Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = 1; các cạnh bên cùng tạo với đáy góc 60o. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC \(\frac{8\pi}{6}\) \(\frac{8\pi}{9}\) \(\frac{8\pi}{3}\) \(8\pi\) Hướng dẫn giải: Gọi H là trung điểm BC, khi đó HA = HB = HC. Ta thấy \(SH\perp\left(ABC\right)\) và \(\widehat{SAH}=\widehat{SBH}=\widehat{SCH}=60^o\) Do tam giác ABC cân nên SB = SC. Lại có \(\widehat{SBH}=\widehat{SCH}=60^o\) nên tam giác SBC đều. Gọi O là trọng tâm tam giác SBC. Khi đó dễ thấy OS = OA = OB = OC hay O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC. Ta có \(BC=\sqrt{2}\Rightarrow SO=\frac{\sqrt{6}}{3}\) Vậy diện tích mặt cầu bằng: \(4\pi\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2=\frac{8\pi}{3}\)
Cho điểm A và đường thẳng d không qua A. Xét các mặt cầu có tâm thuộc d và đi qua điểm A. Trong các mệnh đề sau đây, tìm mệnh đề đúng. Các mặt cầu đó chỉ đi qua một điểm cố định. Các mặt cầu đó chỉ đi qua hai điểm cố định. Các mặt cầu đó luôn đi qua một đường tròn cố định. Cả ba mệnh đề đều sai. Hướng dẫn giải: Kẻ AH vuông góc đường thẳng d, H thuộc d. Khi đó các mặt cầu luôn đi qua đường tròn tâm H, bán kính HA .
Cho tứ diện ABCD nội tiếp một mặt cầu mà \(\widehat{ADB}=\widehat{BDC}=\widehat{CDA}=90^o.\) Tìm một đường kính của mặt cầu đó. AB BC CA DD', trong đó \(\overrightarrow{DD'}=3\overrightarrow{DG}\) với G là trọng tâm tam giác ABC. Hướng dẫn giải: Đặt tên các điểm như hình vẽ. Gọi M, N, I, P, K lần lượt là trung điểm AD, AC, AB, BC, AP. Trong mặt phẳng (MNI) vẽ hình bình hành MNOI. Ta chứng minh O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp ABCD. Thật vậy, trong (ABC) , NI là đường trung bình tam giác ABC nên K là trung điểm AP. Vậy thì MK là đường trung bình tam giác ADP. Do MNOI là hình bình hành nên MK = KO. Suy ra MO//DP và MO = DP. Vậy DMOP là hình bình hành hay OP // DM. Vậy \(OP\perp\left(DBC\right)\) Do DBC là tam giác vuông nên P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC. Mà \(OP\perp\left(DBC\right)\) nên OD = OB = OC. Tương tự OI // NM // CD mà \(CD\perp\left(ADB\right)\) nên \(OI\perp\left(ADB\right)\) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên OA = OD = OB. Vậy thì OA = OB = OC = OD. Trong (MOPD) có KO // PD nên \(\frac{KG}{GP}=\frac{OK}{DP}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{GP}{KP}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{GP}{AP}=\frac{1}{3}\Rightarrow\) G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó \(\overrightarrow{R}=\overrightarrow{DO}=\frac{3}{2}\overrightarrow{DG}\Rightarrow\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{R}=3\overrightarrow{DG}\)
Cho mặt phẳng (P) và điểm S nằm ngoài (P) . Gọi A là điểm cố định thuộc (P) sao cho SA không vuông góc với (P). Một đường thẳng d thay đổi nằm trong (P) và đi qua A. Tìm tập hình chiếu H của S trên d. Một mặt cầu Một mặt nón Một mặt trụ Một đường tròn. Hướng dẫn giải: Cách 1: Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ S đến (P). Khi đó K là điểm cố định. Ta thấy \(AH\perp SH\left(gt\right)\) ; \(SK\perp\left(P\right)\Rightarrow SK\perp AH\) Vậy thì \(AH\perp\left(SHK\right)\Rightarrow AH\perp HK\) Suy ra H thuộc đường tròn đường kính AK. Cách 2: Làm loại trừ Vì H luôn thuộc d, d lại luôn thuộc (P) nên tập hợp H phải nằm trong mặt phẳng (P). Theo các phương án ta suu ra chỉ có đáp án một đường tròn là thỏa mãn.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh cùng bằng 1. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đều đó. \(\frac{\sqrt{2}}{2\left(1+\sqrt{3}\right)}\) \(\frac{\sqrt{2}}{4\left(1+\sqrt{3}\right)}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2\left(1+\sqrt{3}\right)}\) \(\frac{\sqrt{3}}{4\left(1+\sqrt{3}\right)}\) Hướng dẫn giải: Mặt cầu nội tiếp hình chóp đều nên nó tiếp xúc với các mặt bên và tiếp xúc tới mặt phẳng đáy tại tâm của đáy. Gọi M, N là trung điểm AB, DC, khi đó tâm O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SMN. Gọi I là tâm hình vuông ABCD. Tam giác SMN là tam giác cân, có SM = SN = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ; MN = 1. Xét tam giác vuông SIM có \(SI=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có: \(\frac{OI}{SO}=\frac{MI}{MS}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) Vậy \(\frac{OI}{SI}=\frac{1}{\sqrt{3}+1}\Rightarrow OI=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{2}}{2\left(\sqrt{3}+1\right)}\)
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Xét điểm M trong không gian mà \(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=2.\) Trong các câu sau, tìm câu đúng. M thuộc một mặt cầu có tâm là trọng tâm tam giác ABC và có bán kính \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) M thuộc một mặt cầu có tâm là trọng tâm tứ diện ABCD và có bán kính \(\frac{\sqrt{2}}{4}\) M thuộc một mặt cầu có tâm là trọng tâm tứ diện ABCD và có bán kính \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) M thuộc một mặt cầu có tâm là trọng tâm tam giác ABC và có bán kính \(\frac{\sqrt{2}}{4}\) Hướng dẫn giải: Gọi O là trọng tâm tứ diện ABCD (giao của hai đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối), khi đó ta có: \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)và \(\overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OB}^2+\overrightarrow{OC}^2+\overrightarrow{OD^2}=\frac{3}{2}\) (dễ dàng chứng minh) Từ đề bài ta có : \(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=2\) \(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{MA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MC}\right)^2+\left(\overrightarrow{MD}\right)^2=2\) \(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)^2+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right)^2=2\) \(\Leftrightarrow4\left(\overrightarrow{MO}\right)^2+2\overrightarrow{MO}.\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)+\left(\overrightarrow{OA}\right)^2+\left(\overrightarrow{OB}\right)^2+\left(\overrightarrow{OC}\right)^2+\left(\overrightarrow{OD}\right)^2=2\) \(\Leftrightarrow4\overrightarrow{MG}^2+\overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OB}^2+\overrightarrow{OC}^2+\overrightarrow{OD}^2=2\) \(\Leftrightarrow4MG^2+\frac{3}{2}=2\) Vậy thì \(MG=\frac{\sqrt{2}}{2}\) hay M thuộc mặt cầu có tâm là trọng tâm tứ diện, bán kính là \(\frac{\sqrt{2}}{4}\)
Cho hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng l thay đổi luôn đi qua A và cách B một khoảng \(\frac{AB}{2}\) . Tìm tập hợp hình chiếu H của B trên l. Một mặt phẳng. Một mặt nón. Một mặt trụ. Một đường tròn. Hướng dẫn giải: Vì HB chính là khoảng cách giữa B và đường thẳng l nên \(HB=\frac{AB}{2}.\) Từ đó suy ra H luôn thuộc đường tròn tâm B, bán kính là \(\frac{AB}{2}.\)
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi B', C', D' lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, AD. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm B, C, D, B', C', D'. \(\frac{\sqrt{11}}{8}\) \(\frac{\sqrt{11}}{4}\) \(\frac{\sqrt{22}}{8}\) \(\frac{\sqrt{22}}{4}\) Hướng dẫn giải: Tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp cụt B'C'D'BCD thuộc đường cao của tứ diện đều ABCD. Gọi O là tâm tam giác BCD; O' là tâm tam giác B'C'D' thì tâm M của mặt cầu thuộc OO'. Đặt N là trung điểm DC. Tách phẳng: Ta có tam giác ABN cân tại N, có \(NA=NB=\frac{\sqrt{3}}{2}\) ; AB = 1. Vậy thì \(cos\widehat{B'BO}=\frac{BB'}{BN}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow BO=cos\widehat{B'BO}.AB=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow B'O'=\frac{1}{2\sqrt{3}}\) \(\Rightarrow AO=\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow OO'=\frac{\sqrt{6}}{6}\) Gọi O'M = x thì \(\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2+x^2=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{6}}{6}-x\right)^2\) \(\Rightarrow x=\frac{5\sqrt{6}}{24}\Rightarrow R=MB'=\sqrt{B'O'^2+x^2}=\frac{\sqrt{22}}{8}\)
Cho hình nón sinh bởi tam giác đều cạnh 1 khi quay quanh đường cao của nó. Xét một khối cầu có thể tích bằng thể tích khối nón. Tính bán kính khối cầu. \(\frac{\sqrt[3]{2\sqrt{3}}}{4}\) \(\frac{\sqrt[3]{2\sqrt{3}}}{8}\) \(\frac{\sqrt[3]{2\sqrt{3}}}{2}\) \(\frac{\sqrt[3]{3}}{8}\) Hướng dẫn giải: Khối nón đó có bán kính đáy là \(\frac{1}{2}\) , chiều cao là \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) nên có thể tích là: \(V_n=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{1}{2}\right)^2.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}\pi}{24}\) Gọi bán kính mặt cầu là R thì \(\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{\sqrt{3}\pi}{24}\Rightarrow R=\frac{\sqrt[3]{2\sqrt{3}}}{4}\)
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. MNP là tam giác nội tiếp đường tròn đó, MN song song với AB. Cho hình vẽ đó quay quanh đường thẳng OP. Kí hiệu \(V_1,V_2,V_3\) là thể tích khối tròn xoay do hình vuông, hình tròn, hình tam giác tạo thành. Tìm câu đúng. \(V_1=V_2+V_3\) \(V_3=V_2+V_1\) \(V_1^2=V_2.V_3\) \(V_3^2=V_2.V_1\) Hướng dẫn giải: Cạnh hình vuông ABCD là \(a=\sqrt{R^2+R^2}=R\sqrt{2}\) Cạnh tam giác MNP là b, ta có: tam giác OPM cân có góc O bằng 1200 và OP=OM=R. Suy ra \(b^2=MP^2=R^2+R^2-2R^2\cos120^0=3R^2\) \(\Rightarrow b=R\sqrt{3}\) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình vuông quanh trục OP (khối trụ) là: \(V_1=\pi.\left(\frac{a}{2}\right)^2.a=\pi\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)^2R\sqrt{2}=\frac{\pi R^3}{\sqrt{2}}\) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình tròn quan OP là thẻ tích hình cầu: \(V_2=\frac{4}{3}\pi R^3\) Thể tích khối tròn xuay tạo thành khi quay tam giác MNP quanh OP là (khối nón): \(V_3=\frac{1}{3}\pi.\left(\frac{b}{2}\right)^2.\frac{b\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)^2.\frac{R\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}\) \(=\frac{3}{8}\pi R^3\) Ta có: \(V_2.V_3=\frac{1}{2}\pi^2.R^6=V_1^2\)
