Giải phương trình \(6\cos^2x+5\sin x-2=0\) \(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) với \(k\in Z.\) \(x=-\frac{7\pi}{6}-2k\pi\) với \(k\in Z.\) \(x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi;x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi\) với \(k\in Z.\) \(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi;x=-\frac{7\pi}{6}+2k\pi\) với \(k\in Z.\) Hướng dẫn giải: Thay \(\cos^2x=1-\sin^2x\) để đưa phương trình về dạng bậc hai đối với sin x. \(6\left(1-\sin^2x\right)+5\sin x-2=0\) \(\Leftrightarrow-6\sin^2x+5\sin x+4=0\) Đặt \(\sin x=t\) với \(-1\le t\le1\), ta được phương trình đối với t: \(-6t^2+5t+4=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=\frac{4}{3}\left(loại\right)\\t=-\frac{1}{2}\end{array}\right.\) Vậy \(\sin x=-\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\sin x=sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\\x=\pi+\frac{\pi}{6}+2k\pi\end{array}\right.\) (với \(k\in\mathbb{Z}\)) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\\x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi\end{array}\right.\)
Cho phương trình \(\sqrt{3}\tan x-6\cot x+2\sqrt{3}-3=0\). Phương trình trên có thể biến đổi thành phương trình nào trong các phương trình dưới đây? \(\sqrt{3}\tan^2x-6\tan x+2\sqrt{3}-3=0\) \(\sqrt{3}\tan^2x+\left(2\sqrt{3}-3\right)\tan x-6=0\) \(\left(2\sqrt{3}-3\right)\tan^2x-6\tan x+\sqrt{3}=0\) \(-6\tan^2x+\sqrt{3}\tan x+2\sqrt{3}-3=0\) Hướng dẫn giải: \(\sqrt{3}\tan x-6\cot x+2\sqrt{3}-3=0\) \(\Leftrightarrow\sqrt{3}\tan x-6\frac{1}{\tan x}+2\sqrt{3}-3=0\) \(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{3}\tan^2x-6+\left(2\sqrt{3}-3\right)\tan x}{\tan x}=0\) \(\Leftrightarrow\sqrt{3}\tan^2x+\left(2\sqrt{3}-3\right)\tan x-6=0\) với \(\tan x\ne0\)
Giải phương trình \(2\sin2x+\sqrt{2}\sin4x=0\) \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=k\frac{\pi}{2}\\x=\pm\frac{3\pi}{8}+k\pi\end{array}\right.\)với \(k\in Z.\) \(x=2k\pi\) với \(k\in Z.\) \(x=k\frac{\pi}{2}\) với \(k\in Z.\) \(x=\pm\frac{3\pi}{8}+2k\pi\) với \(k\in Z.\) Hướng dẫn giải: \(2\sin2x+\sqrt{2}\sin4x=0\) \(\Leftrightarrow2\sin2x+\sqrt{2}\left(2\sin2x.\cos2x\right)=0\) \(\Leftrightarrow2\sin2x\left(1+\sqrt{2}\cos2x\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\sin2x=0\\\cos2x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}2x=k\pi\\2x=\pm\frac{3\pi}{4}+2k\pi\end{array}\right.\) (\(k\in\mathbb{Z}\)) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=k\frac{\pi}{2}\\x=\pm\frac{3\pi}{8}+k\pi\end{array}\right.\)
Giải phương trình \(2\cos^2x-3\sqrt{3}\sin2x-4\sin^2x=-4\) \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\x=\frac{\pi}{6}+k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\) \(x=\frac{\pi}{6}+k\pi\) với \(k\in Z.\) \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) với \(k\in Z.\) \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\\x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\) Hướng dẫn giải: Phương trình đã cho tương đương với: \(2\cos^2x-6\sqrt{3}\sin x\cos x-4\sin^2x=-4\) Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cos. Ta xét 2 trường hợp sau: - Xét trường hợp \(\cos x=0\), khi đó \(\sin^2x=1\), thay vào ta thấy phương trình thỏa mãn (-4 = -4). Vậy \(\cos x=0\) (hay \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) là nghiệm). - Xét trường hợp \(\cos x\ne0\), chia cả hai vế cho \(\cos^2x\) ta được: \(2-6\sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x}-4\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=-4\frac{1}{\cos^2x}\) \(\Leftrightarrow2-6\sqrt{3}\tan x-4\tan^2x=-4\left(1+\tan^2x\right)\) \(\Leftrightarrow\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(\Leftrightarrow\tan x=\tan\frac{\pi}{6}\) \(x=\frac{\pi}{6}+k\pi\) Kết hợp hai trường hợp ta được nghiệm là: \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\x=\frac{\pi}{6}+k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\) Cách khác: Dễ thấy \(\sin x=0\) không thỏa mãn phương trình. Chia hai vế phương trình cho \(\sin^2x\) ta được \(6\cot^2x-6\sqrt{3}\cot x=0\Leftrightarrow\cot x=0,\cot x=\sqrt{3}\). Nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\)
Giải phương trình \(\sin^3x-\sqrt{3}\cos^3x=\sin x\cos^2x-\sqrt{3}\sin^2x\cos x\) \(x=\frac{\pi}{3}+k\pi;x=\frac{\pi}{4}+k\pi\) với \(k\in Z.\) \(x=-\frac{\pi}{3}+k\pi;x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi\) với \(k\in Z.\) \(x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi\) với \(k\in Z.\) \(x=\frac{\pi}{3}+k\pi;x=\frac{\pi}{4}+k\pi\) với \(k\in Z.\) Đây là phương trình đẳng cấp đối với sin và cos. Xét 2 trường hợp sau: - Xét \(\cos x=0\) , khi đó \(\sin x=\pm1\), thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn. - Xét \(\cos x\ne0\), khi đó chia cả hai vế cho \(\cos^3x\) ta được phương trình sau: \(\frac{\sin^3x}{\cos^3x}-\sqrt{3}=\frac{\sin x}{\cos x}-\sqrt{3}\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\) \(\Leftrightarrow\tan^3x-\sqrt{3}=\tan x-\sqrt{3}\tan^2x\) Đặt \(t=\tan x\), ta được phương trình: \(t^3+\sqrt{3}t-t-\sqrt{3}=0\) \(\Leftrightarrow t^2\left(t+\sqrt{3}\right)-\left(t+\sqrt{3}\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left(t+\sqrt{3}\right)\left(t^2-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left(t+\sqrt{3}\right)\left(t-1\right)\left(t+1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=-\sqrt{3}\\t=1\\t=-1\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\tan x=-\sqrt{3}\\\tan x=1\\\tan x=-1\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-\frac{\pi}{3}+k\pi\\x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\) Cách khác: \(\sin^3x-\sqrt{3}\cos^3x=\sin x\cos^2x-\sqrt{3}\sin^2x\cos x\)\(\Leftrightarrow\sqrt{3}\cos x\left(\cos^2x-\sin^2x\right)+\sin x\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=0\) \(\Leftrightarrow\cos2x\left(\sqrt{3}\cos x+\sin x\right)=0\Leftrightarrow2\cos2x\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\)\(\Leftrightarrow\cos2x=0,\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\Leftrightarrow2x=\pm\dfrac{\pi}{2}+k\pi,x+\dfrac{\pi}{3}=k\pi\) \(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{4}+k\pi,x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi\)
Trong số các phương trình dưới đây, phương trình nào tương đương với phương trình \(2\sin^3x+4\cos^3x=3\sin x\) ? \(\tan x=1\) \(2\tan^3x-3\tan x+4=0\) \(4\cot^3x-3\cot x+2=0\) \(\cot x=0\) Hướng dẫn giải: - Xét trường hợp \(\cos x=0\), khi đó \(\sin x=\pm1\), phương trình không thỏa mãn do \(2.\left(\pm1\right)^3\ne3.\left(\pm1\right)\), vậy phương trình không có nghiệm khi \(\cos x=0\) - Với \(\cos x\ne0\), ta chia cả hai vế cho \(\cos^3x\) ta có: (chú ý: \(\frac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x\)) \(2\frac{\sin^3x}{\cos^3x}+4=3\frac{\sin x}{\cos x}\frac{1}{\cos^2x}\) \(\Leftrightarrow2\tan^3x+4=3\tan x\left(1+\tan^2x\right)\) \(\Leftrightarrow-\tan^3x-3\tan x+4=0\) \(\Leftrightarrow-\tan^3x+\tan x-4\tan x+4=0\) \(\Leftrightarrow-\tan x\left(\tan^2x-1\right)-4\left(\tan x-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow-\tan x\left(\tan x-1\right)\left(\tan x+1\right)-4\left(\tan x-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left(\tan x-1\right)\left[-\tan^2x-\tan x-4\right]=0\) \(\Leftrightarrow\left(\tan x-1\right)\left[\tan^2x+\tan x+4\right]=0\) Ta có \(\tan^2x+\tan x+4>0\) (vì \(\Delta=1-4.4=-15< 0\)) nên phương trình trên tương đương với: \(\tan x=1\)
Cho phương trình \(\sin^3x-\cos^3x=1\). Nếu đặt \(t=\sin x-\cos x\) thì phương trình đã cho sẽ trở thành phương trình nào trong số các phương trình dưới đây ? \(-t^3+3t-2=0\) \(t^3+t-2=0\) \(t^3+3t-2=0\) \(t^3-t+2=0\) Hướng dẫn giải: \(\sin^3x-\cos^3x=1\) \(\Leftrightarrow\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin^2x+\sin x\cos x+\cos^2x\right)=1\) \(\Leftrightarrow\left(\sin x-\cos x\right)\left(1+\sin x\cos x\right)=1\) Đặt \(t=\sin x-\cos x\), thì \(t^2=\left(\sin x-\cos x\right)^2=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x=1-2\sin x\cos x\) => \(\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}\) Thay vào phương trình ta có: \(t\left(1+\frac{1-t^2}{2}\right)=1\) \(\Leftrightarrow-t^3+3t-2=0\)
Giải phương trình \(\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sin x+\cos x\right)-\sin2x-1-\sqrt{2}=0\) \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=2k\pi\\x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\\x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\) \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=2k\pi\\x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\) \(x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi\) với \(k\in Z.\) \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) với \(k\in Z.\) Hướng dẫn giải: Phương trình tương đương với: \(\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sin x+\cos x\right)-2\sin x\cos x-1-\sqrt{2}=0\) Đặt \(t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\), điều kiện: \(-\sqrt{2}\le t\le\sqrt{2}\). Khi đó: \(t^2=\left(\sin x+\cos x\right)^2=\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=1+2\sin x\cos x\) Suy ra \(2\sin x\cos x=t^2-1\) Thay vào phương trình ta có: \(\left(1+\sqrt{2}\right)t-\left(t^2-1\right)-1-\sqrt{2}=0\) \(t^2-\left(1+\sqrt{2}\right)t+\sqrt{2}=0\) \(\left[\begin{array}{nghiempt}t=1\\t=\sqrt{2}\end{array}\right.\) Suy ra: \(\left[\begin{array}{nghiempt}\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\\\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\\\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{4}\\x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi;k\in\mathbb{Z}\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi\\x+\frac{\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi\\x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\end{array}\right.\) (với \(k\in\mathbb{Z}\)) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=2k\pi\\x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\\x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\)
Giải phương trình \(3\tan^2x+4\tan x+4\cot x+3\cot^2x+2=0\) \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=arcsin\left(3\right)+2k\pi\\x=\pi-arcsin\left(3\right)+2k\pi\\x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\) \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=arcsin\left(3\right)+2k\pi\\x=\pi-arcsin\left(3\right)+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\) \(x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\) với \(k\in Z.\) \(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) với \(k\in Z.\) Hướng dẫn giải: Phương trình đối xứng đối với tan và cot. Phương trình tương đương với: \(3\left(\tan^2x+\cot^2x\right)+4\left(\tan x+\cot x\right)+2=0\) Đặt \(t=\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin2x}\) Điều kiện: \(\left|t\right|\ge2\) (do \(\left|\sin2x\right|\le1\)) Khi đó: \(\tan^2x+\cot^2x=\left(\tan x+\cot x\right)^2-2=t^2-2\) Vậy phương trình trở thành: \(3\left(t^2-2\right)+4t+2=0\) \(\Leftrightarrow3t^2+4t-4=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=\frac{2}{3}\left(loại\right)\\t=-2\end{array}\right.\) Vậy \(\frac{2}{\sin2x}=-2\) \(\Leftrightarrow\sin2x=-1\) \(\Leftrightarrow2x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\) (với \(k\in\mathbb{Z}\)) \(\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\) với \(k\in Z.\)
Giải phương trình: \(\sin^5x+\cos^5x=1\) Phương trình vô nghiệm \(x=2k\pi;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) với \(k\in Z.\) \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) với \(k\in Z.\) \(x=k\frac{\pi}{2}\) với \(k\in Z.\) Hướng dẫn giải: \(\sin^5x+\cos^5x=1\) \(\Leftrightarrow\sin^5x+\cos^5x=\sin^2x+\cos^2x\) \(\Leftrightarrow\sin^2x\left(\sin^3x-1\right)+\cos^2x\left(\cos^3x-1\right)=0\) (*) Vì \(-1\le\sin x;\cos x\le1\) nên \(\begin{cases}\sin^2x\left(\sin^3x-1\right)\le0\\\cos^2x\left(\cos^3x-1\right)\le0\end{cases}\) Suy ra \(\sin^2x\left(\sin^3x-1\right)+\cos^2x\left(\cos^3x-1\right)\le0\) Phương trình (*) xảy ra khi: \(\begin{cases}\sin^2x\left(\sin^3x-1\right)=0\\\cos^2x\left(\cos^3x-1\right)=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}\sin x=0\\\sin x=1\end{matrix}\right.\\\cos^2x\left(\cos^3x-1\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}\cos x=-1\\\cos x=1\\\sin x=1\end{matrix}\right.\\\cos^2x\left(\cos^3x-1\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\cos x=1\\\sin x=1\end{matrix}\right.\) (vì khi \(\sin x=1\) thì \(\cos x=0\)) \(\Leftrightarrow x=2k\pi;x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\left(k\in\mathbb{Z}\right)\)
