2;1;3\right)\) qua mặt phẳng Oxy là điểm \(\left(2;1;-3\right)\) Điểm đối xứng của điểm \(A\left(2;1;3\right)\) qua gốc tọa độ O là điểm \(\left(-2;-1;3\right)\) Điểm đối xứng của điểm \(A\left(2;1;3\right)\) qua mặt phẳng Oxz là điểm \(\left(2;-1;3\right)\) Hướng dẫn giải: Xem hình vẽ dưới:
Chọn câu sai ? Điểm đối xứng của điểm \(B\left(3;2;1\right)\) qua trục Ox là điểm \(\left(3;-2;-1\right)\) Điểm đối xứng của điểm \(B\left(3;2;1\right)\) qua trục Oy là điểm \(\left(-3;2;-1\right)\) Điểm đối xứng của điểm \(B\left(3;2;1\right)\) qua mặt phẳng Oyz là điểm \(\left(-3;2;1\right)\) Điểm đối xứng của điểm \(B\left(3;2;1\right)\) qua trục Oz là điểm \(\left(-3;-2;-1\right)\) Hướng dẫn giải: Xem hình vẽ dưới:
Các điểm \(M\left(1;1;1\right);N\left(2;0;-1\right);P\left(-1;2;1\right)\). Xét điểm Q sao cho MNPQ là hình bình hành. Tìm tọa độ Q ? \(Q=\left(2;3;3\right)\) \(Q=\left(2;-3;-3\right)\) \(Q=\left(2;-3;3\right)\) \(Q=\left(-2;3;3\right)\) Hướng dẫn giải: Gọi Q(x;y;z). MNPQ là hình bình hành nên: \(\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}\) \(\Leftrightarrow\left(x-1;y-1;z-1\right)=\left(-1-2;2-0;1+1\right)\) \(\Leftrightarrow\left(x-1;y-1;z-1\right)=\left(-3;2;2\right)\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x-1=-3\\y-1=2\\z-1=2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-2\\y=3\\z=3\end{cases}\) Vậy Q(-2;3;3)
Cho các điểm \(A\left(3;13;2\right);B\left(7;29;4\right);C\left(31;125;16\right)\). Chọn câu đúng ? A, B, C thẳng hàng; B ở giữa A và C A, B, C thẳng hàng; C ở giữa A và B A, B, C thẳng hàng; A ở giữa B và C A, B, C không thẳng hàng Hướng dẫn giải: Xét hai vecto \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\) có: \(\overrightarrow{AB}=\left(7-3;29-13;4-2\right)=\left(4;16;2\right)\) \(\overrightarrow{AC}=\left(31-3;125-13;16-2\right)=\left(28;112;14\right)=7\left(4;16;2\right)=7\overrightarrow{AB}\) Suy ra \(\overrightarrow{AB}=\frac{1}{7}\overrightarrow{AC}\), hay A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C
Cho các điểm \(A\left(2;4;11\right);B\left(3;2;0\right);C\left(3;4;7\right)\). Chọn câu đúng ? A, B, C thẳng hàng, B ở giữa A và C A, B, C thẳng hàng, C ở giữa A và B A, B, C thẳng hàng, A ở giữa B và C A, B, C không thẳng hàng Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{AB}=\left(3-2;2-4;0-11\right)=\left(1;-2;-11\right)\) \(\overrightarrow{AC}=\left(3-2;4-4;7-11\right)=\left(1;0;-4\right)\) Ta thấy: \(\frac{1}{1}\ne\frac{0}{-2}\ne\frac{-4}{-11}\) nên không tồn tại số k sao cho \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}\), vậy A, B, C không thẳng hàng.
Cho các điểm \(A=\left(1;-1;0\right);B=\left(0;1;1\right)\). Gọi H là hình chiếu của gốc tọa độ O trên đường thẳng AB. Chọn câu đúng ? Điểm A nằm giữa H và B (và không trùng với H và B) Điểm B nằm giữa H và A (và không trùng với H và A) Điểm H nằm giữa A và B (và không trùng với A và B) Điểm H trùng với A hoặc B Hướng dẫn giải: Ta có: \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=1.0+\left(-1\right).1+0.1=-1< 0\) và 2 vecto này không cùng phương nên góc \(\widehat{AOB}\) là góc tù (vì \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=OA.OB.\cos\left(\widehat{AOB}\right)=-1\) suy ra \(\cos\left(\widehat{AOB}\right)< 0\)). Suy ra chân đường vuông góc của O xuống AB trong tam giác tù OAB nằm giữa A và B.
Cho ba điểm \(A=\left(1;-1;1\right);B=\left(3;1;2\right);D=\left(-1;0;3\right)\). Xét điểm C sao cho tứ giác ABCD là hình thang có hai cạnh đáy AB, CD và có góc tại C bằng \(45^0\). Chọn khẳng định đúng trong 4 khẳng định sau ? \(C=\left(3;4;5\right)\) \(C=\left(0;1;\frac{7}{2}\right)\) \(C=\left(5;6;6\right)\) Không có điểm C như thế Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{AB}=\left(3-1;1+1;2-1\right)=\left(2;2;1\right)\) \(\overrightarrow{AD}=\left(-1-1;0+1;3-1\right)=\left(-2;1;2\right)\) Ta có: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=2.\left(-2\right)+2.1+1.2=0\) và \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|\) Suy ra ABCD là hình thang vuông có AB = AD. Để góc C bằng 45 độ thì \(BC\perp BD\). Ta có: \(\overrightarrow{BD}=\left(-1-3;0-1;3-2\right)=\left(-4;-1;1\right)\). Trong các phương án trả lời, phương án \(C=\left(3;4;5\right)\) cho kết quả \(\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=0\).
