Cho khối hình học bên dưới, các kích thước đã cho cùng đơn vị. Tính thể tích khối đó. \(\pi.2^4.\frac{5}{3}\) \(\pi.2^4.\frac{3}{5}\) \(\pi.2^4.\frac{4}{3}\) \(\pi.2^4.\frac{3}{4}\) Hướng dẫn giải: Khối trên cùng là nửa mặt cầu bán kính 2. Vậy bán kính đáy mặt trụ và mặt nón bằng 2. Thể tích khối đã cho bằng thể tích nửa khối cầu + thể tích khối trụ + thể tích khối nón. \(V=\frac{1}{2}\left[\frac{4}{3}\pi.2^3\right]+\pi.2^2.4+\frac{1}{3}\pi.2^2.4=\pi.2^4\frac{5}{3}\)
Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ dưới). Các kích thước được ghi trong hình (cùng đơn vị dm). Tính thể tích của bồn chứa. \(\pi.4^2.3^2\) \(\pi.4^5.3^2\) \(\pi.\frac{4^2}{3^5}\) \(\pi.\frac{4^5}{3^2}\) Hướng dẫn giải: Bán kính của khối cầu và khối trụ là 18 : 2 = 9. Thể tích bồn chứa bằng [2 lần nửa thể tích khối cầu] + [thể tích khối trụ), hay bằng [thể tích khối cầu] + [thể tích khối trụ], và bằng: \(V=\frac{4}{3}\pi.9^3+\pi.9^2.36=4\pi\left(3^5+3^6\right)=4\pi.3^5\left(1+3\right)=\pi.4^2.3^5\)
Hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C', đáy AB có AC=1, BC=2, \(\widehat{ACB}=120^0\), cạnh bên bằng 2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho. \(40\pi\) \(\frac{40\pi}{3}\) \(\frac{40\pi}{9}\) \(\frac{40\pi}{27}\) Hướng dẫn giải: Trong mặt phẳng ABC gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng (xem hình vẽ), khi đó bán kính của mặt cầu là: \(IA=\sqrt{IO^2+OA^2}=\sqrt{1^2+R^2}\) (*) với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta tính R theo công thức: \(S_{ABC}=\frac{abc}{4R}\), hay \(R=\frac{abc}{4S}\) (với a, b, c là các cạnh tam giác ABC, S là diện tích). Ta có: \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.BC.\sin\widehat{C}=\frac{1}{2}.1.2.\sin120^0=\frac{\sqrt{3}}{2}\) Cạnh \(AB^2=AC^2+BC^2-2.AC.BC.\cos\widehat{C}=1^2+2^2-2.1.2.\left(-\frac{1}{2}\right)=7\) => \(AB=\sqrt{7}\) Vậy \(R=\frac{2.1.\sqrt{7}}{4.\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{21}}{3}\) Thay vào (*) ta tính được \(IA=\sqrt{1+\frac{7}{3}}=\sqrt{\frac{10}{3}}\) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là: \(4\pi.IA^2=4\pi.\frac{10}{3}=\frac{40}{3}\pi\)
Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh 1, \(\widehat{BCD}=120^0\), SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng \(60^0\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp SBCD. \(\sqrt{13}\) \(\frac{\sqrt{13}}{4}\) \(\frac{\sqrt{13}}{2}\) \(\frac{\sqrt{13}}{8}\) Hướng dẫn giải: Vì ABCD là hình thoi có góc C bằng \(120^0\) nên các tam giác ACB và ACD là các tam giác đều, suy ra AD=AC=AB. Suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD trong mặt phẳng đáy. Từ A kẻ đường thẳng Ax vuông góc với đáy, từ trung điểm M của SD kẻ MI//DA cắt Ax tại I thì I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp SBCD. Trong hình thoi ABCD có đường chéo \(BD^2=CD^2+CB^2-2.CD.CB.\cos\widehat{C}=1^2+1^2-2.1.1.\left(-\frac{1}{2}\right)=3\) \(\Rightarrow BD=\sqrt{3}\). Tam giác vuông SBD có góc \(\widehat{B}=60^0\) nên \(SD=BD.\tan60^0=\sqrt{3}.\sqrt{3}=3\) \(\Rightarrow MD=\frac{SD}{2}=\frac{3}{2}\) \(\Rightarrow IA=MD=\frac{3}{2}\) \(\Rightarrow ID=\sqrt{IA^2+AD^2}=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+1^2}=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 1, \(\widehat{A}=60^0\), \(SA=\frac{1}{2}\), tam giác SAB vuông tại S và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp SABD. \(\frac{4\pi}{27}\) \(\frac{4\pi}{9}\) \(\frac{4\pi}{6}\) \(\frac{4\pi}{3}\) Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm AB. Do tam giác SAB vuông tại S nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Suy ra tâm I của mặt cầu ngoại tiếp SABD nằm trên đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (SAB). Vì mặt phẳng (SAB) vuông góc với (ABCD) nên MD chính là đường vuông góc với (SAB) (vì tam giác ABD đều nên \(DM\perp AB\)). Suy ra tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD trong mặt phẳng (ABD) cũng chính là tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABD. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABD trong mặt phẳng (ABCD) là: \(r=\frac{2}{3}DM=\frac{2}{3}\sqrt{DA^2-AM^2}=\frac{2}{3}\sqrt{1^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\) Diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp SABD là: \(4\pi.\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2=\frac{4\pi}{3}\)
Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 1, chiều cao \(h=2\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. \(\frac{7}{6}\) \(\frac{7}{12}\) \(\frac{13}{12}\) \(\frac{13}{6}\) Hướng dẫn giải: Lấy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC (có cạnh 1). Tâm mặt cầu I nằm trên SH. Kéo dài SH cắt mặt cầu tại D. Trong mặt phẳng (SBD) thì B nằm trên đường tròn đường kính SD là giao của mặt phẳng (SBD) với mặt cầu. Suy ra:b Tam giác SBD vuông tại B, BH là đường cao ứng với cạnh huyền. \(\Rightarrow SB^2=SH.SD\) \(\Rightarrow SB^2=h.\left(2R\right)\) (*) Ta có: H là trọng tâm tam giác ABC suy ra \(BH=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}.\sqrt{BA^2-AM^2}=\frac{2}{3}\sqrt{1^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(\Rightarrow SB^2=SH^2+BH^2=2^2+\frac{1}{3}=\frac{13}{3}\) Thay vào (*) ta tính được: \(R=\frac{SB^2}{2.h}=\frac{\frac{13}{3}}{2.2}=\frac{13}{12}\)
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy 1, chiều cao h=2. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. \(\frac{9}{8}\) \(\frac{9}{4}\) \(\frac{6}{8}\) \(\frac{6}{4}\) Hướng dẫn giải: Gọi H là tâm hình vuông ABCD thì tâm mặt cầu nằm trên SH. Kéo dài SH cắt mặt cầu tại E, giao mặt phẳng (SDE) với mặt cầu là đường tròn đường kính SE. Vậy tam góc \(\widehat{SDE}=1v\). Trong tam giác vuông DSE có DH là đường cao ứng với cạnh huyền. Suy ra: \(DH^2=HS.HE\) Ta có: \(DH=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}\sqrt{1^2+1^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), HS = 2. Suy ra: \(HE=\frac{DH^2}{HS}=\frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}{2}=\frac{1}{4}\) => \(SE-HS=\frac{1}{4}\) (vì HE=SE-HS) \(\Rightarrow2R-2=\frac{1}{4}\) \(\Rightarrow R=1+\frac{1}{8}=\frac{9}{8}\)
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao \(h=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó. \(\sqrt{3}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) \(\frac{\sqrt{3}}{6}\) Hướng dẫn giải: Gọi I và r là tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD, khi đó khoảng cách từ I đến 4 mặt bên và đến mặt đáy của hình chóp đều bằng r. Thể tích của khối chóp có thể tính theo 2 cách sau đây: \(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.dt\left(ABCD\right).h\) \(=V_{I.ABCD}+V_{I.SAB}+V_{I.SBC}+V_{I.SCD}+V_{I.SDA}\) \(=\frac{1}{3}dt\left(ABCD\right).r+\frac{1}{3}dt\left(SAB\right).r+\frac{1}{3}dt\left(SBC\right).r+\frac{1}{3}dt\left(SCD\right).r+\frac{1}{3}dt\left(SDA\right).r\) \(=\frac{1}{3}.r.\left[dt\left(ABCD\right)+4.dt\left(SBC\right)\right]\) (vì các mặt bên là các tam giác bằng nhau) \(\Rightarrow r=\frac{dt\left(ABCD\right).h}{dt\left(ABCD\right)+4.dt\left(SBC\right)}\) Ta có: \(dt\left(ABCD\right)=1\) , \(h=\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(dt\left(SBC\right)=\frac{1}{2}.BC.SM=\frac{1}{2}.BC.\sqrt{SH^2+HM^2}\) \(=\frac{1}{2}.1\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}\) Suy ra: \(r=\frac{dt\left(ABCD\right).h}{dt\left(ABCD\right)+4.dt\left(SBC\right)}=\frac{1.\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+4.\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\)
Hình nón có bán kính đáy bằng 1, chiều cao h=2. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó. \(\frac{5}{3}\) \(\frac{5}{6}\) \(\frac{5}{2}\) \(\frac{5}{4}\) Hướng dẫn giải: Gọi tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là I và R (xem hình vẽ). Khi đó SD=2R. Mặt phẳng (SBD) cắt mạt cầu theo đường tròn đường kính SD=2R nên góc \(\widehat{SBD}=1v\). Xét tam giác vuông BSD có BH là đường cao, ta có: \(HB^2=HS.HD\) Theo bài ra ta có: HB=1, HS = 2. Suy ra \(HD=\frac{HB^2}{HS}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\). Suy ra \(2R=SD=SH+HD=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\) => \(R=\frac{5}{4}\)
Hình nón có bán kính đáy 1, chiều cao h=2. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón đó. \(\frac{2}{1+\sqrt{5}}\) \(\frac{2}{2+\sqrt{5}}\) \(\frac{4}{1+\sqrt{5}}\) \(\frac{4}{2+\sqrt{5}}\) Hướng dẫn giải: Gọi I và r là tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón. Ta lấy AB là đường kính đường tròn đáy của hình nón, khi đó I và r cũng là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cân SAB. Theo bài ra: AB=2, \(SA=SB=\sqrt{SH^2+HB^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\). Ta tính diện tích tam giác cân SAB theo 2 cách để suy ra r như sau: \(dt\left(SAB\right)=\frac{1}{2}AB.SH=dt\left(ISA\right)+dt\left(IBA\right)+dt\left(IBS\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}AB.SH=\frac{1}{2}SA.r+\frac{1}{2}AB.r+\frac{1}{2}SB.r\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}2.2=\frac{1}{2}\sqrt{5}.r+\frac{1}{2}.2.r+\frac{1}{2}\sqrt{5}.r\) \(\Leftrightarrow r=\frac{2}{\sqrt{5}+1}\)
