Tổng hợp lý thuyết và bài tập chuyên đề Một số phương trình lượng giác thường gặp

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Phương trình \(\cos^3x-\sin^3x=\cos2x\) tương đương với phương trình nào trong số các phương trình sau?
    • \((\cos x-\sin x)(1-\sin x)(1-\cos x)=0\)
    • \((\cos x-\sin x)(1+\sin x)(1-\cos x)=0\)
    • \((\cos x-\sin x)(1-\sin x)(1+\cos x)=0\)
    • \((\cos x-\sin x)(1+\sin x)(1+\cos x)=0\)
    Hướng dẫn giải:

    \(\cos^3x-\sin^3x=\cos2x\)
    \(\Leftrightarrow (\cos x-\sin x)(\cos^2x+\cos x\sin\ x+\sin^2x)=\cos^2x-\sin^2x\)
    \(\Leftrightarrow (\cos x-\sin x)(1+\sin x\cos x)= (\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\)
    \(\Leftrightarrow(\cos x-\sin x)(1-\sin x)(1-\cos x)=0\)
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Giải phương trình:
    \(\cos x-\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}\)
    • \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=-\frac{\pi}{12}+2k\pi\\x=-\frac{7\pi}{12}+2k\pi\end{array}\right.\)
    • \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\\x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\end{array}\right.\)
    • \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{12}+2k\pi\\x=\frac{7\pi}{12}+2k\pi\end{array}\right.\)
    • \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\\x=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\end{array}\right.\)
    Hướng dẫn giải:

    Chia hai vế cho \(\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=2\) ta được:
    \(\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
    \(\Leftrightarrow\sin\frac{\pi}{6}\cos x-\cos\frac{\pi}{6}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
    \(\Leftrightarrow\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\sin\frac{\pi}{4}\)
    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\frac{\pi}{6}-x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\\\frac{\pi}{6}-x=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi\end{array}\right.\) (với \(k\in\mathbb{Z}\))
    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-\frac{\pi}{12}-2k\pi\\x=-\frac{7\pi}{12}-2k\pi\end{array}\right.\)
    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-\frac{\pi}{12}+2k\pi\\x=-\frac{7\pi}{12}+2k\pi\end{array}\right.\) (thay k bởi -k thì tập nghiệm không thay đổi)
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Giải phương trình:
    \(\cos x\cos\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2}-\sin x\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}=\frac{1}{2}\)
    • \(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi;x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\) với \(k\in Z.\)
    • \(x=\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi;x=\pm\frac{\pi}{6}+2k\pi\) với \(k\in Z.\)
    • \(x=-\frac{\pi}{4}+k\pi;x=\frac{5\pi}{6}+k\pi\) với \(k\in Z.\)
    • \(x=-\frac{\pi}{4}+k\pi;x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi;x=\frac{\pi}{6}+2k\pi;x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\) với \(k\in Z.\)
    Hướng dẫn giải:

    Chuyển các tích \(\cos\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2}\), \(\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}\) thành tổng, phương trình tương đương với:
    \(\cos x.\frac{1}{2}\left(\cos2x+\cos x\right)-\sin x\left[-\frac{1}{2}\left(\cos2x-\cos x\right)\right]=\frac{1}{2}\)
    \(\Leftrightarrow\cos x.\cos2x+\cos^2x+\sin x\cos2x-\sin x\cos x=1\)
    \(\Leftrightarrow\left(\cos x+\sin x\right).\cos2x+\cos^2x-\sin x\cos x=1\)
    \(\Leftrightarrow\left(\cos x+\sin x\right).\cos2x+\left(1-\sin^2x\right)-\sin x\cos x=1\)
    \(\Leftrightarrow\left(\cos x+\sin x\right).\cos2x-\sin x\left(\sin x+\cos x\right)=0\)
    \(\Leftrightarrow\left(\cos x+\sin x\right).\left(\cos2x-\sin x\right)=0\)
    \(\Leftrightarrow\left(\cos x+\sin x\right).\left(-2\sin^2x-\sin x+1\right)=0\)
    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\sin x+\cos x=0\\-2\sin^2x-\sin x+1=0\end{array}\right.\)
    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0\\\sin x=-1\\\sin x=\frac{1}{2}\end{array}\right.\)
    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x+\frac{\pi}{4}=k\pi\\x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\\x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\)
    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\\x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\end{array}\right.\)với \(k\in Z.\)
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Trên đoạn \(\left[0;2\pi\right]\), phương trình \(2sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+\sqrt{3}=0\) có bao nhiêu nghiệm?
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    Hướng dẫn giải:

    \(2sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+\sqrt{3}=0\Leftrightarrow sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\).
    Đặt \(t=x-\dfrac{\pi}{4}\) thì phương trình trở thành \(\sin t=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), còn điều kiện \(x\in\left[0;2\pi\right]\Leftrightarrow0\le x\le2\pi\Leftrightarrow-\dfrac{\pi}{4}\le t=x-\dfrac{\pi}{4}\le\dfrac{7\pi}{4}\).
    Trong đoạn \(\left[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]\) (có độ dài bằng chu kỳ của hàm số \(\sin x\)), phương trình \(\sin t=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) có đúng hai nghiệm.
    Đáp số: 2
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Phương trình \(\sin 5x + \cos 3x=\sin x +2\sqrt{3}\sin 2x+ \sqrt{3}\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \((0,\dfrac{3\pi}{2})\)?
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    Hướng dẫn giải:

    Ta có \(\sin 5x + \cos 3x=\sin x +2\sqrt{3}\sin 2x+ \sqrt{3}\) \(\Leftrightarrow\sin5x-\sin x+\cos3x-2\sqrt{3}\sin2x-\sqrt{3}=0\Leftrightarrow2\cos3x.\sin2x+\cos3x-2\sqrt{3}\sin2x-\sqrt{3}=0\)
    \(\Leftrightarrow\left(\cos3x-\sqrt{3}\right)\left(2\sin2x+1\right)=0\Leftrightarrow\sin2x=-\dfrac{1}{2}\).
    Đặt \(t=2x\) thì điều kiện \(x\in\left(0;\dfrac{3\pi}{2}\right)\) tương đương với \(t\in\left(0;3\pi\right)\). Bài toán trở thành: Tính số nghiệm trong khoảng \(\left(0;3\pi\right)\) của phương trình \(\sin t=-\dfrac{1}{2}\).
    Trong khoảng \(\left(0;2\pi\right)\) phương trình \(\sin t=-\dfrac{1}{2}\) có đúng 2 nghiệm. Trong khoảng \([2\pi;3\pi)\) phương trình \(\sin t=-\dfrac{1}{2}\) vô nghiệm (vì \(\sin t\ge0,\forall t\in[2\pi;3\pi)\) ).
    Đáp số: 2
     
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Trong đoạn \(\left[\pi;8\pi\right]\) phương trình \(\cos\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\) có bao nhiêu nghiệm?
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    Hướng dẫn giải:

    \(cos\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\)\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
    \(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)
    \(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
    Điều kiên \(x\in\left[\pi;8\pi\right]\) được thực hiện khi \(\pi\le\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\le8\pi\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}\le k\le\dfrac{15}{4}\Leftrightarrow k\in\left\{1;2;3\right\}\). Vậy trong đoạn \(\left[\pi;8\pi\right]\) phương trình đã cho có 3 nghiệm.
     
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Trong khoảng \((0,\pi)\) , phương trình \(\sin x (\cos 2x - 2\cos x)=\cos2x . \cos x -1\) có bao nhiêu nghiệm ?
    • 0
    • 1
    • 2
    • 3
    Hướng dẫn giải:

    Ta có: \(\sin x (\cos 2x - 2\cos x)=\cos2x . \cos x -1\)\(\Leftrightarrow\cos2x\left(\sin x-\cos x\right)+1-2\sin x\cos x=0\)\(\Leftrightarrow\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\sin x-\cos x\right)+\left(\sin x-\cos x\right)^2=0\)
    \(\Leftrightarrow\left(\sin x-\cos x\right)^2\left[1-\left(\cos x+\sin x\right)=0\right]\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin x-\cos x=0\\\sin x+\cos x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=0\\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)=0\\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)
    Đặt \(t=x+\dfrac{\pi}{4}\) thì điều kiện \(x\in\left(0;\pi\right)\) trở thành \(t\in\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}\right)\), còn phương trình đã cho thì trở thành \(\left[{}\begin{matrix}\cos t=0\\\sin t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\). Bài toán quy về việc tính số nghiệm của hai phương trình trên trong khoảng \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}\right)\).
    Trong khoảng \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}\right)\) phương trình \(\cos t=0\) chỉ có một nghiệm \(t=\dfrac{\pi}{2}\), còn phương trình \(\sin t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) thì không có nghiệm nào, Vậy đáp số đúng là 1.
     
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Giải phương trình \(\sqrt{3}\cot x-3=0\).
    • \(x=\frac{\pi}{3}+k\pi\) , \(k\in\mathbb{Z}\)
    • \(x=\frac{\pi}{6}+k\pi\) , \(k\in\mathbb{Z}\)
    • \(x=\frac{\pi}{18}+k\frac{\pi}{6}\) , \(k\in\mathbb{Z}\)
    • \(x=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3}\), \(k\in\mathbb{Z}\)
    Hướng dẫn giải:

    Biến đổi phương trình ta có:
    \(\sqrt{3}\cot x-3=0\)
    \(\Leftrightarrow\sqrt{3}\cot x=3\)
    \(\Leftrightarrow\cot x=\frac{3}{\sqrt{3}}\)
    \(\Leftrightarrow\cot x=\sqrt{3}\)
    \(\Leftrightarrow\cot x=\cot\frac{\pi}{6}\)
    \(\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k\pi\) , \(k\in\mathbb{Z}\)
     
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Giải phương trình \(5\cos x-2\sin\left(2x\right)=0\)
    • \(x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\) với \(k\in Z.\)
    • \(x=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3}\) với \(k\in Z.\)
    • \(x=k\pi\) với \(k\in Z.\)
    • \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) với \(k\in Z.\)
    Hướng dẫn giải:

    Áp dụng công thức \(\sin\left(2a\right)=2\sin a.\cos a\), ta có:
    \(5\cos x-2\sin\left(2x\right)=0\)
    \(\Leftrightarrow5\cos x-2\sin x.\cos x=0\)
    \(\Leftrightarrow\cos x\left(5-2\sin x\right)=0\)
    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\cos x=0\\5-2\sin x=0\end{array}\right.\)
    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\cos x=0\\\sin x=\frac{5}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\)
    \(\Leftrightarrow\cos x=0\)
    \(\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) , \(k\in\mathbb{Z}\)
     
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Giải phương trình \(8\sin x.\cos x.\cos\left(2x\right)=-1\)
    • \(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) với \(k\in Z.\)
    • \(x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\) với \(k\in Z.\)
    • \(x=-\frac{\pi}{24}+k\frac{\pi}{2};x=\frac{7\pi}{24}+k\frac{\pi}{2}\) với \(k\in Z.\)
    • \(x=-\frac{\pi}{24}+k\frac{\pi}{12};x=\frac{7\pi}{4}+k\frac{\pi}{12}\) với \(k\in Z.\)
    Hướng dẫn giải:

    Áp dụng công thức góc nhân đôi: \(2\sin a.\cos a=\sin\left(2a\right)\), ta biến đổi như sau:
    \(8\sin x.\cos x.\cos\left(2x\right)=-1\)
    \(\Leftrightarrow4\left(2\sin x.\cos x\right).\cos\left(2x\right)=-1\)
    \(\Leftrightarrow4\sin\left(2x\right).\cos\left(2x\right)=-1\)
    \(\Leftrightarrow2\sin\left(4x\right)=-1\)
    \(\Leftrightarrow\sin\left(4x\right)=-\frac{1}{2}\)
    \(\Leftrightarrow\sin\left(4x\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\)
    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}4x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\\4x=\pi+\frac{\pi}{6}+2k\pi\end{array}\right.\) (với \(k\in\mathbb{Z}\))
    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-\frac{\pi}{24}+k\frac{\pi}{2}\\x=\frac{7\pi}{24}+k\frac{\pi}{2}\end{array}\right.\) (với \(k\in\mathbb{Z}\))