Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD, E là điểm trên cạnh AD sao cho AD = 4AE. Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện ABCD và mặt phẳng (MNE). Hình chữ nhật Hình thang Hình vuông Hình bình hành Hướng dẫn giải: Xét 3 mặt phẳng (MNE); (CBD) và (ABD): \(\left(MNE\right)\cap\left(CBD\right)=MN\) \(\left(ABD\right)\cap\left(CBD\right)=BD\) Mà MN // BD nên \(\left(ABD\right)\cap\left(MNE\right)=d\) với d // BD //MN. Trong (ABD), kẻ EF // BD (F thuộc AB) Vậy thiết diện là hình thang EFMN (EF //MN).
Cho chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, \(SA\perp\left(ABCD\right).\) Lấy M thuộc AD sao cho \(AM=\frac{AD}{4}\) . Xác định thiết diện của khối chóp tạo bởi mặt phẳng qua M và song song với (SAB). Hình bình hành Hình thang cân Hình thang vuông Hình chữ nhật Hướng dẫn giải: Gọi \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng qua M và song song với (SAB). Trong (SAD), \(\left(\alpha\right)\cap\left(SAD\right)\) theo giao tuyến song song SA. Giao tuyến đó cắt SD tại N. Tương tự các có các giao tuyến NP, PQ, QM. Vậy thiết diện là tứ giác MNPQ. Dễ thấy NP // QM (Cùng song song AB) nên nó là hình thang. Lại thấy \(SA\perp\left(ABCD\right)\), SA // NM nên \(NM\perp\left(ABCD\right)\), hay \(NM\perp MQ.\) Vậy MNPQ là hình thang vuông.
Cho khối tứ diện đều S.ABC cạnh x. E là trung điểm AB, F là điểm di động trên đoạn AE. Thiết diện của khối chóp tạo bởi mặt phẳng qua F và song song với (SEC) là: Hình bình hành Tam giác cân Tam giác đều Hình thang Hướng dẫn giải: Gọi mặt phẳng qua F và song song với (SEC) là \(\left(\alpha\right)\). Do \(\left(\alpha\right)\) // (SEC) nên \(\left(\alpha\right)\) giao (ABC) và (SAB) theo các giao tuyến song song với EC và ES. Từ F kẻ FH // EC, FG // SE. Khi đó thiết diện của chóp tạo bởi \(\left(\alpha\right)\) là tam giác FGH. Do SAB và CAB là các tam giác đều cạnh a nên hai trung tuyến SE và SE bằng nhau. Lại có: \(\frac{FH}{EC}=\frac{AF}{AE}=\frac{FG}{ES}\Rightarrow FH=FG\) hay tam giác FGH cân tại F.
Cho khối tứ diện đều SABC cạnh a. E là trung điểm AB, F là điểm thỏa mãn \(AF=\frac{1}{3}AE.\). Tính diện tích thiết diện của khối chóp tạo bởi mặt phẳng qua F và song song với (SEC). \(S_{td}=\frac{a^2\sqrt{2}}{36}\) \(S_{td}=\frac{a^2\sqrt{2}}{25}\) \(S_{td}=\frac{a^2\sqrt{2}}{49}\) \(S_{td}=\frac{a^2\sqrt{2}}{66}\) Hướng dẫn giải: Tương tự câu trước, thiết diện là tam giác giác FGH cân tại F. Do SE, CE là trung tuyến của các tam giác đều cạnh a nên \(SE=CE=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) Khi đó \(\frac{FG}{SE}=\frac{FH}{CE}=\frac{AF}{AE}=\frac{1}{3}\Rightarrow FG=FH=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\) \(\frac{HG}{SC}=\frac{AH}{AC}=\frac{AF}{AE}=\frac{1}{3}\Rightarrow HG=\frac{a}{3}.\) Tách phẳng tam giác cân FGH: Gọi I là trung điểm GH, khi đó FI là đường cao. \(FI=\sqrt{GF^2-GI^2}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2-\left(\frac{a}{6}\right)^2}=\frac{a\sqrt{2}}{6}\) Vậy \(S_{FGH}=\frac{1}{2}GH.FI=\frac{1}{2}.\frac{a}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{6}=\frac{a^2\sqrt{2}}{36}.\)
Một hình nón có chiều cao h = 3, bán kính đáy R = 5. Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón nhưng không qua trục của hình nón, cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng 8. Tính diện tích của thiết diện. \(8\sqrt{3}\) \(6\sqrt{2}\) \(24\sqrt{2}\) \(12\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các điểm như trên hình vẽ, M là trung điểm AB. Để tính diện tích thiết diện là tam giác cân SAB, ta cần tính SM. Xét tam giác vuông OMA có MA = 4; OA = 5 nên OM = 3. Xét tam giác vuông SOM có SO = 3; OM = 3 nên \(SAM=3\sqrt{2}\) Vậy diện tích tam giác SAB bằng: \(\dfrac{1}{2}.8.3\sqrt{2}=12\sqrt{2}\)
Cho khối hộp lập phương ABCDA'B'C'D'. Gọi M, N là trung điểm của AA' và BB'. Khi đó thiết diện của hình hộp tạo bởi mặt phẳng (MNC) là: Hình vuông Hình chữ nhật Hình thoi Hình tam giác Hướng dẫn giải: Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNCD. Do (CBB'C') // (DAA'D') nên (MNC) giao (DAA'D') theo giao tuyến song song với NC. Lại có CN = MD , vì thế MNCD là hình bình hành. Hơn nữa MN // AB mà \(AB\perp\left(CBB'C'\right)\Rightarrow MN\perp\left(CBB'C'\right)\Rightarrow\) \(MN\perp CN\) nên MNCD là hình chữ nhật.
Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng Tứ diện đều Bát diện đều Hình lập phương Lăng trụ lục giác đều Hướng dẫn giải: - Hình bát diện đều có tâm đối xứng: Có thể xem hình bát diện đều là hợp của hai hình chóp tứ giác đều chung đáy. Tâm của đáy chung hai hình chóp đó chính là tâm đối xứng của hình bát diện đều. - Hình lập phương có tâm đối xứng: Các mặt chéo tứ giác của hình lập phương là những hình chữ nhật có tâm chung. Tâm chung đó cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp và là tâm đối xứng của hình lập phương. - Hình lăng trụ lục giác đều có tâm đối xứng: Trung điểm đoạn nối tâm hai đáy chính là tâm đối xứng của hình. Kết luận: Hình tứ diện đều không có tâm đối xứng.
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt? 6. 10. 12. 11. Hướng dẫn giải: Hình đa diện trong hình vẽ có 5 mặt tam giác; 5 mặt tứ giác và một mặt ngũ giác. Tất cả có 11 mặt.
Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? 4 mặt phẳng. 3 mặt phẳng. 6 mặt phẳng. 9 mặt phẳng. Hướng dẫn giải: Giải bài toán tương tự trong mặt phẳng: Tính số trục đối xứng của hình chữ nhật với hai kích thước khác nhau. Ta thấy hình có đúng hai trục đối xứng là hai đường thẳng đi qua tâm O của hình chữ nhật, song song với một cạnh hình chữ nhật. Tương tự, trong không gian ba chiều, hình hộp chữ nhật với ba kích thước đôi một khác nhau có đúng 3 mặt phẳng đối xứng là 3 mặt phẳng qua tâm của hình hộp và song song với một mặt của hình hộp.
Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng ? \( S = 4\sqrt 3 {a^2} \) \(S = \sqrt 3 {a^2} \) \( S = 8{a^2} \) \( S = 2\sqrt 3 {a^2}\) Hướng dẫn giải: Hình bát diện đều cạnh a có 8 mặt là tam giác đều cạnh a . \(\Rightarrow S = 8.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = 2\sqrt 3 {a^2} \)