Cho hình vẽ. Gọi k là tỉ số thể tích của khối trụ so với thể tích khối lập phương ABCDA'B'C'D'. Giá trị của k là: \(k\approx1,578\) \(k\approx1,587\) \(k\approx1,758\) \(k\approx1,785\) Hướng dẫn giải: Gọi cạnh của khối lập phương là a thì đường kính đáy khối trụ là \(a\sqrt{2}\). Vậy bán kính khối trụ là \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\) Ta có: \(\frac{V_{trụ}}{V_{hlp}}=\frac{\pi\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2.a}{a^3}=\frac{\pi}{2}\approx1,578.\)
Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4, diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu có bán kính 1. Tính thể tích khối trụ đó. 4 6 8 10 Hướng dẫn giải: Diện tích đáy hình trụ là: \(4\pi\) , suy ra bán kính đáy là 2. Do diện tích xung quanh là 4 nên chiều cao dài: \(\frac{1}{\pi}\). Vậy thể tích khối trụ là : \(4\pi.\frac{1}{\pi}=4\)
Cho tứ diện đều ABCD cạnh 1. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện. \(\frac{2\pi\sqrt{2}}{3}\) \(\frac{\pi\sqrt{2}}{3}\) \(\pi\sqrt{3}\) \(\frac{\pi\sqrt{3}}{2}\) Hướng dẫn giải: Tứ diện đều cạnh bằng 1 có chiều cao là \(\frac{\sqrt{6}}{3}\) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD là \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: \(2\pi.\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2\pi\sqrt{2}}{3}\)
Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là hình vuông. Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ. \(2R^3\) \(3R^3\) \(4R^3\) \(5R^3\) Hướng dẫn giải: Đáy lăng trụ là hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính R nên có cạnh bằng \(\sqrt{2}R\) Vậy thể tích khối lăng trụ tứ giác bằng: \(\left(\sqrt{2}R\right)^2.2R=4R^3\)
Cho hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên của hình hộp bằng 2a. Xét khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp một mặt đáy của hình hộp và đỉnh là tâm của đáy còn lại của hình hộp. Tính thể tích khối nón. \(\frac{\pi a^3}{3}\) \(\frac{\pi a^3}{2}\) \(\pi a^3\) \(2\pi a^3\) Hướng dẫn giải: Đáy của khối nón là đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a nên có bán kính là: \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) Chiều cao khối nón bằng cạnh bên của hình hộp và bằng 2a. Vậy thể tích khối nón là: \(V_{nón}=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2.2a=\frac{\pi a^3}{3}\)
Một hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh 1, cạnh bên bằng 2. Xét hình nón có đáy là đường tròn nội tiếp một đáy của hình hộp và đỉnh là tâm của mặt đáy còn lại của hình hộp. Tính diện tích xung quanh của hình nón. \(\frac{\pi\sqrt{17}}{2}\) \(\frac{\pi\sqrt{17}}{4}\) \(\frac{3\pi}{2}\) \(3\pi\) Hướng dẫn giải: Tách phẳng qua trục hình nón: Hình nón có đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh 1 nên có bán kính là 1. Độ dài đường sinh của hình nón bằng : \(\sqrt{2^2+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}\) Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: \(\pi.\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{17}}{2}=\frac{\pi\sqrt{17}}{4}\)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính diện tích xung quanh của hình tròn xoay sinh bởi đường gấp khúc AC'A khi quanh quanh AA'. \(\pi\sqrt{6}\) \(\pi\sqrt{3}\) \(\pi\sqrt{2}\) \(\pi\sqrt{5}\) Hướng dẫn giải: Hình tròn xoay được tạo thành là một hình nón có bán kính đáy bằng A'C' = \(\sqrt{2}\), đường sinh bằng AC' = \(\sqrt{3}\) Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: \(\pi.\sqrt{2}.\sqrt{3}=\pi\sqrt{6}\)
Một bóng đèn huỳnh quang dài 120 cm, đường kính của đường tròn đáy là 2cm được đặt khít và một ống giấy cứng dạng hình hộp chữ nhật. Tính diện tích phần giấy cứng dùng để làm hộp (Hộp hở hai đầu và không tính lề mép). 96 $cm^2$ 960 $cm^2$ 9 600 $cm^2$ 96 000 $cm^2$ Hướng dẫn giải: Ta thấy diện tích phần giấy cứng cần dùng bằng diện tích xung quanh của hình hộp. Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh 2cm, chiều cao là 120 cm nên diện tích xung quanh là: 4.2.120 = 960 ($cm^2$)
Một tấm kim loại dạng hình hộp chữ nhật dày a cm, đáy là hình vuông cạnh b cm. Người ta khoan thủng tấm kim loại đó bởi 4 lỗ khoan dạng hình trụ mà tâm của 4 lỗ khoan trên một mặt đáy tạo thành hình vuông. Cho biết đường kính lỗ khoan c (mm). Tính tỉ số thể tích \(\frac{V}{V_1}\) (V là thể tích tấm kim loại, V1 là thể tích 4 lỗ khoan). \(\frac{b^2}{\pi c^2}.100\) \(\frac{b^2}{\pi c^2}.1000\) \(\frac{c^2}{\pi b^2}.100\) \(\frac{c^2}{\pi b^2}.1000\) Hướng dẫn giải: Thể tích tấm kim loại là: \(V=b^2a\) Thể tích 4 lỗ khoan là: \(V_1=4.\pi\left(\frac{c}{2}.0,1\right)^2.a=\pi c^2a.0,01\) Vậy thì \(\frac{V}{V_1}=\frac{b^2a}{\pi c^2a.0,01}=\frac{b^2}{\pi c^2}.100\)
Một khối lập phương cạnh 1m chứa đầy nước. Đặt vào trong khối đó một khối nón có đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng nước của khối lập phương. \(\frac{\pi}{12}\) \(\frac{12}{\pi}\) \(\frac{4}{\pi}\) \(\frac{3}{\pi}\) Hướng dẫn giải: Tách phẳng qua trục của khối nón: Thể tích hình lập phương là 1 ($m^3$) Bán kính đáy khối nón là \(\frac{1}{2}m\); chiều cao là 1m. Vậy thể tích khối nón là: \(\frac{1}{3}.\pi.\left(\frac{1}{2}\right)^2.1=\frac{\pi}{12}\left(m^3\right)\) Thể tích nước tràn ra ngoài bằng chính thể tích khối nón. Vậy tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng nước của khối lập phương là: \(\frac{\pi}{12}:1=\frac{\pi}{12}\)
