Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. \(V = \frac{{\sqrt {11} {a^3}}}{{12}} \) \(V = \frac{{\sqrt {13} {a^3}}}{{12}} \) \(V = \frac{{\sqrt {11} {a^3}}}{6} \) \(V = \frac{{\sqrt {11} {a^3}}}{4}\) Hướng dẫn giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Do S.ABC là khối chóp tam giác đều nên \(SG \bot (ABC)\) \(\begin{array}{l} AG = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\ \Rightarrow SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\\ \Rightarrow V = \frac{1}{3}SG.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {33} }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt {11} {a^3}}}{{12}} \end{array}\) Đáp số: \(V = \frac{{\sqrt {11} {a^3}}}{{12}} \) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Do S.ABC là khối chóp tam giác đều nên \(SG \bot (ABC)\) \(\begin{array}{l} AG = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\ \Rightarrow SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\\ \Rightarrow V = \frac{1}{3}SG.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {33} }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt {11} {a^3}}}{{12}} \end{array}\) Đáp số: \(V = \frac{{\sqrt {11} {a^3}}}{{12}} \)
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a , \(\widehat {BAC} = {120^0}\) , mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy một góc \(60^0\). Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. \(V=\frac{{9{{\rm{a}}^3}}}{8} \) \(V=\frac{{3{{\rm{a}}^3}}}{4}\) \( V = \frac{{3{{\rm{a}}^3}}}{8} \) \( V = \frac{{{a^3}}}{8} \) Hướng dẫn giải: Gọi K là trung điểm B’C’ \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AK \bot {\rm{B'C'}}}\\ {A'K \bot {\rm{B'C'}}} \end{array}} \right. \). Mà \({\rm{(A'B'C')}} \cap {\rm{(AB'C') = B'C'}}\). Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (A’B’C’) và (AB’C’) là góc giữa AK và A’K, do đó theo giả thiết AA'K là tam giác vuông tại A' và có góc \(\widehat{AA'K}=60^0\). Lại theo giả thiêt, tam giác B'A'C' là tam giác cân tại A' và có \(\widehat{B'A'C'}=120^0\) nên A'KC là tam giác vuông tại K với \(\widehat{KA'C'}=60^0\), do đó \(\Delta\)A'KC'=\(\Delta\)A'KA, vì vậy \(A'A=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Đáy lăng trụ có diện tich= \(\dfrac{1}{2}a^2\sin120^0=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\) và lăng trụ có thể tích \(V=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3a^3}{8}\).