Cho hình ABCD có CD = 2 AB, AB = a, Bc = h quay quanh BC. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành. ABCDa2a \(4\pi a^2h\) \(2\pi a^2\) \(\frac{\pi a^2h}{2}\) \(\pi a^2h\) Hướng dẫn giải: ABCDa2ah1h2 Vì CD = 2 AB nên \(h_2=2h_1\) mà \(h_2+h_1=h\) nên \(h_1=\frac{h}{3};h_2=\frac{2h}{3}\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể tích của hai khối nón tròn xuay. \(V=\frac{1}{3}\pi.a^2.\frac{h}{3}+\frac{1}{3}\pi\left(2a\right)^2\frac{2h}{3}\) \(=\pi a^2h\)
Cho hình thang ABCD vuông tại A, B. O là điểm thuộc AB mà OB = 2 OA, OA = 1, \(\widehat{COB}=60^0\) và tam giác COD vuông tại O. Kí hiệu \(V_1,V_2\) là thể tích các khối tròn xoay do tam giác OBC, OAD quay quanh đường thẳng AB. Tìm câu đúng. \(V_1=72V_2\) \(V_2=72V_1\) \(V_1=36V_2\) \(V_2=36V_1\) Hướng dẫn giải: \(BC=OA.\tan60^0=2\sqrt{3}\) \(AD=OA.\tan30^0=\frac{1}{\sqrt{3}}\) Thể tích khối nón OBC là: \(V_1=\frac{1}{3}\pi BC^2.OB=\frac{1}{3}\pi\left(2\sqrt{3}\right)^2.2=8\pi\) Thể tích khối nón OAD là: \(V_2=\frac{1}{3}\pi.AD^2.OA=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2.1=\frac{\pi}{9}\) Suy ra \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{8\pi}{\frac{\pi}{9}}=72\)
Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón, các kích thước cho trên hình vẽ (đơn vị đo là dm). Tính thể tích của khối dụng cụ đó. \(490\pi\) \(4900\pi\) \(49000\pi\) \(490000\pi\) Hướng dẫn giải: Bán kính của đáy trụ là: 14: 2 = 7. Chiều cao của hình nón là: 16 - 7 = 9. Thể tích của dụng cụ bằng thể tích khối nón cộng với thể tích khối trụ, và bằng: \(V=\frac{1}{3}.\pi.7^2.9+\pi.7^2.7=490\pi\)
Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt, bán kính kình quạt là \(l\), số đo cung là \(120^0\). Gọi \(2\alpha\) là góc ở đỉnh của hình nón. Tính \(\tan\alpha\). \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\sqrt{2}\) \(2\sqrt{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{4}\) Hướng dẫn giải: Độ dài cung của hình quạt là: \(2\pi l.\frac{120}{360}=\frac{2\pi l}{3}\). Độ dài cung này cũng chính là chu vi đáy của mặt nón. Vậy nếu gọi bán kính đáy mặt nón là \(r\) thì ta có: \(2\pi r=\frac{2\pi l}{3}\) Suy ra \(r=\frac{l}{3}\). Ta có \(SO=\sqrt{SA^2-oA^2}=\sqrt{l^2-\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{l.2\sqrt{2}}{3}\) \(\tan\alpha=\frac{OA}{SO}=\frac{\frac{l}{3}}{\frac{l.2\sqrt{2}}{3}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\)
Tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 1, \(\widehat{BAC}=120^0\). Cho miền tam giác đó lần lượt quay quanh AB, BC. Kí hiệu \(V_1,V_2\) là thể tích các khối tạo thành. Tính tỉ số \(\frac{V_1}{V_2}\). \(\sqrt{3}\) \(2\sqrt{3}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) Hướng dẫn giải: Khi quay tam giác quanh truch AB ta được hình nón lõm (Hình nón có đỉnh B, đường tròn đáy bán kính HC nhưng bị khoét bởi hình nón đỉnh A có chung đáy. Thể tích hình nón lõm là: \(V_1=\frac{1}{3}\pi.CH^2.BH-\frac{1}{3}\pi.CH^2.AH=\frac{1}{3}\pi.CH^2\left(BH-AH\right)\) \(=\frac{1}{3}\pi.CH^2.AB\) \(=\frac{1}{3}\pi\left(AC.\sin60^0\right)^2.AB=\frac{1}{3}\pi\left(1.\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2.1=\frac{1}{4}\pi\) Khi quay tam giác ABC quanh BC ta được khối tròn xoay gồm 2 hình nón úp đáy vào nhau: nón đỉnh B có đáy là đường tròn bán kính AK và nón đỉnh C cũng có chung đáy bán kính AK (với AK là đường cao tam giác ABC hạ từ A.) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ABC quanh BC là: \(V_2=\frac{1}{3}\pi.AK^2.BK+\frac{1}{3}\pi.AK^2.CK=\frac{1}{3}\pi.AK^2\left(BK+CK\right)\) \(=\frac{1}{3}\pi.AK^2.BC\) \(=\frac{1}{3}\pi\left(AB.\cos60^0\right)^2.\left(2.AB.\sin60^0\right)\) \(=\frac{1}{3}\pi\left(1.\frac{1}{2}\right)^2\left(2.1.\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{12}\pi\) Vậy: \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{1}{4}\pi}{\frac{\sqrt{3}}{12}\pi}=\sqrt{3}\)
Tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 1, \(\widehat{BAC}=\alpha\). Cho miền tam giác đó quay quanh AB, BC. Kí hiệu \(V_1,V_2\) là thể tích các khối tạo thành. Tính tỉ số \(\frac{V_1}{V_2}\). \(\sin\frac{\alpha}{2}\) \(2\sin\frac{\alpha}{2}\) \(3\sin\frac{\alpha}{2}\) \(4\sin\frac{\alpha}{2}\) Hướng dẫn giải: Ta có nhận xét: Khi quay tam giác ABC quanh canh AB thì dù tam giác nhọn hay tù thì ta luôn có: Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: \(V_1=\frac{1}{3}\pi.CH^2.AB\). Thật vậy, xét hai trường hợp đại diện như sau: TH (1): Tam giác tù: \(V_1=\frac{1}{3}\pi.CH^2.BH-\frac{1}{3}\pi.CH^2.AH=\frac{1}{3}\pi.CH^2\left(BH-AH\right)\) \(=\frac{1}{3}\pi.CH^2.AB\) TH (2): Tam giác nhọn: \(V_1=\frac{1}{3}\pi.CH^2.BH+\frac{1}{3}\pi.CH^2.AH=\frac{1}{3}\pi.CH^2\left(BH+AH\right)\) \(=\frac{1}{3}\pi.CH^2.AB\) Trong cả hai trường hợp, ta đều có: \(V_1=\frac{1}{3}CH^2.AB=\frac{1}{3}\pi.AC^2.\sin^2\widehat{CAB}.AB\) \(=\frac{1}{3}\pi.1^2.\sin^2\alpha.1=\frac{1}{3}\pi\sin^2\alpha\) Tương tự: khi quay tam giác quanh BC ta có: (với AK là đường cao hạ từ A của tam giác ABC) \(V_2=\frac{1}{3}\pi.AK^2.BC=\frac{1}{3}\pi.\left(AB.\cos\frac{\alpha}{2}\right)^2\left(2.AB.\sin\frac{\alpha}{2}\right)\) \(=\frac{1}{3}\pi.\left(1.\cos\frac{\alpha}{2}\right)^2\left(2.1.\sin\frac{\alpha}{2}\right)\) \(=\frac{2}{3}\pi.\cos^2\frac{\alpha}{2}.\sin\frac{\alpha}{2}\) Suy ra: \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{1}{3}\pi.\sin^2\alpha}{\frac{2}{3}\pi.\cos^2\frac{\alpha}{2}.\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin^2\alpha}{2.\cos^2\frac{\alpha}{2}.\sin\frac{\alpha}{2}}\) \(=\frac{4.\sin^2\frac{\alpha}{2}.\cos^2\frac{\alpha}{2}}{2.\cos^2\frac{\alpha}{2}.\sin\frac{\alpha}{2}}=2\sin\frac{\alpha}{2}\)
Cho hình nón đỉnh S, tâm đáy là O, góc ở đỉnh $120^o$. Trên đường tròn đáy, lấy một điểm A cố định và điểm M di động. Tìm số vị trí của M để diện tích SAM đạt giá trị lớn nhất. 1 2 3 Vô số Hướng dẫn giải: Gọi đường sinh của hình nón là \(l\), khi đó diện tích tam giác SAM là: \(dt\left(SAM\right)=\frac{1}{2}SA.SM.\sin\widehat{ASM}=\frac{l^2}{2}.\sin\widehat{ASM}\) Diện tích này lớn nhất khi \(\sin\widehat{ASM}\) lớn nhất, hay là góc \(\widehat{ASM}=90^0\). Hay là \(AM=\sqrt{AS^2+MS^2}=l.\sqrt{2}\). Vì \(l\sqrt{2}\) nhỏ hơn đường kính của hình tròn đáy nên có 2 cung đi qua A có độ dài \(l\sqrt{2}\).
Cho khối nón có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng \(15\pi\). Tính thể tích V của khối nón đó? \(V=12\pi\) \(V=20\pi\) \(V=36\pi\) \(V=60\pi\) Hướng dẫn giải: \(S_{xq}=\pi Rl=\pi.3.l=15\pi\) \(\Rightarrow l=5\) Chiêu cao \(h=\sqrt{l^2-R^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\) Thể tích khối nón: \(V=\frac{1}{3}\pi R^2h=\frac{1}{3}\pi.3^2.4=12\pi\)
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ các đường chéo AC, BD của hình chữ nhật. Khi quay quanh các cạnh và các đường chéo của hình chữ nhật ABCD xung quanh trục AB, hỏi có bao nhiêu hình nón được tạo thành? Một hình nón. Hai hình nón. Ba hình nón. Không có hình nón nào.
Cho một hình nón và một dây cung AB thay đổi của đường tròn đáy, dây cung có chiều dài không đổi. Khi dây cung di động thì trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh của hình nón và trung điểm của AB chạy trên đường (mặt) nào? Mặt nón Mặt phẳng Đoạn thẳng Đường tròn Hướng dẫn giải: Tập hợp các điểm là đường tròn có tâm là trung điểm của trục hình nón, bán kính bằng một nửa bán kính đường tròn đáy của hình nón.
