Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tính tỉ số thể tích của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón. 8 6 4 2 Hướng dẫn giải: Gọi R, r lần lượt là bán kính của khối cầu ngoại tiếp và nội tiếp khối nón. Ta thấy \(\frac{V_{ngoại}}{V_{nội}}=\left(\frac{R}{r}\right)^3=2^3=8\)
Một khối cầu có thể tích \(\frac{4}{3}\pi\) ngoại tiếp hình lập phương. Tính thể tích khối lập phương. Kết quả đúng là: \(\frac{8\sqrt{3}}{9}\) \(\frac{8}{3}\) 1 \(2\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải: Tách phẳng: Khối cầu có thể tích là \(\frac{4\pi}{3}\Rightarrow r=1\) Vậy thì hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính 1 có độ dài cạnh là: \(\sqrt{2}\) Thể tích khối lập phương là \(\left(\sqrt{2}^3\right)=2\sqrt{2}\)
Xét mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều cạnh bằng 1. Tính bán kính mặt cầu đó. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{4}\) \(\sqrt{2}\) \(2\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải: Ta thấy trọng tâm tứ diện chính là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều đó.
Một khối trụ có bán kính đáy bằng \(\sqrt{3}\), chiều cao \(2\sqrt{3}\). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối trụ. \(8\sqrt{6}\pi\) \(6\sqrt{6}\pi\) \(\frac{4}{3}\sqrt{6}\pi\) \(4\sqrt{3}\pi\) Hướng dẫn giải: Tách phẳng qua trục khối trụ: Ta có HA = \(\sqrt{3}\), OH = \(\sqrt{3}\) Ta thấy bán kính khối cầu ngoại tiếp khối trụ bằng OA. Xét tam giác vuông OAH, OA = \(\sqrt{6}\) Vậy thể tích khối cầu là: \(\frac{4}{3}\pi\left(\sqrt{6}\right)^3=8\sqrt{6}\pi\)
Cho hình nón có đường sinh và đường kính đáy cùng bằng 2. Tính bán kính đáy mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó. \(\sqrt{3}\) \(2\sqrt{3}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) Hướng dẫn giải: Tách phẳng qua trụ của hình nón, ta thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón là trọng tâm của tam giác đều cạnh 2. Vậy bán kính mặt cầu bằng \(\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
Cho hình nón sinh bởi tam giác đều cạnh 1 khi quay quanh đường thẳng chứa một đường cao. Xét một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón đó. Tính bán kính mặt cầu đó. \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) \(\frac{\sqrt{2}}{4}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) Hướng dẫn giải: Hình nón được tạo thành có bán kính đáy là \(\frac{1}{2}\) và độ dài đường sinh là 1. Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: \(\frac{\pi}{2}\) Diện tích mặt đáy là \(\pi.\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{\pi}{4}\). Vậy diện tích toàn phần của hình nón là: \(\frac{3\pi}{4}\) Gọi bán kính mặt cầu là r, ta có \(4\pi r^2=\frac{3\pi}{4}\Rightarrow r=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật mà AD = 3; AC = 5; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45o. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. \(\frac{1}{3}17\sqrt{34}\pi\) \(\frac{1}{6}17\sqrt{34}\pi\) \(34\sqrt{34}\pi\) \(\frac{1}{9}17\sqrt{34}\pi\) Hướng dẫn giải: Do ABCD là hình chữ nhật nên \(CD\perp AD\) Vậy thì \(\widehat{\left(\left(SCD\right);\left(ABCD\right)\right)=\widehat{SDA}=45^o}\) Xét tam giác vuông SAD có \(\widehat{SDA}=45^o\) nên nó là tam giác vuông cân, hay AS = AD = 3. Gọi O là trung điểm SC, ta có OS = OA = OC = OB = OD. Vậy O là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp. Bán kính khối cầu là OC. Tam giác SAC vuông tại A, có AS = 3; AC = 5 nên SC = \(\sqrt{34}\) Vậy bán kính khối cầu là \(\frac{\sqrt{34}}{2}\) Thể tích khối cầu là \(\frac{4}{3}\pi\left(\frac{\sqrt{34}}{2}\right)^2=\frac{1}{3}17\sqrt{34}\pi\) Kiểm tra
Hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3; BC = 5. Hình chiếu của B' trên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, góc giữa mặt phẳng (ABB'A') và mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B'.ABC. \(\frac{73\sqrt{3}}{48}\) \(\frac{73\sqrt{3}}{24}\) \(\frac{73\sqrt{6}}{48}\) \(\frac{76\sqrt{3}}{24}\) Hướng dẫn giải: Tính được AC = 4 cm. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm AB, BC; B'C. Khi đó ta có \(\widehat{\left(\left(ABB'A'\right);\left(ABC\right)\right)}=\widehat{B'MN}=60^o\) và \(B'N\perp\left(ABC\right)\) Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B'.ABC là tâm đường tròn ngoại tiếp giác giác cân B'BC. Thật vậy, O thuộc BN nên OA = OB = OC. Lại do O là đường tròn ngoại tiếp nên OB' = OB = OC. Vậy thì OA = OB = OC = OB' Ta có MN = \(\frac{AC}{2}=\frac{4}{2}=2\) nên B'N = \(2\sqrt{3}\Rightarrow B'C=\frac{\sqrt{73}}{2}\) Ta có \(\Delta B'KO\sim\Delta B'NC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{B'K}{B'N}=\frac{B'O}{B'C}\) \(\Rightarrow B'O=\frac{B'K.B'C}{B'N}=\frac{\frac{\sqrt{73}}{4}.\frac{\sqrt{73}}{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{73\sqrt{3}}{48}\)
Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = 1, góc giữa A'C và mặt phẳng ABC bằng 60o. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C'.ABB'A'. \(\frac{5\pi}{2}\) \(5\pi\) \(\frac{5\pi}{4}\) \(\frac{5\pi}{6}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. Gọi M là trung điểm của A'B. Ta có \(\widehat{\left(A'C;\left(ABC\right)\right)}=\widehat{ACA'}=60^o\) Do tam giác A'C'B vuông tại A' nên trung điểm của C'B là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi điểm đó là O . Khi đó OB = OA' = OC'. Lại có OM // A'C' nên \(OM\perp\left(ABB'A'\right)\) . M là tâm hình chữ nhật ABB'A' nên OA = OB = OA' = OB'. Vậy OC = OA = OB = OA' = OB' hay O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp C'.ABB'A' Ta tính được \(CC'=AA'=\sqrt{3};BC=\sqrt{2}\Rightarrow BC'=\sqrt{5}\) Vậy R = OB = OC' = \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) Diện tích mặt cầu là: \(4\pi R^2=4\pi\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2=5\pi\)
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B, AB = BC =1; AD =2; mặt phẳng (SAD) vuông góc với (ABCD) và tam giác SAD đều. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\sqrt{2}\) \(\sqrt{5}\) \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. Gọi H là trung điểm AD, khi đó do \(\left(SAD\right)\perp\left(ABCD\right)\) nên \(SH\perp\left(ABCD\right)\) Từ đó suy ra \(SH\perp BH\) Xét tam giác vuông SHB, gọi O là trung điểm SB. Khi đó OB = OS = OH. Gọi I là trung điểm AC. Ta thấy ngay OI // SH nên \(OI\perp\left(ABC\right)\). Do IA = IB = IC nên OA = OB = OC. Vậy OS = OA = OB = OC hay O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC. Ta tính được \(BH=\sqrt{2};SH=\sqrt{3}\Rightarrow SB=\sqrt{5}\Rightarrow R=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
