Cho chóp có đáy là tam giác đều cạnh \(a\sqrt{3}\) . Các cạnh bên tạo với đáy góc \(60^o\). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp trên. \(\frac{54\pi a^3}{8\sqrt{2}}\) \(\frac{32\pi a^3}{9\sqrt{3}}\) \(\frac{32\pi a^3}{8\sqrt{3}}\) \(\frac{57\pi a^3}{8\sqrt{2}}\) Hướng dẫn giải: Gọi khối chóp là SABC, O là tâm tam giác ABC. Khi đó theo đề bài, \(SO\perp\left(ABC\right)\) và \(\widehat{SAO}=60^o.\) Do tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt{3}\) nên \(AO=a.\) Khi đó \(SO=tan60^o.a=a\sqrt{3}\) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp. Do tam giác ABC đều và \(SO\perp\left(ABC\right)\) nên \(I\in SO.\) Gọi SI = x, khi đó IA = x. Vậy thì: \(x^2=a^2+\left(a\sqrt{3}-x\right)^2\Rightarrow x^2=a^2+3a^2-2\sqrt{3}ax+x^2\) \(\Rightarrow2\sqrt{3}ax=4a^2\Rightarrow x=\frac{2a}{\sqrt{3}}\). Do x chính là độ dài bán kính khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABC nên thể tích khối cầu là: \(\frac{4}{3}\pi\left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)^3=\frac{32\pi a^3}{9\sqrt{3}}\)
Hình chóp D.ABC có DA vuông góc với (ABC), BC vuông góc với DB, AB = c, BC = a, AD = b. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. \(\frac{1}{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) \(\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) \(2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) Hướng dẫn giải: Gọi O là trung điểm DC. Khi đó do các tam giác DBC, DAC vuông nên OA = OB = OC = OD. Vậy nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bán kính mặt cầu là \(OD=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
Cho mặt cầu (S1) bán kính R1, mặt cầu (S2) bán kính R2 = 2R1 . Tìm tỉ số diện tích của mặt cầu (S2) và (S1). \(\frac{1}{2}\) 2 3 4 Hướng dẫn giải: Do \(S_{cầu}=4\pi R^2\Rightarrow\frac{S_2}{S_1}=\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2=2^2=4\)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh cùng bằng a. Tính bán kính mặt cầu ngoài tiếp hình chóp đó. \(a\sqrt{2}\) \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\) \(a\sqrt{3}\) \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) Hướng dẫn giải: Xét tam giác SDB có SD = SB = a; DB = \(a\sqrt{2}\) nên nó là tam giác vuông tại S. Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác SDB hay chính là trung điểm DB. Vậy \(OS=\frac{\sqrt{2}}{2}a\)
Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh cùng bằng 1. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. \(7\pi\) \(\frac{7\pi}{2}\) \(\frac{7\pi}{3}\) \(\frac{7\pi}{6}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. Gọi H là tâm tam giác ABC, H' là tâm tam giác A'B'C'. O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ thì O phải là trung điểm HH'. Từ đó ta có OH = \(\frac{1}{2}\); \(HC=\frac{1}{\sqrt{3}}\) .Vậy thì \(OC=\frac{\sqrt{21}}{6}\) Diện tích mặt cầu là: \(4\pi.\left(\frac{\sqrt{21}}{6}\right)^2=\frac{7\pi}{3}\)
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 1. Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Trong (P) xét đường tròn (O) đường kính BC. Tính bán kính mặt cầu (S) đi qua (O) và điểm A. \(\sqrt{3}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) Hướng dẫn giải: Do (P) vuông góc với (ABC) nên tâm I của mặt cầu đi qua (O) và A thuộc đường thẳng AM. Lại do IA = IB = IC nên I là tâm tam giác đều ABC. Vậy \(IA=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Gọi O1 ; O2 ; O3 lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp, tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? O1 trùng O2 nhưng khác O3. O2 trùng O3 nhưng khác O1. Trong ba điểm O1 ; O2 ; O3 không có hai điểm nào trùng nhau. O1 ; O2 ; O3 trùng nhau.
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 1. Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Trong (P) xét đường tròn (O) đường kính BC. Tính diện tích mặt cầu (S) đi qua (O) và điểm A. \(\frac{\pi}{2}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\pi\) \(2\pi\) Hướng dẫn giải: Do (P) vuông góc với (ABC) nên tâm I thuộc đường thẳng AM. Do I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC. Suy ra \(IM=\frac{\sqrt{3}}{6}\) Vậy diện tích mặt cầu là : \(4\pi\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2=\frac{\pi}{3}\)
Một hình trụ có bán kính đáy bằng 1, thiết diện qua trục là hình vuông. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ. \(6\pi\sqrt{3}\) \(3\pi\sqrt{3}\) \(\frac{4\pi\sqrt{2}}{3}\) \(\frac{8\pi\sqrt{2}}{3}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các điểm như hình vẽ. Khi đó HA = 1 nên \(OA=\sqrt{2}\) Vậy thể tích khối cầu là: \(\frac{4}{3}\pi\left(\sqrt{2}\right)^3=\frac{8\pi\sqrt{2}}{3}\)
Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh bằng 2. Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón. Tính bán kính mặt cầu. \(2\sqrt{3}\) 2 \(\sqrt{3}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) Hướng dẫn giải: Do thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh bằng 2 nên bán kính đáy của hình nón là 1. Đường sinh của hình nón là \(2\) Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: \(S_{xq}=\pi.1.2=2\pi\) Diện tích đáy nón là \(S_đ=\pi\) Vậy diện tích toàn phần hình nón hay diện tích mặt cầu là: \(3\pi\) Từ đó ta có: \(4\pi r^2=3\pi\Rightarrow r=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
