Cho hình lập phương cạnh b. Một khối nón có đỉnh là tâm của đáy trên và có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp đáy dưới của hình lập phương. Tính thể tích của khối nón đó. \(\dfrac{\pi b^3}{2}\) \(\dfrac{\pi b^3}{6}\) \(\dfrac{\pi b^3}{12}\) \(\dfrac{\pi b^3}{4}\) Hướng dẫn giải: Bán kính đường tròn đáy là \(\dfrac{b}{2}\) Thể tích của khối nón là: \(\dfrac{1}{3}\left(\pi\left(\dfrac{b}{2}\right)^2\right).b=\dfrac{\pi b^3}{12}\)
Một hình nón có đường sinh bằng \(a\sqrt{2}\) và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đấy bằng 60o. Tính thể tích của khối nón được tạo nên từ hình nón đó. \(\dfrac{\pi a^3\sqrt{6}}{6}\) \(\dfrac{\pi a^3\sqrt{6}}{4}\) \(\dfrac{\pi a^3\sqrt{6}}{12}\) \(\dfrac{\pi a^3\sqrt{6}}{3}\) Hướng dẫn giải: Chiều cao của khối nón là \(a\sqrt{2}.sin60^o=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\) Bán kính đường tròn đáy là : \(a\sqrt{2}.cos60^o=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) Thể tích khối nón là : \(\dfrac{1}{3}\left[\pi\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2\right].\dfrac{a\sqrt{6}}{2}=\dfrac{\pi a^3\sqrt{6}}{12}\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC có tam giác vuông tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên đáy là trung điểm O của cạnh BC. Biết rằng \(AB=a,AC=a\sqrt{3}\), đường thẳng SA hợp với đáy một góc 60o. Một hình nón có đỉnh là S, đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính thể tích khối nón. \(\pi a^3\sqrt{3}\) \(\pi a^3\) \(\dfrac{\pi a^3\sqrt{3}}{3}\) \(\dfrac{\pi a^3\sqrt{3}}{9}\) Hướng dẫn giải: Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có \(BC=2a\) Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng a. Xét tam giác vuông SAO có OA = a; \(\widehat{SAO}=60^o\Rightarrow SO=a\sqrt{3}\) Thể tích hình nón là : \(\dfrac{1}{3}\left(\pi a^2\right).a\sqrt{3}=\dfrac{\pi a^3\sqrt{3}}{3}\)
Cho khối trụ có bán kính mặt đáy là 2 cm, chiều cao bằng 3 cm. Tính thể tích khối trụ (theo $cm^3$). \(6\pi\) \(12\pi\) \(18\pi\) \(4\pi\)
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a. Tính thể tích khối trụ. \(\dfrac{\pi a^3}{4}\) \(\dfrac{\pi a^3}{2}\) \(\dfrac{\pi a^3}{3}\) \(\pi a^3\) Hướng dẫn giải: Bán kính đáy là \(\dfrac{a}{2}\) Thể tích khối trụ là \(\pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^2.a=\dfrac{\pi a^3}{4}\)
Một hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy. Hình nón có đỉnh là tâm đáy trên của hình trụ và đáy là hình tròn đáy dưới của hình trụ. Gọi \(V_1\) là thể tích hình trụ, \(V_2\) là thể tích hình nón. Tính tỉ số \(\dfrac{V_1}{V_2}\) \(\dfrac{V_1}{V_2}=3\) \(\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{V_1}{V_2}=2\sqrt{2}\) \(\dfrac{V_1}{V_2}=2\) Hướng dẫn giải: Ta thấy ngay \(\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\pi r^2h}{\dfrac{1}{3}\pi r^2h}=3\)
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2, AD = 1. Gọi \(V_1,V_2\) lần lượt là thể tích của các khối trụ nhận được khi quay quanh các cạnh của hình chữ nhật ABCD xung quanh trục AB và xung quanh trục AD. Hệ thức nào sau đây là hệ thức đúng? \(V_2=4V_1\) \(V_2=\dfrac{V_1}{2}\) \(V_2=2V_1\) \(V_2=V_1\) Hướng dẫn giải: Ta có \(\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\pi.1^2.2}{\pi.2^2.1}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow V_2=2V_1\)
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; R) và (O'; R). Có một dây cung AB của đường tròn (O; R) sao cho tam giác O'AB là tam giác đều và mặt phẳng (O'AB) tạo với mặt phẳng chứa đường tròn (O; R) một góc 60o. Tính thể tích khối trụ. \(\dfrac{\pi R^3}{7}\) \(\dfrac{3\pi R^3}{7}\) \(\dfrac{\pi R^3\sqrt{7}}{7}\) \(\dfrac{3\pi R^3\sqrt{7}}{7}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các điểm như hình vẽ. Gọi OO' = x, ta có \(O'A=\sqrt{x^2+R^2}\) Do tam giác O'AB đều nên \(O'M=\dfrac{\sqrt{3\left(x^2+R^2\right)}}{2}\) Xét tam giác vuông O'OM, có \(O'M=\dfrac{\sqrt{3\left(x^2+R^2\right)}}{2};\widehat{O'MO}=60^o\) nên \(OO'=sin60^0 O'M = \dfrac{\sqrt{9\left(x^2+R^2\right)}}{4}=\dfrac{3}{4}\sqrt{x^2+R^2}\) Vậy thì \(x=\dfrac{3}{4}\sqrt{x^2+R^2}\Rightarrow x=\dfrac{3\sqrt{7}R}{7}\) Vậy thể tích hình trụ là \(V=\pi R^2.\dfrac{3\sqrt{7}R}{7}=\dfrac{3\pi R^3\sqrt{7}}{7}\)
Cho hình thang vuông ABCD, vuông góc ở A và D, AB = 1, \(AD=\sqrt{3},\widehat{BCD}=60^o.\) Tính thể tích của hình tròn xoay có được khi quay quanh các cạnh của hình thang quanh đường thẳng AD. \(\dfrac{8\pi\sqrt{3}}{3}\) \(\dfrac{7\pi\sqrt{3}}{3}\) \(7\pi\sqrt{3}\) \(\dfrac{\pi\sqrt{3}}{3}\) Hướng dẫn giải: Ta thấy \(tan\widehat{ABD}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{ABD}=60^o\Rightarrow\widehat{BDC}=60^o\Rightarrow\) tam giác DBC đều. Vậy thì DC = DB = 2. Đặt tên các đỉnh như trên hình vẽ. Ta tính thể tích hai khối nón. Thể tích cần tìm là hiệu hai thể tích này. \(\widehat{IBA}=\widehat{BCD}=60^o\Rightarrow IA=tan60^o.AB=\sqrt{3}\) Vậy \(V_1=\dfrac{1}{3}.\pi.2^2\left(\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)=\dfrac{8\pi\sqrt{3}}{3}\) \(V_2=\dfrac{1}{3}.\pi.1^2.\sqrt{3}=\dfrac{\pi\sqrt{3}}{3}\) Vậy thể tích hình cần tìm bằng \(\dfrac{8\pi\sqrt{3}}{3}-\dfrac{\pi\sqrt{3}}{3}=\dfrac{7\pi\sqrt{3}}{3}\)
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2; AD = 3. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (ABCD), không có điểm chung với ABCD, song song với cạnh AB và cách AB một khoảng bằng 2. Tính thể tích V của khối hình nhận được khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục d. \(27\pi\) \(9\pi\) \(15\pi\) \(42\pi\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các điểm như hình vẽ. Thể tích hình cần tìm bằng hiệu của thể tích hình trụ bán kính ED (1) và hình trụ bán kính EA (2). Ta có \(V_1=\pi5^2.2=50\pi\) \(V_2=\pi2^2.2=8\pi\) Vậy thể tích hình cần tìm là: \(50\pi-8\pi=42\pi\)