Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao \(h=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Tính tỉ số thể tích khối cầu nội tiếp và thể tích khối chóp đã cho. \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{9}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\frac{\pi}{3}\) Hướng dẫn giải: Gọi I và r là tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD. Ta tính thể tích của S.ABCD theo 2 cách: \(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}dt\left(ABCD\right).h\) \(=V_{I.ABCD}+V_{I.SAB}+V_{I.SBC}+V_{I.SCD}+V_{I.SDA}\) \(=\frac{1}{3}dt\left(ABCD\right).r+\frac{1}{3}dt\left(SAB\right).r+\frac{1}{3}dt\left(SBC\right).r+\frac{1}{3}dt\left(SCD\right).r+\frac{1}{3}dt\left(SDA\right).r\) \(=\frac{1}{3}.dt\left(ABCD\right).r+4.\left(\frac{1}{3}dt\left(SCD\right).r\right)\) \(\Rightarrow r=\frac{dt\left(ABCD\right).h}{dt\left(ABCD\right)+4.dt\left(SCD\right)}\) Ta có \(SM=\sqrt{SH^2+HM^2}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=1\) \(\Rightarrow dt\left(SCD\right)=\frac{1}{2}CD.SM=\frac{1}{2}.1.1=\frac{1}{2}\) Thay vào đẳng thức trên ta suy ra: \(r=\frac{1.\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+4.\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) Thể tích khối cầu nội tiếp khối cầu là: \(V_1=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^3\) Thể tích khối chóp là: \(V_2=\frac{1}{3}dt\left(ABCD\right).h=\frac{1}{3}.1.\frac{\sqrt{3}}{2}\) . Tỉ số \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^3}{\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\pi}{9}\)
Hình chóp đều S.ABCD cạnh đáy bằng 1, chiều cao bằng 1. Tính tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp và thể tích khối chóp đã cho. \(\frac{27}{2}\pi\) \(\frac{27}{4}\pi\) \(\frac{27}{8}\pi\) \(\frac{27}{16}\pi\) Hướng dẫn giải: Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp đều S.ABCD, kéo dài SI cắt mặt đáy tại G là tâm hình vuông ABCD, cắt mặt cầu tại điểm D. Khi đó tam giác CSD vuông tại C (vì góc chắn đường kính SD), CG là đường cao ứng với cạnh huyền. \(CG^2=GS.GD\) \(\Rightarrow GC=\frac{CG^2}{GS}=\frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}{1}=\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow SD-h=\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow SD=h+\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\) Mà SD = 2R (với R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD) => \(R=\frac{3}{2}:2=\frac{3}{4}\) Thể tích khối cầu là: \(V_1=\frac{4}{3}\pi.R^3=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{3}{4}\right)^3\) Thể tích khối chóp là: \(V_2=\frac{1}{3}dt\left(ABCD\right).h=\frac{1}{3}.1^2.1=\frac{1}{3}\) Tỉ số \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi\left(\frac{3}{4}\right)^3}{\frac{1}{3}}=\frac{27\pi}{16}\)
Hình nón có bán kính đáy 1, chiều cao bằng \(2\sqrt{2}\) . Tính tỉ số thể tích khối cầu nội tiếp hình nón và thể tích khối nón đó. \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{5}\) Hướng dẫn giải: Tâm I và bán kính r của hình cầu nội tiếp hình nón là tâm và bán kính của tam giác cân ABC với BC là đường kính đường tròn đáy hình nón, A là đỉnh hình nón. Tam giác ABC có \(BC=2,AC=AB=\sqrt{AH^2+HB^2}=\sqrt{\left(2\sqrt{2}\right)^2+1^2}=3\). Diện tích tam giác ABC tính theo 2 cách: \(dt\left(ABC\right)=\frac{1}{2}.BC.AH\) \(=dt\left(IBC\right)+dt\left(ICA\right)+dt\left(IAB\right)\) \(=\frac{1}{2}BC.r+\frac{1}{2}CA.r+\frac{1}{2}AB.r\) Suy ra: \(r=\frac{BC.AH}{BC+CA+AB}=\frac{2.2\sqrt{2}}{2+3+3}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) Vậy thể tích khối cầu nội tiếp hình nón là: \(V_1=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3\) Thể tích khối nón là: \(V_2=\frac{1}{3}\pi.1^2.\left(2\sqrt{2}\right)=\frac{2\sqrt{2}\pi}{3}\). Tỉ số \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3}{\frac{2\sqrt{2}\pi}{3}}=\frac{1}{2}\)
Hình nón có bán kính đáy 1, chiều cao bằng 1 . Tính tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón và thể tích khối nón đó. 2 3 4 5 Hướng dẫn giải: Gọi tâm hình cầu ngoại tiếp hình nón là I, kéo dài SI cắt mặt đáy tai H là tâm đường tròn đáy của hình nón, và cắt mặt cầu tại D. Tam giác BSD vuông tại B vì góc B chắn đường kính của đường tròn giao của mặt cầu và mặt phẳng (SBD). BH là đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác BSD. \(BH^2=HS.HD\) \(\Rightarrow HD=\frac{BH^2}{HS}=\frac{1^2}{1}=1\) \(\Rightarrow SD-HS=HD=1\) \(\Rightarrow SD=HS+HD=1+1=2\) Vậy đường kính hình cầu ngoại tiếp hình nón là 2, bán kính bằng 1. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón là: \(V_1=\frac{4}{3}\pi.\left(1\right)^3=\frac{4}{3}\pi\) Thể tích khối nón: \(V_2=\frac{1}{3}\pi.\left(1\right)^2.1=\frac{1}{3}\pi\) => \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi}{\frac{1}{3}\pi}=4\)
Hình nón có bán kính đáy 1, chiều cao bằng \(2\sqrt{2}\) . Tính tỉ số thể tích khối cầu nội tiếp hình nón và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón. \(\frac{1}{729}\) \(\frac{8}{729}\) \(\frac{27}{729}\) \(\frac{64}{729}\) Hướng dẫn giải: Khối cầu nội tiếp: gọi tâm I và bán kính r. Tam giác SDI đồng dạng với SHB: \(\Rightarrow\frac{ID}{BH}=\frac{SI}{SB}\) \(\Rightarrow\frac{r}{1}=\frac{2\sqrt{2}-r}{\sqrt{\left(2\sqrt{2}\right)^2+1^2}}\) \(\Rightarrow r=\frac{\sqrt{2}}{2}\) Thể tích khối cầu nội tiếp là: \(V_1=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3\). Khối cầu ngoại tiếp: Tam giác BSE vuông tại B vì góc B chắn đường kính SE, có BH là đường cao. \(BH^2=HS.HE\) \(\Rightarrow HE=\frac{BH^2}{HS}=\frac{1^2}{2\sqrt{2}}\) \(\Rightarrow SE-HS=HE=\frac{1}{2\sqrt{2}}\) \(\Rightarrow SE=HS+\frac{1}{2\sqrt{2}}=2\sqrt{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{9}{2\sqrt{2}}\) \(\Rightarrow R=\frac{9}{2\sqrt{2}}:2=\frac{9}{4\sqrt{2}}\) Thể tích khối cầu ngoại tiếp: \(V_2=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{9}{4\sqrt{2}}\right)^3\) \(\Rightarrow\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3}{\frac{4}{3}\pi\left(\frac{9}{4\sqrt{2}}\right)^3}=\left(\frac{4}{9}\right)^3\)
Xét các hình chóp tam giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước. Khi thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất, tính đường cao của nó theo R. \(\frac{4R}{3}\) \(\frac{2R}{3}\) \(\frac{R}{3}\) \(R\) Hướng dẫn giải: Gọi bán kính đáy hình nón là r, chiều cao x (r và x thay đổi). Mặt cầu có bán kính R (R không thay đổi). Ta vẽ đường kính mặt cầu đi qua tâm H của đáy hình nón. Tam giác BSC vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền. Vậy \(BH^2=SH.HC\) \(\Leftrightarrow r^2=x\left(2R-x\right)\) (vì HC = SC - SH). Thể tích khối nón là: \(V=\frac{1}{3}\pi.r^2.x\) \(=\frac{1}{3}\pi\left[x\left(2R-x\right)\right]x\) \(=\frac{\pi}{3}x^2\left(2R-x\right)=\frac{\pi}{3}\left(2Rx^2-x^3\right)\) Ta tìm x để V lớn nhất (với \(0< x< 2R\)). Ta xét \(V'=\frac{\pi}{3}\left(4Rx-3x^2\right)\) V' = 0 khi \(x=0\) hoặc \(x=\frac{4R}{3}\) Lập bảng biến thiên của V theo x: Vậy V lớn nhất khi \(x=\frac{4R}{3}\).
Xét các hình nón nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước. Khi thể tích khối nón đạt giá trị lớn nhất, tính bán kính đáy của nó theo R. \(\frac{2R\sqrt{2}}{3}\) \(\frac{R\sqrt{2}}{3}\) \(\frac{R\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{R\sqrt{3}}{3}\) Hướng dẫn giải: Gọi bán kính đáy hình nón là r, chiều cao x (r và x thay đổi). Mặt cầu có bán kính R (R không thay đổi). Ta vẽ đường kính mặt cầu đi qua tâm H của đáy hình nón. Tam giác BSC vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền. Vậy \(BH^2=SH.HC\) \(\Leftrightarrow r^2=x\left(2R-x\right)\) (vì HC = SC - SH). Thể tích khối nón là: \(V=\frac{1}{3}\pi.r^2.x\) \(=\frac{1}{3}\pi\left[x\left(2R-x\right)\right]x\) \(=\frac{\pi}{3}x^2\left(2R-x\right)=\frac{\pi}{3}\left(2Rx^2-x^3\right)\) Ta tìm x để V lớn nhất (với \(0< x< 2R\)). Ta xét \(V'=\frac{\pi}{3}\left(4Rx-3x^2\right)\) V' = 0 khi \(x=0\) hoặc \(x=\frac{4R}{3}\) Lập bảng biến thiên của V theo x: Vậy V lớn nhất khi \(x=\frac{4R}{3}\), khi đó bán kính r tính theo công thức: \(r^2=x\left(2R-x\right)=\frac{4R}{3}\left(2R-\frac{4R}{3}\right)=\frac{8R^2}{9}\) \(\Rightarrow x=\frac{R.2\sqrt{2}}{3}\)
Đặt 3 viên bi dạng hình cầu có cùng kích thước vào một cái hộp hình trụ sao cho viên bi thứ nhất tiếp xúc với một đáy, viên bi thứ ba tiếp xúc với đáy còn lại của hình trụ. Cho biết đáy hình trụ bằng hình tròn lớn viên bi. Gọi \(V_1\) là thể tích khối trụ, \(V_2\) là tổng thể tích của ba viên bi. Tính tỉ số \(\frac{V_1}{V_2}\). \(\frac{3}{2}\) \(\frac{4}{3}\) \(\frac{5}{4}\) \(\frac{6}{5}\) Hướng dẫn giải: Gọi bán kính mặt cầu là R thì bán kính đáy hình trụ cũng là R và chiều cao hình trụ là 6R. \(V_1=\pi.R^2.\left(6R\right)=6\pi R^3\) \(V_2=3.\left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)=4\pi R^3\) \(\Rightarrow\frac{V_1}{V_2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)
Cho một hình trụ có bán kính đáy 1, chiều cao 2. Một mặt cầu tiếp xúc với hai đáy hình trụ. Kí hiệu \(S_1,S_2\) lần lượt là diện tích xung quanh hình trụ, diện tích mặt cầu. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng? \(S_1=S_2\) \(S_2=\frac{2}{3}S_1\) \(S_2=\frac{3}{4}S_1\) \(S_2=\frac{4}{5}S_1\) Hướng dẫn giải: Hình trụ có chiều cao là 2 và mặt cầu tiếp xúc với hai đáy hình trụ nên mặt cầu có bán kính là 1. \(S_1==2\pi r^2h=2\pi.1^2.2=4\pi\) \(S_2=4.\pi.1^2=4\pi\) Suy ra \(S_1=S_2\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau. Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng song song. Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau. Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Hướng dẫn giải: Chú ý: mặt cầu đi qua một đường tròn khi tâm mặt cầu nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đường tròn và đi qua tâm đường tròn (xem hình vẽ). Đường thẳng này gọi là trục của đường tròn. Phát biểu: - "Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau." sai vì có thể hai trục của hai đường tròn không cắt nhau - "Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng song song." sai vì hai trục của hai đường tròn song song hoặc trùng nhau. Nếu song song thì không tìm được mặt cầu đi qua hai đường tròn. - "Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau." sai vì nếu hai đường tròn cùng nằm trên mặt phẳng thì hai trục của nó song song với nhau. - "Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt và không cùng nằm trong một mặt phẳng." đúng vì hai trục của hai đường tròn đồng phẳng và cắt nhau.
