Trong mặt phẳng cho một hình lục giác đều cạnh bằng 2. Tính thể tích của hình tròn xoay có được khi quay các cạnh hình lục giác đó quanh đường thẳng đi qua hai đỉnh đối diện của nó. \(8\pi\) \(6\pi\) \(\pi\) \(2\pi\) Hướng dẫn giải: Hình đó bao gồm hai hình nón giống nhau và một hình trụ có cùng bán kính đáy. Bán kính đáy hai hình đó bằng \(2.sin60^o=\sqrt{3}\) Chiều cao hai hình nón là : \(2.cos60^o=1\) Thể tích hai khối nón là : \(2.\left[\dfrac{1}{3}.\pi\left(\sqrt{3}\right)^2.1\right]=2\pi\) Thể tích khối trụ là : \(\pi\left(\sqrt{3}\right)^2.2=6\pi\) Vậy thể tích hình cần tìm là: \(2\pi+6\pi=8\pi\)
Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Một hình nón có đỉnh là tâm của đáy trên và có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp đáy dưới của hình lập phương. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. \(\dfrac{\pi a^2\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{\pi a^2\sqrt{3}}{4}\) \(\dfrac{\pi a^2\sqrt{5}}{4}\) \(\dfrac{\pi a^2\sqrt{5}}{2}\) Hướng dẫn giải: Bán kính đáy hình nón là \(\dfrac{a}{2}\), độ dài đường sinh hình nón là: \(\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\) Diện tích xung quanh của hình nón bằng: \(\pi.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}=\dfrac{\pi a^2\sqrt{5}}{4}\)
Cắt một khối nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có diện tích bằng \(\dfrac{9}{2}\). Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. \(\dfrac{9\pi\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{3\pi\sqrt{2}}{2}\) \(9\pi\sqrt{2}\) \(3\pi\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải: Gọi độ dài đường sinh của hình nón là x, ta có : \(\dfrac{1}{2}x^2=\dfrac{9}{2}\Rightarrow x=3.\) Từ hình vẽ ta thấy bán kính đáy và chiều cao của khối nón là bằng nhau. Cạnh huyền của tam giác vuông cân dài \(3\sqrt{2}\) , vậy bán kính đáy và chiều cao của khối nón bằng: \(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) Diện tích xung quanh khối nón bằng: \(\pi.\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.3=\dfrac{9\pi\sqrt{2}}{2}\)
Cho hinh chóp tam giác đều S.ABC có AB = a, cạnh bên SA tạo với đáy một góc 60o. Một hình nón có đỉnh là S, đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón đã cho. \(S_{xq}=\dfrac{4\pi a^2}{3}\) \(S_{xq}=\dfrac{2\pi a^2}{3}\) \(S_{xq}=\dfrac{\pi a^2}{6}\) \(S_{xq}=\dfrac{\pi a^2}{2}\) Hướng dẫn giải: Do ABC là tam giác đều cạnh a nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) Đường sinh hình nón bằng: \(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}:cos60^o=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) Diện tích xung quanh hình nón bằng: \(\pi.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\pi a^2}{3}\)
Trong không gian cho tam giác vuông tại A, AB = 2a; AC = a. Tính diện tích xung quanh của hình nón được tạo nên khi quay các cạnh của tam giác ABC xung quanh trục AB \(\pi a^2\sqrt{5}\) \(\pi a^2\sqrt{3}\) \(2\pi a^2\sqrt{5}\) \(2\pi a^2\sqrt{3}\) Hướng dẫn giải: Độ dài đường sinh hình nón là : \(\sqrt{a^2+4a^2}=a\sqrt{5}\) Diện tích xung quanh hình nón đó là: \(\pi.a.a\sqrt{5}=\pi a^2\sqrt{5}\)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 5. Một hình nón tròn xoay được sinh ra khi quay các cạnh của tam giác AA'C' xung quanh trục AA'. Tính diện tích xung quanh của hình nón. \(25\pi\) \(25\sqrt{2}\pi\) \(25\sqrt{3}\pi\) \(25\sqrt{6}\pi\) Hướng dẫn giải: Bán kính đáy hình nón bằng : \(\sqrt{2\left(5\right)^2}=5\sqrt{2}\) Độ dài đường sinh hình nón bằng: \(\sqrt{5^2+\left(5\sqrt{2}\right)^2}=5\sqrt{3}\) Vậy diện tích xung quanh hình nón bằng: \(\pi.5\sqrt{2}.5\sqrt{3}=25\sqrt{6}\pi\)
Một hình trụ có chiều cao bằng \(2\sqrt{2}\) và bán kính đáy bằng \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) . Tính diện tích xung quanh hình trụ đó. \(2\pi\sqrt{2}\) \(\pi\sqrt{3}\) \(\pi\sqrt{6}\) \(2\pi\sqrt{6}\)
Một hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng \(\sqrt{2}\) . Tính diện tích toàn phần hình trụ đó. \(4\pi\) \(5\pi\) \(6\pi\) \(8\pi\)
Cho một hình trụ và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh C, D nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ một góc 45o . Tính diện tích xung quanh của hình trụ. \(\dfrac{\pi a^2\sqrt{3}}{4}\) \(\dfrac{\pi a^2\sqrt{3}}{2}\) \(\pi a^2\sqrt{3}\) \(\dfrac{\pi a^2\sqrt{6}}{2}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các điểm như hình vẽ. Từ giả thiết ta thấy ngay I là trung điểm củ AC, BD và OO'. \(IM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}\), lại có tam giác O'IM vuông cân tại O' nên \(O'I=O'M=\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2:2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\) Xét tam giác vuông O'MD, theo định lý Pi-ta-go, \(O'D=\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\) Diện tích xung quanh hình trụ là: \(2\pi.\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi a^2\sqrt{3}}{2}\)
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; R) và (O'; R). Dây cung AB của đường tròn (O) thỏa mãn \(\Delta O'AB\) đều và mặt phẳng (O'AB) tạo với mặt phẳng chứa đường tròn (O) một góc 60o. Tính diện tích xung quanh hình trụ. \(\dfrac{\pi R^2\sqrt{7}}{7}\) \(\dfrac{6\pi R^2\sqrt{7}}{7}\) \(\dfrac{3\pi R^2\sqrt{7}}{7}\) \(\dfrac{2\pi R^2\sqrt{7}}{7}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các điểm như hình vẽ. Gọi OO' = x, ta có \(O'A=\sqrt{x^2+R^2}\) Do tam giác O'AB đều nên \(O'M=\dfrac{\sqrt{3\left(x^2+R^2\right)}}{2}\) Xét tam giác vuông O'OM, có \(O'M=\dfrac{\sqrt{3\left(x^2+R^2\right)}}{2};\widehat{O'MO}=60^o\) nên \(OO'=sin60^o.O'M=\dfrac{\sqrt{9\left(x^2+R^2\right)}}{4}=\dfrac{3}{4}\sqrt{x^2+R^2}\) Vậy thì \(x=\dfrac{3}{4}\sqrt{x^2+R^2}\Rightarrow x=\dfrac{3\sqrt{7}R}{7}\) Vậy diện tích xung quanh hình trụ bằng: \(2\pi R.\dfrac{3\sqrt{7}R}{7}=\dfrac{6\pi R^2\sqrt{7}}{7}\)
