Tổng hợp lý thuyết và bài tập chuyên đề Một số phương trình lượng giác thường gặp

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Giải phương trình \(\cos2x+\cos4x+\cos6x=\cos x\cos2x\cos3x+2\).
    • Phương trình vô nghiệm
    • \(x=k\pi\) với \(k\in Z.\)
    • \(x=k\frac{\pi}{2}\) với \(k\in Z.\)
    • \(x=k\frac{\pi}{3}\) với \(k\in Z.\)
    Hướng dẫn giải:

    Biến đổi tích \(\cos x\cos2x\cos3x\) bên vế phải thành tổng (hai lần), ta có phương trình tương đương:
    \(\Leftrightarrow\cos2x+\cos4x+\cos6x=\frac{1}{2}\left(\cos3x+\cos x\right)\cos3x+2\)
    \(\Leftrightarrow\cos2x+\cos4x+\cos6x=\frac{1}{2}\cos^23x+\frac{1}{2}\cos x\cos3x+2\)
    \(\Leftrightarrow\cos2x+\cos4x+\cos6x=\frac{1}{4}\left(\cos6x+1\right)+\frac{1}{4}\left(\cos4x+\cos2x\right)+2\)
    \(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\cos2x+\frac{3}{4}\cos4x+\frac{3}{4}\cos6x=\frac{9}{4}\)
    \(\Leftrightarrow\cos2x+\cos4x+\cos6x=3\)
    \(\Leftrightarrow\left(1-\cos2x\right)+\left(1-\cos4x\right)+\left(1-\cos6x\right)=0\)
    \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\cos2x=1\\\cos4x=1\\\cos6x=1\end{matrix}\right.\)
    \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\cos2x=1\\2\cos^22x-1=1\\4\cos^32x-3\cos2x=1\end{matrix}\right.\)
    \(\Leftrightarrow\cos2x=1\Leftrightarrow2x=2k\pi\Leftrightarrow x=k\pi,\left(k\in\mathbb{Z}\right)\)
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Số nào trong các số sau đây là một nghiệm của phương trình \(sin^2x+sin^22x+sin^23x=2\) ?
    • \(\dfrac{\pi}{12}\)
    • \(\dfrac{\pi}{3}\)
    • \(\dfrac{\pi}{8}\)
    • \(\dfrac{\pi}{6}\)
    Hướng dẫn giải:

    Sử dụng MTCT tính giá trị của biểu thức \(sin^2x+sin^22x+sin^23x\) với \(x=\dfrac{\pi}{6},x=\dfrac{\pi}{3},x=\dfrac{\pi}{8},x=\dfrac{\pi}{12}\) ta thấy chỉ có \(x=\dfrac{\pi}{6}\) thỏa mãn phương trình.
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tìm số nghiệm thuộc đoạn \(\left[0;\pi\right]\) của phương trình \(1+\tan x=2\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\).
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    Hướng dẫn giải:

    Ta có
    \(1+\tan x=1+\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos x+\sin x}{\cos x}\) và \(\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos x+\sin x\)
    nên phương trình đã cho tương đương với \(\dfrac{\left(\cos x+\sin x\right)}{\cos x}=2\left(\cos x+\sin x\right)\Leftrightarrow\left(\cos x+\sin x\right)\left(\dfrac{1}{\cos x}-2\right)=0\)
    \(\Leftrightarrow\left(1+\tan x\right)\left(\dfrac{1}{\cos x}-2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\tan x=-1\\\cos x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

    Trong đoạn \(\left[0;\pi\right]\) phương trình \(\tan x=-1\) có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{3\pi}{4}\), phương trình \(\cos x=\dfrac{1}{2}\) có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{\pi}{2}\).
    Đáp số: 2
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Đặt \(t=\sin^2x\cos^2x\) thì phương trình sau trở thành:
    \(4(\sin^6x+\cos^6x)+2(\sin^4x+\cos^4x)=8-4\cos^2{2x}\)
    • \(32t-2=0\)
    • \(32t+2=0\)
    • \(32t^2-24t+1=0\)
    • \(32t^2-24t+3=0\)
    Hướng dẫn giải:

    Ta có \(\sin^4x+\cos^4x=\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2-2\sin^2x\cos^2x=1-2t\), \(\sin^6x+\cos^6x=\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^3-3\sin^2x\cos^2x\left(\sin^2x+\cos^2x\right)=1-3t\)
    và \(\cos^22x=1-\sin^22x=1-4\sin^2x\cos^2x=1-4t\) nên phương trình đã cho trở thành \(4\left(1-3t\right)+2\left(1-2t\right)=8-4\left(1-4t\right)\Leftrightarrow32t-2=0\)
     
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Giải phương trình:
    \(\sin3x+\cos2x=2\sin x\cos2x+1\)
    • \(x=k\pi,\ x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\ x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\\\)
    • \(x=2k\pi,\ x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi,\ x=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\\\)
    • \(x=k\pi,\ x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\ x=\dfrac{5\pi}{6}+k\pi\\\)
    • \(x=k\pi,\ x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi,\ x=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\\\)
    Hướng dẫn giải:

    \(pt \Leftrightarrow \sin3x+1-2\sin^2x=\sin3x-\sin x+1\)
    \(\Leftrightarrow \sin x(2\sin x-1)=0\)
    \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} \sin x=0\\ \sin x=\dfrac{1}{2}=\sin\dfrac{\pi}{6} \end{array}{} \right.\)
    \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} x=k\pi\\x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\\x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\\ \end{array}{} \right.\)
     
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Giải phương trình: \(1-5\sin x+2\cos^2x=0\)
    • \(x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi,\ x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\)
    • \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\ x=\dfrac{5\pi}{6}+k\pi\)
    • \(x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi,\ x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\)
    • \(x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ x=\dfrac{2\pi}{3}+k\pi\)
    Hướng dẫn giải:

    \(pt \Leftrightarrow 1-5\sin x+2(1-\sin^2x)=0\)
    \(\Leftrightarrow 2\sin^2x+5\sin x-3=0\)
    \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} \sin x=-3(vô nghiệm)\\ \sin x=\dfrac{1}{2}=\sin\dfrac{\pi}{6} \end{array}{} \right.\)
    \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi \end{array}{} \right.\)
     
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Giải phương trình:
    \(\dfrac{\tan x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cot x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
    • \(x=\pm \dfrac{\pi}{4}+k2\pi\)
    • \(x=\pm \dfrac{\pi}{4}+k\pi\)
    • \(x= \dfrac{\pi}{4}+k\pi\)
    • \(x= \dfrac{3\pi}{4}+k\pi\)
    Hướng dẫn giải:

    Điều kiện xác định: \(\sin x \ne0,\cos x\ne0\)
    \(pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{\cos x}-\dfrac{\sin^2 x}{\cos x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
    \(\Leftrightarrow 1-\sin^2x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x\)
    \(\Leftrightarrow \cos^2x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x\)
    \(\Leftrightarrow \cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos \dfrac{\pi}{4}\ \ (Vì\ \cos x \ne0)\)
    \(\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi}{4}+k2\pi\) (thỏa mãn điều kiện)
     
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Trong khoảng \((0,2\pi)\), phương trình \(\cos x(\cos x+2\sin x )+3\sin x(\sin x +\sqrt{2})=\sin2x-1\) có bao nhiêu nghiệm?
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    Hướng dẫn giải:

    \(pt \Leftrightarrow \cos^2x+\sin2x+3\sin^2x+3\sqrt{2}\sin x=\sin2x-1\)
    \(\Leftrightarrow 1+2\sin^2x+3\sqrt{2}\sin x=-1\)
    \(\Leftrightarrow 2\sin^2x+3\sqrt{2}\sin x +2=0\)
    \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin x=-\sqrt{2}\\\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
    Phương trình \(\sin x=-\sqrt{2}\) vô nghiệm; phương trình \(\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) có đúng hai nghiệm trong khoảng \(\left(0;2\pi\right)\)
     
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(\sqrt[3]{m+3\sqrt[3]{m+3\sin x}}=\sin x\) có nghiệm thực?
    • 5
    • 7
    • 2
    • 3
    Hướng dẫn giải:

    Cách 1 (tự luận): Ta có \(\sqrt[3]{m+3\sqrt[3]{m+3\sin x}}=\sin x\Rightarrow m+3\sqrt[3]{m+3\sin x}=\sin^3x\)
    \(\Leftrightarrow m+3\sin x+3\sqrt[3]{m+3\sin x}=sin^3x+3\sin x\)
    Xét hàm số \(y=t^3+3t\) ; \(y'=3t^2+3>0\) nên hàm số luôn đồng biến. Vậy thì \(f\left(\sqrt[3]{m+3\sin x}\right)=f\left(\sin x\right)\Leftrightarrow\sqrt[3]{m+3\sin x}=\sin x\)
    \(\Leftrightarrow m+3\sin x=\sin^3x\Leftrightarrow\sin^3x-3\sin x-m=0\)
    Đặt \(\sin x=t\left(t\in\left[-1;1\right]\right)\), ta có \(t^3-3t-m=0\Leftrightarrow t^3-3t=m\)
    Xét \(h\left(x\right)=t^3-3t\); \(h'\left(x\right)=3t^2-3;h'\left(x\right)=0\Leftrightarrow t=\pm1\)
    Ta có bảng biến thiên:
    01.png
    Vậy để phương trình có nghiệm thì \(m\in\left[-2;2\right]\)
    Vậy số giá trị nguyên của m thỏa mãn là 5.
    Cách 2 (casio): Xét \(\sqrt[3]{m+3\sqrt[3]{m+3\sin x}}=\sin x\)
    - Đặt \(u=\sqrt[3]{m+3\sin x}\) thì thế trở lại phương trình ta được hệ
    \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[3]{m+3u}=\sin x\\u=\sqrt[3]{m+3\sin x}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+3u=\sin^3x\\u^3=m+3\sin x\end{matrix}\right.\)
    Từ đó \(u^3-\sin^3x=-3\left(u-\sin x\right)\)
    \(\Leftrightarrow\left(u-\sin x\right)\left[\left(u^2+u.\sin x+\sin^2x\right)+3\right]=0\)
    \(\Leftrightarrow u=\sin x\)
    Vậy phương trình đã cho tương đương với \(\sin^3x=m+3\sin x\) hay
    \(m=3\sin x-\sin^3x\).
    - Đặt \(X=\sin x\) thì phương trình đã cho trở thành \(m=3X-X^3\) với \(x\in\left[-1;1\right]\). Trong MODE TABLe, lập bảng giá trị \(f\left(X\right)=3X-X^3\) với Starrt = -1; End = 1; Step = 2: 19 . Từ đó thấy tập giá trị của hàm số là đoạn \(\left[-2;2\right]\). Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(m\in\left[-2;2\right]\). Với điều kiện m nguyên thì chỉ có 5 giá trị của m thỏa mãn là \(m=\pm2;m=\pm1;m=0\)
     
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tập giá trị của hàm số \(y=3\sin4x-4\cos4x+7\) là:
    • \(\left[2;12\right]\)
    • \(\left[3;10\right]\)
    • \(\left[1;9\right]\)
    • \(\left[-2;10\right]\)
    Hướng dẫn giải:

    \(y=3\cos4x-4\cos4x+7=5\left(\dfrac{3}{5}\sin4x-\dfrac{4}{5}\cos4x\right)+7\)
    Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\\\cos\alpha=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\).
    Ta có \(y=5\left(\sin\alpha.\sin4x-\cos\alpha.\cos4x\right)+7=-5\cos\left(4x-\alpha\right)+7\).
    Vậy tập giá trị của y là: \(\left[2;12\right]\).