Một khối gỗ hình trụ bán kính đáy r = 1, chiều cao bằng 2. Người ta khoét rỗng khối gỗ bở hai nửa hình cầu mà đường tròn đáy của khối gỗ là đường tròn lớn của mỗi nửa hình cầu. Tính tỉ số thể tích phần còn lại của khối gỗ và cả khối gỗ. \(\frac{1}{3}\) \(\frac{2}{3}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\) Hướng dẫn giải: Thể tích phần gỗ bị khoét đi bằng thể tích hình cầu bán kính 1 và bằng: \(\frac{4}{3}\pi\) Thể tích cả khối gỗ bằng: \(2\pi\) Vậy thể tích phần còn lại là: \(2\pi-\frac{4}{3}\pi=\frac{2}{3}\pi\) Vậy tỉ số thể tích phần còn lại của khối gỗ và cả khối gỗ bằng \(\frac{1}{3}\)
Cho điểm A cố định thuộc mặt cầu (S). Ba đường thẳng thay đổi đi qua A, đôi một vuông góc và cắt (S) tại các điểm B, C, D khác A. Xét hình hộp đứng trên ba cạnh AB, AC, AD. Trong các mệnh đề sau đây, tìm mệnh đề đúng. Hình hộp đó có một đường chéo cố định. Hình hộp đó có hai đường chéo cố định. Hình hộp đó có ba đường chéo cố định. Hình hộp đó không có một đường chéo nào cố định. Hướng dẫn giải: Hình hộp đó chỉ có một đường chéo cố định là đường chéo qua A và tâm mặt cầu (S).
Cho hai đường thẳng song song a và b. Gọi (P) và (Q) là các mặt phẳng thay đổi lần lượt qua a và b, \(\left(P\right)\perp\left(Q\right).\) Kí hiệu giao tuyến của (P) và (Q) là c. Trong các mệnh đề sau, mênh đề nào đúng. c thuộc một mặt phẳng cố định. c thuộc một mặt trụ cố định. c thuộc một mặt non cố định. Cả ba mệnh đề đều sai. Hướng dẫn giải: Lấy \(M\in a;N\in b\) sao cho \(MN\perp a;MN\perp b.\) Do \(\left(P\right)\perp\left(Q\right)\) nên kẻ \(NH\perp\left(P\right)\) Ta dễ dàng suy ta \(\left(MNH\right)\perp\left(Q\right);\left(MNH\right)\perp\left(P\right)\) Vậy thì \(\widehat{MHN}=90^o\Rightarrow\) H thuộc đường tròn đường kính MN. Vậy đường thẳng c sẽ luôn thuộc hình trụ cố định, đường kính là khoảng cách a,b; đường cao song song a, b.
Cho hai điểm A, B cố định và phân biệt. Điểm M thay đổi trong không gian sao cho \(\widehat{MAB}=30^o.\) Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng. M thuộc một mặt trụ cố định. M thuộc một mặt cầu cố định. M thuộc một mặt nón cố định. M thuộc một mặt phẳng cố định. Hướng dẫn giải: M thuộc thuộc mặt nón có trục là đường thẳng qua điểm A, B; góc ở đỉnh là $60^o$.
Một hình nón có bán kính đáy là r = 1, chiều cao \(\frac{4}{3}.\) Kí hiệu góc ở đỉnh của hình nón là \(2\alpha.\) Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng. \(sin\alpha=\dfrac{4}{5}\) \(cos\alpha=\dfrac{4}{5}\) \(tan\alpha=\frac{3}{5}\) \(cot\alpha=\frac{3}{5}\) Hướng dẫn giải: \(tan\alpha=\dfrac{3}{4}\Rightarrow cos\alpha=\dfrac{4}{5}\)
Xét các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R. Trong các meennhj đề sau, tìm mệnh đề đúng : Tổng độ dài các cạnh của hình hộp lớn nhất: Khi hình hộp có đáy là hình vuông. Khi hình hộp là hình lập phương. Khi hình hộp có các kích thước tạo thành cấp số cộng có công sai khác 0. Khi hình hộp có các kích thước tạo thành cấp số nhân có công bội khác 0.
Một hình trụ có bán kính đáy là 1, đường cao OO' = \(\sqrt{3}\) . Một đoạn thẳng AB thay đổi về vị trí sao cho khoảng cách giữa AB và OO' không đổi, ở đó A, B thuộc hai đường tròn đáy của hình trụ. Tìm tập hợp trung điểm I của AB. Một mặt trụ. Một đường tròn. Một mặt cầu. Một mặt phẳng.
Một cái xô inox có dạng như hình vẽ. Các kích thước (tính cùng đơn vị dài) cũng được cho kèm theo. Tính diện tích xung quanh cái xô. \(36.40.\pi\) \(27.40.\pi\) \(21^2.3.\pi\) \(9^2.6.\pi\) Hướng dẫn giải: Diện tích xung quanh cái xô (mặt nón cụt) bằng diện tích xung quanh mặt nón lớn có bán kính đáy 21 trù đi diện tích xung quang mặt nón nhỏ có bán kính đáy 9. (xem hình vẽ dưới) Gọi đường sinh của hình nón nhỏ \(l\), dựa vào tam giác đồng dạng ta có: \(\frac{9}{21}=\frac{l}{l+36}\) \(\Rightarrow l=27\) Suy ra diện tích xung quanh của xô là: \(S_{xq}=\pi.21.\left(l+36\right)-\pi.9.l=\pi\left[12.l+21.36\right]\) \(=\pi\left[12.27+21.36\right]=\pi\left[12.27+3.7.4.9\right]=\pi.27\left[12+28\right]=27.40.\pi\)
Tính diện tích vải cần có để may một cái mũ có dạng và kích thước bên dưới (không kể rèm, mép). \(350\pi\) \(400\pi\) \(450\pi\) \(500\pi\) Hướng dẫn giải: Bán kính đường tròn vành ngoài mũ là 30:2 =15. Bán kính vành trong của mũ: 15 - 10 = 5 Diện tích vải = diện tích vành mũ + diện tích xung quanh mặt nón mũ Diện tích vải \(=\left[\pi.15^2-\pi.5^2\right]+\pi.5.30\) \(=350\pi\)
Một hình chữ nhật ABCD với AB > AD có diện tích 2, chu vi 6. Cho hình đó quay quanh AB, AD được khối tròn xoay có thể tích tương ứng \(V_1,V_2\). Tính tỉ số \(\frac{V_1}{V_2}\). \(2\) \(3\) \(1\) \(\frac{1}{2}\) Hướng dẫn giải: Chu vi bằng 6 nên nửa chu vi bằng 3, diện tích bằng 2 nên hình chữ nhật có 2 cạnh là AB=2, AD=1. Quay hình chữ nhật quanh trục AB ta được khối trụ có bán kính đáy 1 và chiều cao 2. Vậy thể tích là: \(V_1=B.h=\pi.1^2.2\). Khi quay hình chữ nhật quanh trục AD ta được khối trụ có bán kính đáy 2 và chiều cao 1. Thể tích là \(V_2=\pi.2^2.1\). Tỉ số \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{\pi.1^2.2}{\pi.2^2.1}=\frac{1}{2}\)
