Cho hình trụ có bán kính đáy $R = a$, mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo mặt thiết diện có diện tích bằng $6a^2$. Tính diện tích xung quanh của hình trụ. \(12\pi a^2\) \(3\pi a^2\) \(6\pi a^2\) \(9\pi a^2\) Hướng dẫn giải: Mặt phẳng qua trục cắt khối trụ theo thiết diện là hình chữ nhật. Chiều cao của hình trụ là: \(6a^2:2a=3a\) Vậy diện tích xung quanh hình trụ là: \(2\pi.a.3a=6\pi a^2\)
Một hình nón có đường sinh bằng \(a\sqrt{2}\), góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60o. Tính diện tích toàn phần của hình nón. \(\pi a^2\) \(\dfrac{3\pi a^2}{2}\) \(\dfrac{3\pi a^2}{4}\) \(\dfrac{5\pi a^2}{2}\) Hướng dẫn giải: Bán kính đáy hình nón bằng: \(a\sqrt{2}.cos60^o=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) Diện tích toàn phần của hình nón bằng: \(\pi\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2+\pi.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}=\dfrac{3\pi a^2}{2}\)
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 2a, AC = a. Tính độ dài đường sinh của hình nón, nhận được khi quay các cạnh của tam giác ABC xung quanh trục AB. \(a\) \(a\sqrt{5}\) \(a\sqrt{3}\) \(2a\)
Cho hình chóp đều S.ABCD, mặt bên tạo với đáy một góc bằng 45o. Một khối nón có đỉnh là S, đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Gọi \(\alpha\) là góc ở đỉnh của hình nón, tính \(cos\alpha\). \(cos\alpha=-\dfrac{1}{3}\) \(cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(cos\alpha=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\) \(cos\alpha=\dfrac{1}{3}\) Hướng dẫn giải: Đặt tên các điểm như hình vẽ, M là trung điểm DC. Gọi OM = x thì do \(\widehat{SMO}=45^o\Rightarrow OS=x\) Xét tam giác vuông OMC có OM = CM = x nên OC = \(x\sqrt{2}\) Xét tam giác vuông SOC có \(tan\dfrac{\alpha}{2}=\sqrt{2}\Rightarrow cos\alpha=-\dfrac{1}{3}\)
Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng \(3\pi a^2\) và bán kính đáy bằng a. Thính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho. \(l=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\). \(l=2a\sqrt{2}\). \(l=\dfrac{3a}{2}\). \(l=3a\). Hướng dẫn giải: Công thức tính diện tích xung quanh hình nó với đường sinh l, bán kính đáy a là \(S=\pi la\). Theo giả thiết thì diện tích đó cũng là \(3\pi a^2\). Do đó \(\pi la=3\pi a^2\Leftrightarrow l=3a\).
Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a. \(V=\dfrac{\pi a^3}{4}\). \(V=\pi a^3\). \(V=\dfrac{\pi a^3}{6}\). \(V=\dfrac{\pi a^3}{2}\). Hướng dẫn giải: Khối trụ có chiều cao h bằng cạnh a của hình lập phương, bán kính đáy \(R=OA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\). Khối trụ có thể tích \(V=\pi hR^2=\pi a\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{\pi a^3}{2}\).
Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy \(r=4\) và chiều cao \(h=4\sqrt{2}\). \(V=128\pi\). \(V=64\sqrt{2}\pi\). \(V=32\pi\). \(V=32\sqrt{2}\pi\). Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức thể tích khối trụ \(V=\pi hr^2\) ta có \(V=\pi.4\sqrt{2}.4^2=64\sqrt{2}\pi\)
Cho hình nón có bán kính đáy \(r = \sqrt 3 \) và độ dài đường sinh \(l=4\).. Tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón đã cho. \({S_{xq}} = 4\sqrt 3 \pi\) \({S_{xq}} = \sqrt {39} \pi\) \({S_{xq}} = 8\sqrt 3 \pi\) \({S_{xq}} = 12\pi \) Hướng dẫn giải: \({S_{xq}} = \pi lr = 4\sqrt 3 \pi \)
Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng \(3\pi a^2\) và bán kính đáy bằng \(a\). Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng: \(2\sqrt{2}a\) \(3a\) \(2a\) \(\dfrac{3a}{2}\) Hướng dẫn giải: Ta có công thức \(S_{xq}=\pi rl\Rightarrow l=\dfrac{S_{xq}}{\pi r}=\dfrac{3\pi a^2}{\pi a}=3a\)
Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3mm và chiều cao bằng 200 mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi làm bằng than chì. Phần lõi có dạng hình khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính 1mm. Giả định 1 m3 gỗ có giá a (triệu đồng), 1 m3 than chì có giá 8a (triệu đồng). Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như thế gần nhất với kết quả nào dưới đây? \(9,07a\) (đồng) \(9,7a\) (đồng) \(90,7a\) (đồng) \(97,03a\) (đồng) Hướng dẫn giải: Thể tích hình lăng trụ đứng đáy lục giác đều có cạnh đáy 3mm và chiều cao bằng 200 mm là: \(V=S_đh=\dfrac{3\sqrt{3}.3^2}{2}.200=2700\sqrt{3}\left(mm^3\right)\) Thể tích khối trụ đáy là hình tròn có bán kính 1mm, chiều cao 200 mm là: \(V=S_đh=\pi.1^2.200=200\pi\left(mm^3\right)\) Thể tích phần thân gỗ là: \(2700\sqrt{3}-200\pi\left(mm^3\right)\) 1 $m^3$ gỗ giá a triệu đồng nên 1mm3 gỗ có giá 0,001a (đồng) 1 $m^3$ than chì giá 8a triệu đồng nên 1mm3 gỗ có giá 0,008a (đồng) Vậy số tiền cần dùng là: \(0,001a\left(2700\sqrt{3}-200\pi\right)+0,008a.200\pi\approx9,07a\) (đồng)
