Cho hai điểm \(A=\left(3;4;2\right)\) và \(B=\left(-1;-2;2\right)\). Xét điểm C sao cho điểm \(G=\left(1;1;2\right)\) là trọng tâm của tam giác ABC. Chọn câu đúng ? \(C=\left(1;1;2\right)\) \(C=\left(0;1;2\right)\) \(C=\left(1;1;0\right)\) Không có điểm C như thế Hướng dẫn giải: Tọa độ trọng tâm tam giác ABC được tính theo công thức: \(\begin{cases}x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\\z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\end{cases}\) Gọi C(x;y;z) ta có: \(\begin{cases}1=\frac{3+\left(-1\right)+x}{3}\\1=\frac{4+\left(-2\right)+y}{3}\\2=\frac{2+2+z}{3}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=1\\z=2\end{cases}\) Dễ thấy C(1;1;2) và trùng với G, vô lí! Cách khác: dễ thấy A. B. G thẳng hàng vì: \(\overrightarrow{AB}=\left(-1-3;-2-4;2-2\right)=\left(-4;-6;0\right)=-2\left(2;3;0\right)\) \(\overrightarrow{AG}=\left(1-3;1-4;2-2\right)=\left(-2;-3;0\right)=-\left(2;3;0\right)\)
Cho ba điểm \(A=\left(0;0;0\right);B=\left(0;1;1\right);C=\left(1;0;1\right)\). Xét điểm D thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ diện ABCD là một tứ diện đều. Tìm tọa độ của điểm D ? \(\left(1;0;0\right)\) \(\left(0;1;0\right)\) \(\left(1;1;0\right)\) \(\left(0;0;1\right)\) Hướng dẫn giải: Đã biết tọa độ các điểm A, B, C, ta suy ra độ dài AB, AC, BC bằng \(\sqrt{2}\). Gọi D(x;y;z) ta có: \(AD^2=BD^2=CD^2=2\). Suy ra: \(\begin{cases}AD^2=2\\BD^2=2\\CD^2=2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2+y^2+z^2=2\\x^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=2\\\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-1\right)^2=2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2+y^2+z^2=2\\y+z=1\\x+z=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-\frac{1}{3}\\y=-\frac{1}{3}\\z=\frac{4}{3}\end{cases}\) hoặc \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=1\\z=0\end{cases}\) Điểm D thuộc Oxy nên \(\begin{cases}x=1\\y=1\\z=0\end{cases}\)
Chọn hệ tọa độ sao cho các đỉnh A, B, A', C' của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' là \(A=\left(0;0;0\right);B=\left(1;0;0\right):A'=\left(0;0;1\right);C'=\left(1;1;1\right)\). Tìm tọa độ của tâm hình vuông BCC'B' : \(\left(\frac{1}{2};1;1\right)\) \(\left(1;\frac{1}{2};1\right)\) \(\left(1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) \(\left(1;1;1\right)\) Hướng dẫn giải: Dễ thấy tâm hình vuông BCC'B' là \(I\left(1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)
Tập hợp các điểm có tọa độ (x; y; z) sao cho \(\left|x\right|\le1;\left|y\right|\le1;\left|z\right|\le1\) là tập hợp các điểm trong của một khối đa diện (lồi). Tính thể tích của khối đó ? 1 2 6 8 Hướng dẫn giải: Dễ thấy tập hợp các điểm là: \(\begin{cases}-1\le x\le1\\-1\le y\le1\\-1\le z\le1\end{cases}\) là hình lập phương cạnh là 2, thể tích bằng 2x2x2 =8
Chọn hệ tọa độ sao cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có \(A=\left(0;0;0\right);C=\left(2;2;0\right)\) và tâm I của hình lập phương có tọa độ (1;1;1). Tìm tọa độ của đỉnh B': ( 2; 2; 0) ( 0; -2; 2) ( 2; 0; 2) ( 2; 2; 0) Gọi C'(x;y;z). Có A, I ta suy ra tọa độ C' theo công thức: \(\overrightarrow{AC'}=2\overrightarrow{AI}\) \(\Leftrightarrow\left(x,y,z\right)=2\cdot\left(1;1;1\right)\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=2\\y=2\\z=2\end{cases}\) Vậy C'(2;2;2). Suy ra \(\overrightarrow{CC'}=\left(0;0;2\right)\), vậy các đường thẳng AA', BB', CC', DD' song song với trục Oz. Mặt phẳng ABCD nằm trên mặt Oxy. Biết A(0;0;0); C(2;2;0) nên B có thể là B(0;2;0) hoặc B(2;0;0), suy ra B'(0;2;2) hoặc B'(2;0;2) (vì \(\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}=\left(0;0;2\right)\)) Trong đáp án có B'(2;0;2) nên chọn đáp án này.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD. Với k là số cho trước, xét điểm P, điểm Q sao cho \(\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BQ}=k\overrightarrow{BC}\). Gọi I là trung điểm của PQ. Để chứng minh I thuộc đường thẳng MN và xét xem có phải \(\overrightarrow{IM}=k\overrightarrow{IN}\), hãy chỉ rõ chỗ sai trong các bước chứng minh tuần tự sau ? O là điểm tùy ý thì \(\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AD}\Leftrightarrow\overrightarrow{OP}=\left(1-k\right)\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OD}\), tương tự \(\overrightarrow{BQ}=k\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow\overrightarrow{OQ}=\left(1-k\right)\overrightarrow{OB}+k\overrightarrow{OC}\) \(\frac{\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}}{2}=\left(1-k\right)\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}+k\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}{2}\) \(\overrightarrow{OI}=\left(1-k\right)\overrightarrow{OM}+k\overrightarrow{ON}\), từ đó I thuộc đường thẳng MN \(\overrightarrow{IM}=k\overrightarrow{IN}\) Hướng dẫn giải: Ta có nhận xét Nếu P là điểm nằm trên AD và \(\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AD}\) thì với điểm O bất kì ta có: \(\overrightarrow{OP}=\left(1-k\right)\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OD}\) Thật vậy \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OA}+k.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OA}-k\overrightarrow{OA}+k\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}\right)=\left(1-k\right)\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OD}\) Các phép biến đổi trong đáp án đều đúng, trừ phép cuối cùng. Từ \(\overrightarrow{OI}=\left(1-k\right)\overrightarrow{OM}+k\overrightarrow{ON}\) ta lây O trùng với M ta được: \(\overrightarrow{MI}=\left(1-k\right)\overrightarrow{MM}+k\overrightarrow{MN}\) \(\Leftrightarrow\overrightarrow{MI}=k\overrightarrow{MN}\) \(\Leftrightarrow\overrightarrow{IM}=k\overrightarrow{NM}\)
Tìm điểm M trên trục tọa độ Ox cách đều hai điểm \(A=\left(1;2;-1\right)\) và \(B=\left(2;1;2\right)\). \(M=\left(1;0;0\right)\) \(M=\left(2;0;0\right)\) \(M=\left(\dfrac{1}{2};0;0\right)\) \(M=\left(\dfrac{3}{2};0;0\right)\) Hướng dẫn giải: Điểm M nằm trên Ox nên có tọa độ là M = (x; 0; 0). M cách đều A và B nên: \(AM^2=BM^2\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+2^2+\left(-1\right)^2=\left(x-2\right)^2+1^2+2^2\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=\left(x-2\right)^2\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\)
Cho điểm A=(1;2;-1) và điểm B(2;-1;3). Kí hiệu (S) lag quỹ tích các điểm M(x;y;z) sao cho \(MA^2-MB^2=2\). Tìm khẳng định đúng. (S) là mặt phẳng có phương trình \(x-3y+4z-5=0\) (S) là mặt phẳng có phương trình \(x-3y+4z-2=0\) (S) là mặt phẳng có phương trình \(x-3y+4z+4=0\) (S) là mặt phẳng có phương trình \(x-3y+4z-3=0\) Hướng dẫn giải: \(MA^2-MB^2=2\) \(\Leftrightarrow\left(1-x\right)^2+\left(2-y\right)^2+\left(-1-z\right)^2-\left(2-x\right)^2-\left(-1-y\right)^2-\left(3-z\right)^2=2\) \(\Leftrightarrow x-3y+4z-5=0\)
Tính côsin của các góc giữa một đường chéo của hình lập phương với mỗi cạnh của nó. \(\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) \(\dfrac{1}{2}\) Hướng dẫn giải: Gọi tọa độ các điểm như hình vẽ, khi đó: \(\cos\left(AA';AC'\right)=\dfrac{\left|1.0+1.1+1.0\right|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) Tương tự, côsin của góc giứa AC' và AB, AD cũng bằng\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) .
d và d' là hai đường chéo của hai mặt của một hình lập phương, d và d' cắt nhau tại một đỉnh của hình lập phương. Tính số đo độ của góc giữa d và d'. \(45^o\) \(30^o\) \(60^o\) \(90^o\) Hướng dẫn giải: Ta tính góc giữa hai vecto \(\overrightarrow{AC}=\left(1;0;1\right)\) và \(\overrightarrow{AB'}=\left(1;1;0\right)\) như sau: \(\cos\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB'}\right)=\dfrac{\left|1.1+0.1+1.0\right|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}\sqrt{1^2+1^20^2}}=\dfrac{1}{2}\) Suy ra góc giữa chúng là \(60^o\).
