Cho các điểm M=(2;2;1) và N(1;2;-2). Trong các đường thẳng ON, Ox, Oy, Oz, xác định các đường thẳng tạo với đường thẳng OM góc lớn nhất. ON Ox Oy Oz Hướng dẫn giải: Tính côsin các góc: \(\cos\left(\overrightarrow{ON},\overrightarrow{OM}\right)=\dfrac{\left|1.2+2.2-2.1\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\dfrac{4}{5}\) \(\cos\left(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM}\right)=\dfrac{\left|1.2+0.2+0.1\right|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\) \(\cos\left(\overrightarrow{Oy},\overrightarrow{OM}\right)=\dfrac{\left|0.2+1.2+0.1\right|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\) \(\cos\left(\overrightarrow{Oz},\overrightarrow{OM}\right)=\dfrac{\left|0.2+0.2-1.1\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\) Trục Oz tạo với OM góc lớn nhất vì cos giữa nó với OM là nhỏ nhất. (góc nhọn cosin càng nhỏ thì góc càng lớn).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3;-4;0), B(-1;1;3), C(3;1;0). Tìm tọa độ điểm D trên trục hoành sao cho AD = BC. D(-2;0;0) hoặc D(-4;0;0). D(0;0;0) hoặc D(-6;0;0). D(6;0;0) hoặc D(12;0;0). D(0;0;0) hoặc D(6;0;0). Hướng dẫn giải: D nằm trên trục hoành nên D có tọa độ dạng (x;0;0). Ta có \(\overrightarrow{AD}=\left(x-3;-4;0\right),\overrightarrow{BC}=\left(4;0;-3\right)\). Do đó \(AD=BC\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+\left(-4\right)^2+0^2=4^2+0^2+\left(-3\right)^2\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=9\Leftrightarrow x=0,x=6\). Đáp số: D(0;0;0) hoặc D(6;0;0).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M(2;3;-1), N(-1;1;1) và P(1;m-1;2) . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N \( m=2 \) \( m=-6 \) \(m=-4\) \(m=0\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow {NP} \left( {2;m - 2;1} \right),\overrightarrow {NM} \left( {3;2; - 2} \right) \) Tam giác MNP vuông tại N \(\Leftrightarrow \overrightarrow {NP} .\overrightarrow {NM} = 0 \Leftrightarrow 6 + 2(m - 2) - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 0 \)
Trong không gian Oxy, cho điểm A(3;-1;1). Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm nào? M(3;0;0) N(0;-1;1) P(0;-1;0) Q(0;0;1)
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left(2;-4;3\right)\) và \(B\left(2;2;7\right)\). Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là: \(\left(1;3;2\right)\) \(\left(2;6;4\right)\) \(\left(2;-1;5\right)\) \(\left(4;-2;10\right)\) Hướng dẫn giải: Gọi M (xM ; yM; zM ) là trung điểm của AB. Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{2+2}{2}=2\\y_M=\dfrac{2-4}{2}=-1\\z_M=\dfrac{3+7}{2}=5\end{matrix}\right.\) Vậy tọa độ trung điểm AB là \(\left(2;-1;5\right)\)
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm \(I\left(-2;1;2\right)\) và đi qua điểm \(A\left(1;-2;-1\right)\). Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng 216 72 36 108
