Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. SAB là tam giác đều có trọng tâm G và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. I trùng với điểm O. I trùng với điểm G. I là điểm sao cho \(\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{AD}.\) I là giao điểm của đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại O và đường thẳng vuông góc với (SAB) tại G.
Một khối cầu có thể tích bằng \(288\pi\). Tính bán kính của khối cầu đó. 3 6 \(2\sqrt[3]{9}\) \(3\sqrt[3]{2}\)
Cho hình lập phương cạnh a nội tiếp trong một mặt cầu. Tính bán kính đường tròn lớn của mặt cầu đó. \(a\sqrt{2}\) \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) \(a\sqrt{3}\) Hướng dẫn giải: Đường kính mặt cầu bằng độ dài đường chéo của hình lập phương và bằng: \(a\sqrt{3}\) Vậy bán kính mặt cầu là \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên AA' = \(2\sqrt{6},B'C'=3\), diện tích mặt đáy bằng 12. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp trên. \(\dfrac{343\pi}{6}\) \(\dfrac{343\pi}{2}\) \(\dfrac{343\pi}{8}\) \(\dfrac{343\pi}{24}\) Hướng dẫn giải: Do diện tích mặt đáy bằng 12 nên \(D'C'=12:3=4\) Vậy thì \(AC'=\sqrt{A'D'^2+D'C'^2+AA'^2}=7\) Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp là 3,5. Thể tích mặt cầu bằng \(\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{7}{2}\right)^3=\dfrac{343\pi}{6}\)
Cho khối cầu (S) tâm O, bán kính R và A là điểm thuộc mặt cầu (S). Mặt phẳng (P) đi qua A và cắt (S) theo một hình tròn và tạo với OA một góc 60o. Tính diện tích hình tròn đó. \(\dfrac{\pi R^2}{4}\) \(\dfrac{3\pi R^2}{4}\) \(\dfrac{\pi R^2}{2}\) \(\dfrac{3\pi R^2}{2}\) Hướng dẫn giải: Gọi H là tâm đường tròn. Theo giả thiết \(\widehat{OAH}=60^o;OA=R\) Vậy thì \(AH=OA.cos60^o=\dfrac{R}{2}\) Diện tích hình tròn là: \(\pi\left(\dfrac{R}{2}\right)^2=\dfrac{\pi R^2}{4}\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(a\sqrt{3}\), cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA=a\sqrt{2}\). Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. \(16\pi a^2\) \(\dfrac{3\pi a^2}{2}\) \(12\pi a^2\) \(6\pi a^2\) Hướng dẫn giải: Gọi M , N lần lượt là trung điểm BC, SA, G là trọng tâm tam giác ABC. Trong (SAM) , kẻ tia Gx // SA; tia Ny // AM và Gx giao Ny tại O. Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khói chóp S.ABC. Do tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt{3}\) nên \(AG=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=a\) \(GO=AN=\dfrac{SA}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) Vậy thì \(OA=\sqrt{AG^2+GO^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\) Diện tích mặt cầu là: \(4\pi\left(\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\right)^2=6\pi a^2\)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có \(AB=a\sqrt{3}\), cạnh bên \(SA=a\sqrt{2}\). Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. \(R=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}\) \(R=a\) \(R=2a\) \(R=\dfrac{2a\sqrt{15}}{5}\) Hướng dẫn giải: Gọi H là tâm tam giác đều ABC. Trên SH, lấy điểm O sao cho OS = OA. Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC. Tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt{3}\) nên AH = a. Vậy \(SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=a\) Gọi độ dài OS = x, ta có : OH = a - x. Do OS = OA nên \(x=\sqrt{\left(a-x\right)^2+a^2}\Rightarrow x=a\) Vậy R = a.
Tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Cho SA = a, SB = 2a, SC = 3a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. \(8\pi a^2\) \(28\pi a^2\) \(\dfrac{7\pi a^2}{2}\) \(14\pi a^2\) Hướng dẫn giải: Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, AS. Trong (ASM), kẻ Mx // AS; Ny // SM; Mx giao Ny tại O. Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC. Theo Pi-ta-go: \(BC=\sqrt{SB^2+SC^2}=a\sqrt{13}\Rightarrow BM=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}\) Vậy thì \(SM=BM=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}\) OM = NS = \(\dfrac{SA}{2}=\dfrac{a}{2}\) Vậy \(OS=\sqrt{SM^2+OM^2}=\dfrac{a\sqrt{14}}{2}\) Vậy diện tích mặt cầu bằng: \(14\pi a^2.\)
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = 2; AB = 3; BC = 4. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó. \(\dfrac{29\pi\sqrt{29}}{24}\) \(\dfrac{29\pi\sqrt{29}}{6}\) \(\dfrac{29\pi\sqrt{29}}{2}\) \(\dfrac{29\pi\sqrt{29}}{3}\) Hướng dẫn giải: Gọi M, N , O lần lượt là trung điểm AC, SA, SC. Khi đó ta thấy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. Theo định lý Pi-ta-go : \(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5\) \(\Rightarrow SC=\sqrt{AC^2+AS^2}=\sqrt{5^2+2^2}=a\sqrt{29}\) Vậy \(OS=OA=\dfrac{a\sqrt{29}}{2}\) Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC bằng: \(\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{a\sqrt{29}}{2}\right)^3=\dfrac{29\pi\sqrt{29}}{6}\)
Cho hình chóp S.ABC có \(SA\perp\left(ABC\right)\), tam giác ABC vuông cân tại C, \(AC=2\sqrt{2}\) và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60o. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hính chóp. \(\dfrac{112\pi}{3}\) \(\dfrac{224\pi}{3}\) \(160\pi\) \(40\pi\) Hướng dẫn giải: Gọi M, O lần lượt là trung điểm AB, SB. Do \(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\), lại có \(AC\perp BC\) nên \(BC\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BC\perp SC\Rightarrow\widehat{SCA}=60^o\) Khi đó ta thấy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SABC vì OS = OA = OB (tam giác SAB vuông) và OS = OB = OC (tam giác SBC vuông). Theo định lý Pi-ta-go ta có \(AB=4\) Xét tam giác vuông SAC, AC = \(2\sqrt{2};\widehat{SCA}=60^o\Rightarrow SA=2\sqrt{6}\) Xét tam giác vuông SAB, theo Pi-ta-go ta có: \(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=2\sqrt{10}\) Vậy \(OS=OA=OB=OC=\sqrt{10}\) Diện tích mặt cầu là: \(4\pi\left(\sqrt{10}\right)^2=40\pi\)
