Tổng hợp lý thuyết và bài tập chuyên đề Khối đa diện

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD, E là điểm trên cạnh AD sao cho AD = 4AE. Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện ABCD và mặt phẳng (MNE).
    • Hình chữ nhật
    • Hình thang
    • Hình vuông
    • Hình bình hành
    Hướng dẫn giải:
    01.png
    Xét 3 mặt phẳng (MNE); (CBD) và (ABD):
    \(\left(MNE\right)\cap\left(CBD\right)=MN\)
    \(\left(ABD\right)\cap\left(CBD\right)=BD\)
    Mà MN // BD nên \(\left(ABD\right)\cap\left(MNE\right)=d\) với d // BD //MN.
    Trong (ABD), kẻ EF // BD (F thuộc AB)
    Vậy thiết diện là hình thang EFMN (EF //MN).
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, \(SA\perp\left(ABCD\right).\) Lấy M thuộc AD sao cho \(AM=\frac{AD}{4}\) . Xác định thiết diện của khối chóp tạo bởi mặt phẳng qua M và song song với (SAB).
    • Hình bình hành
    • Hình thang cân
    • Hình thang vuông
    • Hình chữ nhật
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    Gọi \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng qua M và song song với (SAB). Trong (SAD), \(\left(\alpha\right)\cap\left(SAD\right)\) theo giao tuyến song song SA. Giao tuyến đó cắt SD tại N. Tương tự các có các giao tuyến NP, PQ, QM.
    Vậy thiết diện là tứ giác MNPQ. Dễ thấy NP // QM (Cùng song song AB) nên nó là hình thang.
    Lại thấy \(SA\perp\left(ABCD\right)\), SA // NM nên \(NM\perp\left(ABCD\right)\), hay \(NM\perp MQ.\)
    Vậy MNPQ là hình thang vuông.
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho khối tứ diện đều S.ABC cạnh x. E là trung điểm AB, F là điểm di động trên đoạn AE. Thiết diện của khối chóp tạo bởi mặt phẳng qua F và song song với (SEC) là:
    • Hình bình hành
    • Tam giác cân
    • Tam giác đều
    • Hình thang
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    Gọi mặt phẳng qua F và song song với (SEC) là \(\left(\alpha\right)\). Do \(\left(\alpha\right)\) // (SEC) nên \(\left(\alpha\right)\) giao (ABC) và (SAB) theo các giao tuyến song song với EC và ES.
    Từ F kẻ FH // EC, FG // SE. Khi đó thiết diện của chóp tạo bởi \(\left(\alpha\right)\) là tam giác FGH.
    Do SAB và CAB là các tam giác đều cạnh a nên hai trung tuyến SE và SE bằng nhau.
    Lại có: \(\frac{FH}{EC}=\frac{AF}{AE}=\frac{FG}{ES}\Rightarrow FH=FG\) hay tam giác FGH cân tại F.
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho khối tứ diện đều SABC cạnh a. E là trung điểm AB, F là điểm thỏa mãn \(AF=\frac{1}{3}AE.\). Tính diện tích thiết diện của khối chóp tạo bởi mặt phẳng qua F và song song với (SEC).
    • \(S_{td}=\frac{a^2\sqrt{2}}{36}\)
    • \(S_{td}=\frac{a^2\sqrt{2}}{25}\)
    • \(S_{td}=\frac{a^2\sqrt{2}}{49}\)
    • \(S_{td}=\frac{a^2\sqrt{2}}{66}\)
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    Tương tự câu trước, thiết diện là tam giác giác FGH cân tại F.
    Do SE, CE là trung tuyến của các tam giác đều cạnh a nên \(SE=CE=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
    Khi đó \(\frac{FG}{SE}=\frac{FH}{CE}=\frac{AF}{AE}=\frac{1}{3}\Rightarrow FG=FH=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\)
    \(\frac{HG}{SC}=\frac{AH}{AC}=\frac{AF}{AE}=\frac{1}{3}\Rightarrow HG=\frac{a}{3}.\)
    Tách phẳng tam giác cân FGH:
    02.png
    Gọi I là trung điểm GH, khi đó FI là đường cao.
    \(FI=\sqrt{GF^2-GI^2}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2-\left(\frac{a}{6}\right)^2}=\frac{a\sqrt{2}}{6}\)
    Vậy \(S_{FGH}=\frac{1}{2}GH.FI=\frac{1}{2}.\frac{a}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{6}=\frac{a^2\sqrt{2}}{36}.\)
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Một hình nón có chiều cao h = 3, bán kính đáy R = 5. Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón nhưng không qua trục của hình nón, cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng 8. Tính diện tích của thiết diện.
    • \(8\sqrt{3}\)
    • \(6\sqrt{2}\)
    • \(24\sqrt{2}\)
    • \(12\sqrt{2}\)
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    Đặt tên các điểm như trên hình vẽ, M là trung điểm AB.
    Để tính diện tích thiết diện là tam giác cân SAB, ta cần tính SM.
    Xét tam giác vuông OMA có MA = 4; OA = 5 nên OM = 3.
    Xét tam giác vuông SOM có SO = 3; OM = 3 nên \(SAM=3\sqrt{2}\)
    Vậy diện tích tam giác SAB bằng: \(\dfrac{1}{2}.8.3\sqrt{2}=12\sqrt{2}\)
     
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho khối hộp lập phương ABCDA'B'C'D'. Gọi M, N là trung điểm của AA' và BB'. Khi đó thiết diện của hình hộp tạo bởi mặt phẳng (MNC) là:
    • Hình vuông
    • Hình chữ nhật
    • Hình thoi
    • Hình tam giác
    Hướng dẫn giải:

    01.png
    Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNCD. Do (CBB'C') // (DAA'D') nên (MNC) giao (DAA'D') theo giao tuyến song song với NC. Lại có CN = MD , vì thế MNCD là hình bình hành.
    Hơn nữa MN // AB mà \(AB\perp\left(CBB'C'\right)\Rightarrow MN\perp\left(CBB'C'\right)\Rightarrow\) \(MN\perp CN\) nên MNCD là hình chữ nhật.
     
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng
    01.png
    • Tứ diện đều
    • Bát diện đều
    • Hình lập phương
    • Lăng trụ lục giác đều
    Hướng dẫn giải:

    - Hình bát diện đều có tâm đối xứng: Có thể xem hình bát diện đều là hợp của hai hình chóp tứ giác đều chung đáy. Tâm của đáy chung hai hình chóp đó chính là tâm đối xứng của hình bát diện đều.
    - Hình lập phương có tâm đối xứng: Các mặt chéo tứ giác của hình lập phương là những hình chữ nhật có tâm chung. Tâm chung đó cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp và là tâm đối xứng của hình lập phương.
    - Hình lăng trụ lục giác đều có tâm đối xứng: Trung điểm đoạn nối tâm hai đáy chính là tâm đối xứng của hình.
    Kết luận: Hình tứ diện đều không có tâm đối xứng.
     
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
    • 4 mặt phẳng.
    • 3 mặt phẳng.
    • 6 mặt phẳng.
    • 9 mặt phẳng.
    Hướng dẫn giải:

    Giải bài toán tương tự trong mặt phẳng: Tính số trục đối xứng của hình chữ nhật với hai kích thước khác nhau.
    01.png
    Ta thấy hình có đúng hai trục đối xứng là hai đường thẳng đi qua tâm O của hình chữ nhật, song song với một cạnh
    hình chữ nhật.
    Tương tự, trong không gian ba chiều, hình hộp chữ nhật với ba kích thước đôi một khác nhau có đúng 3 mặt phẳng
    đối xứng là 3 mặt phẳng qua tâm của hình hộp và song song với một mặt của hình hộp.
     
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪