Một nghiệm của phương trình: \(\sin^42x+\cos^42x=1\) là: \(\dfrac{3\pi}{4}\) \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{6}\) \(\dfrac{\pi}{5}\)
Số nghiệm của phương trình \(\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1\) thuộc đoạn \(\left[0;2\pi\right]\) là: 2. 3. 1. 4. Hướng dẫn giải: \(\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1\) \(\Leftrightarrow2x+\dfrac{\pi}{3}=k2\pi\)\(\Leftrightarrow2x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\)\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi\). Với k = 0 thì \(x=-\dfrac{\pi}{6}\) (loại). Với k = 1 thì \(x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi=\dfrac{5\pi}{6}\) (chọn). Với \(k=2\) thì \(x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi=\dfrac{11\pi}{6}\) (chọn). Với \(k=3\) thì \(x=-\dfrac{\pi}{6}+3\pi=\dfrac{17\pi}{6}\) (loại). Vậy trong đoạn \(\left[0;2\pi\right]\) phương trình có hai nghiệm.
Giá trị nào của \(x\) sau đây thuộc tập xác định của hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{\sin5x+\cos4x+1}{\sin3x+\cos3x}\) ? \(-\dfrac{\pi}{12}\) \(\dfrac{11\pi}{12}\) \(\dfrac{5\pi}{6}\) \(\dfrac{23\pi}{12}\) Hướng dẫn giải: Sử dụng MODE 1 máy tính cầm tay CASIO tính giá trị của \(\sin3x+\cos3x\) lần lượt tại các giá trị đã cho của \(x\) ta thấy kết quả khác 0 chỉ tại \(x=\dfrac{5\pi}{6}\).
Giá trị lớn nhất của hàm số \(\sin^3x.\cos x+\cos^3x.\sin x+5\left(\sin x+\cos x\right)+1\) là: \(\dfrac{5}{2}+\sqrt{2}\) \(2+\sqrt{2}\) \(2\sqrt{2}+2\) \(\dfrac{3}{2}+5\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải: \(\sin^3x.\cos x+\cos^3x.\sin x+5\left(\sin x+\cos x\right)+1\) \(=\sin x.\cos x\left(\sin^2x+\cos^2x\right)+5\left(\sin x+\cos x\right)+1\) \(=\sin x.\cos x+5\left(\sin x+\cos x\right)+1\). Đặt \(\sin x+\cos x=t,\left|t\right|\le\sqrt{2}\) . Suy ra \(\sin x=\dfrac{t^2-1}{2}\), ta có: \(\dfrac{t^2-1}{2}+5t+1=\dfrac{t^2+10t+1}{2}\). Do \(\left|t\right|\le\sqrt{2}\) nên GTLN của \(\dfrac{t^2+10t+1}{2}\) là: \(\dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^2+10\sqrt{2}+1}{2}=\dfrac{3}{2}+5\sqrt{2}\).
Số nghiệm của phương trình \(cos\left(3x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=-1\) thuộc đoạn \(\left[0;\pi\right]\) là: 2 3 4 5 Hướng dẫn giải: \(cos\left(3x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=-1\) \(\Leftrightarrow3x+\dfrac{2\pi}{3}=\pi+k2\pi\)\(\Leftrightarrow3x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\). Với k = 0 thì \(x=\dfrac{\pi}{9}\). (chọn) Với k = 1 thì \(x=\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{9}\). (chọn) Với k = 2 thì \(x=\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2.2\pi}{3}=\dfrac{13\pi}{9}\). (loại).
Số nghiệm của phương trình \(sin3x=\dfrac{cos3x}{\sqrt{3}}\) trong đoạn \(\left[0;10\pi\right]\) là: 31 32 33 34 Hướng dẫn giải: \(sin3x=\dfrac{cos3x}{\sqrt{3}}\) \(\Leftrightarrow tan3x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) \(\Leftrightarrow3x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{k\pi}{3}\). Ta có \(0\le\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{k\pi}{3}\le10\pi\) \(\Leftrightarrow0\le\dfrac{1}{18}+\dfrac{k}{3}\le10\) \(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{18}\le\dfrac{k}{3}\le10\) \(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{6}\le k\le30\). Vậy \(k=0,1,2,3,...,30\). Có 31 giá trị k thỏa mãn hay có 31 nghiệm.
Số nghiệm của phương trình \(tan\left(2x+45^o\right)+cot3x=0\) trong khoảng \(\left(0^o,180^o\right)\) là: 1 2 3 4 Hướng dẫn giải: \(tan\left(2x+45^o\right)+cot3x=0\) \(\Leftrightarrow tan\left(2x+45^o\right)=-cot3x\) \(\Leftrightarrow tan\left(2x+45^o\right)=tan\left(3x+90^o\right)\) \(\Leftrightarrow2x+45^o=3x+90^o+k.180^o\) \(\Leftrightarrow x=-45^o+k.180^o\). - Với k = 0 thì \(x=-45^o\) (loại). - Với k =1 thì \(x=-45^o+180^o=135^o\) (chọn). - Với k -2 thì \(x=-45^o+2.180^o=315^o\) (loại).
Khi x thay đổi trên khoảng \(\left(\dfrac{-2\pi}{3};\dfrac{2\pi}{3}\right)\) thì \(y=cos3x\) lấy mọi giá trị thuộc \(\left(-1;1\right)\) \(\left[-1;1\right]\) [-1 ; 0 ) (-1 ; 0]
Khi \(x\) thay đổi trong nửa khoảng (\(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{6}\)] thì \(y=\sin3x\) lấy giá trị trên khoảng nào? (-1; 1] (-1; 1) (-1; 0) (0; 1)
