Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình nón (N) có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao là h ( R<h<2R ). Tính h để thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) có giá trị lớn nhất. \(h=R\sqrt{3}\). \(h=R\sqrt{2}\). \(h=\dfrac{4}{3}R\). \(h=\dfrac{3R}{2}\). Hướng dẫn giải: Cắt mặt cầu và mặt nón đã ch bằng một mặt phẳng qua S và O thì ta được thiết diện là một đường tròn lớn của mặt cầu ngoại tiếp tam giác cân SAB , trong đó AB là đường kính của (C): Trong tam giác vuông OHA có \(OA=R,OH=h-R\) nên \(HA^2=R^2-\left(h-R\right)^2=2Rh-h^2=h\left(2R-h\right)\) do đó khối nón có thể tích \(V=\dfrac{1}{3}h.\pi h\left(2R-h\right)\). Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta có \(V=\dfrac{1}{6}h.\pi h\left(4R-2h\right)\le\dfrac{\pi}{6}\left(h+h+4R-2h\right)^3=\dfrac{32}{3}\pi R^3\) Giá trị lớn nhất đạt được khi \(h=4R-2h\Leftrightarrow h=\dfrac{4}{3}R\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=3a, BC=4a, SA=12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. \(R=6a \) \(R=\frac{{17a}}{2} \) \(R=\frac{{13a}}{2} \) \(R=\frac{{5a}}{2}\) Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD Trong (SAC), tam giác SAC dựng \(OI \bot AC \Rightarrow\)I là trung điểm SC Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD là: \(R = IC = \sqrt {O{I^2} + I{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2} + \frac{{A{B^2} + B{C^2}}}{4}} = \frac{{13a}}{2} \)
Cho hình nón có bán kính đáy \(r = \sqrt 3 \) và độ dài đường sinh \(l=4\). Tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón đã cho. \({S_{xq}} = 4\sqrt 3 \pi \) \({S_{xq}} = \sqrt {39} \pi \) \({S_{xq}} = 8\sqrt 3 \pi \) \( {S_{xq}} = 12\pi \) Hướng dẫn giải: \({S_{xq}} = \pi lr = 4\sqrt 3 \pi \)
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD. \(S_{xq}=\dfrac{16\sqrt{2}\pi}{3}\) \(S_{xq}=8\sqrt{2}\pi\) \(S_{xq}=\dfrac{16\sqrt{3}\pi}{3}\) \(S_{xq}=8\sqrt{3}\pi\) Hướng dẫn giải: Ta cần tính chu vi đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao tứ diện ABCD. Kẻ AH là chiều cao từ đỉnh A xuống mặt phẳng đáy BCD. Do ABCD là tứ diện đều nên các mặt đều là các tam giác đều. Vậy thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BCD bằng : \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) Chiều cao AH bằng: \(\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{4^2-\left(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\) Vậy diện tích xung quanh hình trụ bằng: \(2\pi\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.\dfrac{4\sqrt{6}}{3}=\dfrac{16\sqrt{2}\pi}{3}\)
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;1), B(3;-1;1) , C(-1;-1;1). Gọi (S1) là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2; (S2) và (S3) là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu (S1), (S2), (S3)? 5 7 6 8 Hướng dẫn giải: Gọi \(\overrightarrow{n}=\left(a;b;c\right);a^2+b^2+c^2\ne0\) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) tiếp xúc với cả ba mặt cầu (S1), (S2), (S3). M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\left(1;-1;1\right);\overrightarrow{BC}=\left(-4;0;0\right)\) TH1: (P) đi qua trung điểm M của BC. Khi đó ta có \(\left(P\right):a\left(x-1\right)+b\left(y+1\right)+c\left(z-1\right)=0\) hay \(\left(P\right):ax+by+cz-a+b-c=0\) Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}d\left(A;\left(P\right)\right)=2\\d\left(B;\left(P\right)\right)=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|3b\right|=2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\\left|2a\right|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|3b\right|=2\left|2a\right|\\4a^2=a^2+b^2+c^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{4a}{3}\\c^2=\dfrac{11a^2}{9}\end{matrix}\right.\left(1\right)\\\left\{{}\begin{matrix}b=-\dfrac{4a}{3}\\c^2=\dfrac{11a^2}{9}\end{matrix}\right.\left(2\right)\end{matrix}\right.\) Hệ (1) có 2 nghiệm; hệ (2) có 2 nghiệm và các nghiệm đó không trùng nhau nhau. Vậy trường hợp này có 4 mặt phẳng (P). TH2: (P) song song với \(BC\Rightarrow\overrightarrow{n}.\overrightarrow{BC}=0\Leftrightarrow a=0\Rightarrow\left(P\right):by+cz+d=0\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}d\left(A;\left(P\right)\right)=2\\d\left(B;\left(P\right)\right)=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|2b+c+d\right|=2\sqrt{b^2+c^2}\\\left|-b+c+d\right|=\sqrt{b^2+c^2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|2b+c+d\right|=2\left|-b+c+d\right|\\\left(-b+c+d\right)^2=b^2+c^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}d=4b-c\\\left(-b+c+d\right)^2=b^2+c^2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}d=-c\\\left(-b+c+d\right)^2=b^2+c^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}d=4b-c\\c^2=8b^2\end{matrix}\right.\left(3\right)\\\left\{{}\begin{matrix}d=-c\\c=0\\b\ne0\end{matrix}\right.\left(4\right)\end{matrix}\right.\) Hệ (3) có 2 nghiệm, hệ (4) có 1 nghiệm và các nghiệm này không trùng nhau. Vậy trường hợp này có 3 mặt phẳng. Vậy có tất cả 7 mặt phẳng (P).
