Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh bằng 4. \(24\pi\) \(48\pi\) \(8\sqrt{3}\pi\) \(16\sqrt{3}\pi\) Hướng dẫn giải: Đường kính mặt cầu bằng độ dài đường chéo hình lập phương và bằng \(4\sqrt{3}\) Vậy diện tích mặt cầu đó là : \(4\pi\left(2\sqrt{3}\right)^2=48\pi\)
Tính tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó. \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3\pi}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2\pi}\) \(\dfrac{\sqrt{3}\pi}{2}\) \(\dfrac{2\sqrt{3}\pi}{3}\) Hướng dẫn giải: Gọi cạnh lập phương là a thì thể tích lập phương là a3 Độ dài đường chéo hình lập phương là \(a\sqrt{3}\), vậy bán kính khối cầu ngoại tiếp hình lập phương là \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) Thể tích khối cầu là \(\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3=\dfrac{\sqrt{3}\pi a^3}{2}\) Vậy tỉ số thể tích khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó là: \(a^3:\dfrac{\sqrt{3}\pi a^3}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3\pi}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng đinh nào sai? Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình lăng trụ bất kì có đáy là đa giác đều. Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp đều. Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương. Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, AB = a, \(BC=a\sqrt{2}\) , cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA=a\sqrt{3}\) . Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. \(2\pi a^3\sqrt{6}\) \(\dfrac{\pi a^3\sqrt{6}}{3}\) \(\pi a^3\sqrt{6}\) \(\dfrac{\pi a^3\sqrt{6}}{2}\) Hướng dẫn giải: Gọi O là trung điểm SC, ta thấy OS = OA = OC. Do \(CB\perp AB;CB\perp SA\Rightarrow CB\perp\left(SAB\right)\Rightarrow CB\perp SB\) Vậy SBC là tam giác vuông hay ta cũng có OS = OB = OC. Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Ta có \(AC^2=AB^2+BC^2\Rightarrow SC^2=SA^2+AC^2=SA^2+AB^2+BC^2\) \(=a\sqrt{6}\) Vậy thì \(OS=OA=OB=OC=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\) Thể tích khối cầu là: \(\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\right)^3=\pi a^3\sqrt{6}\)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông tại B, AA' = AC = \(a\sqrt{2}.\) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó. \(4\pi a^2\) \(\pi a^2\) \(16\pi a^2\) \(8\pi a^2\) Hướng dẫn giải: Gọi M. N lần lượt là trung điểm AC, A'C'. Gọi O là trung điểm MN. Khi đó ta có OA = OB = OC = OA' = OB' = OC' nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Gọi bán kính mặt cầu là r. Xét tam giác vuông AA'C, theo Pi-ta-go, ta có \(A'C=\sqrt{AA'^2+AC^2}=2a\) Vậy \(r=a\) Diện tích mặt cầu bằng: \(4\pi a^2\)
Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên \(AA'=\dfrac{3a}{2}.\) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó. \(\dfrac{\pi a^3}{81}\) \(\dfrac{8\pi a^3}{81}\) \(\dfrac{4\pi a^3}{81}\) \(\dfrac{32\pi a^3}{81}\) Hướng dẫn giải: Gọi M, N là tâm các tam giác đều ABC và A'B'C'. Gọi O là trung điểm MN, ta thấy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Do tam giác ABC đều cạnh a nên \(BM=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\) Vậy thì \(BO=\sqrt{OM^2+MB^2}=\sqrt{\left(\dfrac{a}{3}\right)^2+\left(\dfrac{a}{\sqrt{3}}\right)^2}=\dfrac{2a}{3}\) Vậy thể tích khối cầu đó là: \(\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{2a}{3}\right)^3=\dfrac{32\pi a^3}{81}\)
Cho mặt cầu (S) có tâm I, đường kính 10 cm và mặt phẳng (P) cách tâm I một khoảng 4cm. Khẳng định nào sau đây là sai? (P) cắt (S). (P) và (S) không có điểm chung. Giao tuyến của (P) và (S) là đường tròn. (P) và (S) có vô số điểm chung.
Người ta bỏ 3 quả bóng bán cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng 3 lần đường kính của quả bóng bàn. Gọi S1 là tổng diện tích 3 quả bóng bàn, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tính tỉ số \(\dfrac{S_1}{S_2}\). \(\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{S_1}{S_2}=2\) \(\dfrac{S_1}{S_2}=1\) Hướng dẫn giải: Gọi bán kính quả bóng bàn là r thì bán kính đáy hình trụ là r, chiều cao hình trụ là 6r. Từ đó ta có: \(S_1=3.\left(4\pi r^3\right)=12\pi r^2\) \(S_2=2\pi r.6r=12\pi r^2\) Vậy \(\dfrac{S_1}{S_2}=1.\)
Người ta bỏ 3 quả bóng bán cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng 3 lần đường kính của quả bóng bàn. Gọi S1 là tổng diện tích 3 quả bóng bàn, S3 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tính tỉ số \(\dfrac{S_1}{S_3}\). \(\dfrac{S_1}{S_3}=\dfrac{2}{7}\) \(\dfrac{S_1}{S_3}=\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{S_1}{S_3}=1\) \(\dfrac{S_1}{S_3}=\dfrac{6}{7}\) Hướng dẫn giải: Gọi bán kính quả bóng bàn là r thì bán kính đáy hình trụ là r, chiều cao hình trụ là 6r. Từ đó ta có: \(S_1=3.\left(4\pi r^3\right)=12\pi r^2\) \(S_3=2\pi r.6r+2.\pi.r^2=14\pi r^2\) Vậy \(\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{12}{14}=\dfrac{6}{7}.\)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng \(3\sqrt{2}a\), cạnh bên bằng \(5a\). Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. \(R=a\sqrt{3}\). \(R=a\sqrt{2}\). \(R=\dfrac{25a}{8}\). \(R=2a\). Hướng dẫn giải: Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông (theo giả thiết có cạnh \(3\sqrt{2}a\)), giao điểm O của hai đường chéo AC, BD là tâm của hình vuông ABCD và là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy. Cạnh bên hình chóp là \(SA=5a.\) Ta có \(OA=AB\dfrac{\sqrt{2}}{2}=3a\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=3a.\) Trong tam giác vuông SOA: \(SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{\left(5a\right)^2-\left(3a\right)^2}=4a\). Vì SO là trục đối xứng của hình chóp S.ABCD nên mặt phẳng (SAC) qua tâm hình cầu ngoại tiếp hình chóp, do đó bán kính R của hình cầu này cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC. Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp SAC (cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD) thì R=EA=ES, EO=SO-ES=4a - R. Trong tam giác vuông EOA có \(R^2=OA^2+EO^2=\left(3a\right)^2+\left(4a-R\right)^2\) hay \(8aR=25a^2\Leftrightarrow R=\dfrac{25a}{8}\).
