Xét mặt phẳng (P) có phương trình \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\), (a, b, c là ba số cho trước khác 0) và điểm \(A\left(\frac{a}{4};\frac{b}{4};0\right)\). Chọn câu đúng ? Điểm A thuộc mặt phẳng (P) (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn OA (O là gốc tọa độ) A và O ở về cùng một phía đối với (P) A và O ở khác phía đối với (P) nhưng không cách đều (P) Hướng dẫn giải: Đặt \(f\left(x,y,z\right)=\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1\) Nếu hai điểm M. N nằm trên cùng một phía thì \(f\left(x_M,y_M,z_M\right).f\left(x_N,y_N,z_N\right)>0\). Ta có: \(f\left(x_O,y_O,z_O\right)=-1\) \(f\left(x_A,y_A,z_A\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-1=-\frac{1}{2}\) Vậy O và A cùng một phía đối với (P)
Xét khối chóp tứ giác S.ABCD, \(S=\left(1;2;-3\right)\), ABCD là hình bình hành có \(AB=b;AD=c;\widehat{BAD}=30^0\). Đáy ABCD nằm trong mặt phẳng có phương trình \(2x-y+2z-3=0\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD ? \(\frac{bc\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{bc}{2}\) \(\frac{bc\sqrt{2}}{2}\) \(bc\) Hướng dẫn giải: Khoảng cách từ S xuống mặt phẳng đáy là: \(h=\frac{\left|2.1-2+2.\left(-3\right)-3\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2+2^2}}=3\) Thể tích khối chóp là: \(V=\frac{1}{3}S_{ABCD}.h=\frac{1}{3}b.c.\sin30^0.3=\frac{1}{2}bc\)
Chọn câu đúng ? Quỹ tích các điểm cách đều ba mặt phẳng tọa độ là một tia (tức nửa đường thẳng) Quỹ tích các điểm cách đều ba mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng Quỹ tích các điểm cách đều ba mặt phẳng tọa độ là bốn đường thẳng Quỹ tích các điểm cách đều ba mặt phẳng tọa độ là tám đường thẳng Hướng dẫn giải: - Quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) là mặt phẳng phân giác trong (X1) hoặc mặt phẳng phân giác ngoài (X2) của hai mặt phẳng đó. - Quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (R) là mặt phẳng phân giác trong (Y1) hoặc mặt phẳng phân giác ngoài (Y2) của hai mặt phẳng đó. - Quĩ tích các điểm cách đều 3 mặt phẳng (P), (Q) và (R) là" + Giao của (X1) và (Y1) + Giao của (X1) và (Y2) + Giao của (X2) và (Y1) + Giao của (X2) và (Y2) Vậy quĩ tích là 4 đường thẳng.
Tìm điểm M trên trục Oy cách đều hai mặt phẳng có phương trình \(x+2y-2z+1=0\) và \(2x+y+2z-1=0\). \(M=\left(0;-1;0\right)\) \(M=\left(0;\dfrac{1}{2};0\right)\) \(M=\left(0;1;0\right)\) \(M\equiv O=\left(0;0;0\right)\) và \(M=\left(0;-2;0\right)\) Hướng dẫn giải: M nằm trên trục Oy nên M(0;y;0). Vì M cách đều hai mặt phẳng nên: \(\dfrac{\left|0+2y-2.0+1\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{\left|2.0+y+2.0-1\right|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}\) \(\Leftrightarrow\left|2y+1\right|=\left|y-1\right|\) \(\Leftrightarrow\left(2y+1\right)^2=\left(y-1\right)^2\) \(\Leftrightarrow\left(2y+1\right)^2=\left(y-1\right)^2\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=-2\end{matrix}\right.\)
Cho hai mặt phẳng (P) và (P') lần lượt có phương trình \(x+2y-2z+1=0\) và \(x-2y+2z-1=0\). Gọi (S) là quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (P'). Khẳng định nào sau đây đúng? (S) là mặt phẳng có phương trình \(x=0\) (S) là mặt phẳng có phương trình \(2y-2z+1=0\) (S) là đường thẳng xác định bởi giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình \(x=0\) và \(2y-2z+1=0\) (S) là hai mặt phẳng có phương trình là \(x=0\) và \(2y-2z+1=0\) Hướng dẫn giải: Đễ nhận thấy các điểm các đều hai mặt phẳng là hai mặt phẳng: mặt phảng phân giác trong và mặt phẳng phân giác ngoài.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z-3}{4}\). Phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng \(x+3=0\)? \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5-t\\z=-3+4t\end{matrix}\right.\). \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5+t\\z=3+4t\end{matrix}\right.\). \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5+2t\\z=3-t\end{matrix}\right.\). \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-t\\z=7+4t\end{matrix}\right.\). Hướng dẫn giải: Cách 1: Kí hiệu (P) là mặt phẳng \(x+3=0\), d' là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P). Cách dựng d' như sau: xác định giao điểm A của d với (P); Lấy một điểm B (khác A) thuộc đường thẳng d rồi dựng hình chiếu vuông góc H của B xuống (P). Đường thẳng AH chính là hình chiếu vuông góc d' cần dựng. Từ phương trình chính tắc của đường thẳng d suy ra d qua B(1;-5;3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(2;-1;4\right)\). d và mặt phẳng \(x+3=0\) cắt nhau tại điểm A có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+3=0\\\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z-3}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z-3}{4}=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-3;z=-5\end{matrix}\right.\) Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng \(x+3=0\) tại A(-3;-3;-5). Đường thẳng BH qua B(1;-5;3) và nhận vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(1;0;0\right)\)của (P) làm vecto chỉ phương, vì vậy BH có phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-5\\z=3\end{matrix}\right.\) H là giao điểm của (P) với đường thẳng BH nên H có tọa độ thỏa mãn \(x=-3\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-5\\z=3\end{matrix}\right.\) suy ra \(H\left(-3;-5;3\right)\). d' qua A và H nên d' có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{AH}\left(0;-2;8\right)=2.\left(0;-1;4\right)\) và có phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5-t\\z=3+4t\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-\left(t-1\right)\\z=7+4\left(t-1\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-t'\\z=7+4t'\end{matrix}\right.\) Đáp số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-t\\z=7+4t\end{matrix}\right.\) Cách 2: Kí hiệu (P) là mặt phẳng \(x+3=0\), mặt phẳng này có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}\left(1;0;0\right)\). Từ phương trình đường thẳng d suy ra d qua \(B\left(1;-5;3\right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{v}\left(2;-1;4\right)\). Mặt phẳng (Q) qua điểm B và nhận \(\overrightarrow{n},\overrightarrow{v}\) làm cặp vecto chỉ phương có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n'}=\left[\overrightarrow{v},\overrightarrow{n}\right]=\left(0;4;1\right)\) và có phương trình là \(\left(Q\right):0\left(x-1\right)+4\left(y+5\right)+1\left(z-3\right)=0\). Hình chiếu vuông góc d' của d trên mặt phẳng (P) chính là giao tuyến của (P) và (Q), vì vậy phương trình d' được xác định bởi \(d':\left\{{}\begin{matrix}x+3=0\\4\left(y+5\right)+\left(z-3\right)=0\end{matrix}\right.\) (*) Kiểm tra các kết quả cho bởi các phương án đã nêu: + Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5-t\\z=-3+4t\end{matrix}\right.\) thế vào (*) ta được \(d':\left\{{}\begin{matrix}x+3=0\\4\left(-t\right)+\left(4t\right)=0\end{matrix}\right.\) không thể đúng với mọi t. Vì vậy đây không theerb là phương án trả lời đúng. + Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-5+t\\z=3+4t\end{matrix}\right.\) , tương tự, thế các biểu thức y và z tính theo t vào (*) ta được \(4t+4t=0\) không đúng với mọi t, vì vậy đây cũng không phải là phương án trả lời đúng. + Tương tự ta thấy phương án trả lời đúng là \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-6-t\\z=7+4t\end{matrix}\right.\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left(P\right):6x-2y+z-35=0\) và điểm A(-1;3;6). Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (P), tính OA'. \(3\sqrt{26}\). \(5\sqrt{3}\). \(\sqrt{46}\). \(\sqrt{186}\). Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (P) đã cho có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(6;-2;1\right)\). Đường thẳng qua A(-1;3;6) vuông góc với (P) có phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+6t\\y=3-2t\\z=6+t\end{matrix}\right.\). Hình chiếu vuông góc H của A trên mặt phẳng (P) có tọa độ thỏa mãn hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+6t\\y=3-2t\\z=6+t\\6x-2y+z-35=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow6\left(-1+6t\right)-2\left(3-2t\right)+\left(6+t\right)-35=0\Rightarrow41t-41=0\Rightarrow t=1\Rightarrow H\left(5;1;7\right)\). A' đối xứng với A qua (P) khi H là trung điểm đoạn AA', vì vậy tọa độ A' thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x+\left(-1\right)=2.5\\y+3=2.1\\z+6=2.7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=11\\y=-1\\z=8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A'\left(11;-1;8\right)\Rightarrow OA'=\sqrt{11^2+\left(-1\right)^2+8^2}=\sqrt{186}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left(P\right):x-2y+2z-3=0\) và mặt cầu \(x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0\). Giả sử điểm \(M\in\left(P\right)\) và \(N\in\left(S\right)\) sao cho vecto \(\overrightarrow{MN}\) cùng phương với vecto \(\overrightarrow{u}\left(1;0;1\right)\) và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN. 3. \(1+2\sqrt{2}\). \(3\sqrt{2}\). 14. Hướng dẫn giải: Từ phương trình của (P) suy ra (P) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}\left(1;-2;2\right)\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của N xuống mặt phẳng (P) thì góc \(\widehat{NMH}\) là góc giữa đường thẳng NM với (P). Theo giả thiết, \(\overrightarrow{MN}\) cùng phương với vecto \(\overrightarrow{u}\left(1;0;1\right)\) nên đường thẳng NM có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{u}\left(1;0;1\right)\), từ đó góc giữa đường thẳng NM với mặt phẳng (P) được xác định bởi \(\sin\widehat{NMH}=\dfrac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{u}\right|}=\dfrac{\left|1.1+\left(-2\right).0+2.1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+2^2}.\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Trong tam giác vuông NHM ta có \(NM=HN:\sin\widehat{NHM}=HN:\dfrac{1}{\sqrt{2}}=HN\sqrt{2}\). Vì vậy NM sẽ lớn nhất khi và chỉ khi HN lớn nhất. Bài toán trở thành: Tìm điểm N trên mặt cầu (S) sao cho N cách xa mặt phẳng (P) nhất. Ta thấy điều này xảy ra khi và chỉ khi N là một trong hai đầu mút của đường kính (của (S)) vuông góc với (P) (xem hình vẽ). Mặt cầu (S) có phương trình \(\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=1\) (1) với tâm I(-1;2;1), bán kính \(R=1\). Khoảng cách NH lớn nhất bằng IH + IN = khoảng cách từ I tới (P) + bán kính mặt cầu. Ta có \(IH=\dfrac{\left|-1-2.2+2.1-3\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+2^2}}=2\) , NHmax=2 + 1= 3.Do đó \(NM_{max}=3\sqrt{2}\).
