Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\) \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\sqrt{2x+1}+C\) \(\int f\left(x\right)\text{d}x=2\sqrt{2x+1}+C\) \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\frac{1}{2}\sqrt{2x+1}+C\) \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}+C\) Hướng dẫn giải: Để kiểm tra \(\int f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)\) ta cần kiểm tra \(F'\left(x\right)=f\left(x\right)\). Để làm điều này đối với từng phương án trả lời A, B, C, D đều phải tính trước hết là \((\sqrt{2x-1})'\). Áp dụng quy tắc tính đạo hàm căn thức \((\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}\) , ta có \((\sqrt{2x-1})'=\dfrac{2}{2\sqrt{2x-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}\) . Do đó, A là phương án trả lời đúng. \(\left(\sqrt{2x+1}+C\right)'=\frac{\left(2x+1\right)'}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\)
Tìm hàm số F(x) biết \(F'\left(x\right)=\frac{2}{\left(2x-1\right)^2}-\frac{1}{\left(x-1\right)^2}\) \(F\left(x\right)=\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{x-1}+C\) \(F\left(x\right)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2x-1}+C\) \(F\left(x\right)=\frac{1}{x-1}-\frac{2}{2x-1}+C\) \(F\left(x\right)=\frac{1}{x-1}-\frac{C}{2x-1}\) Hướng dẫn Thực chất bài toán là tìm các nguyên hàm của hàm số \(\frac{2}{\left(2x-1\right)^2}-\frac{1}{\left(x-1\right)^2}\) . Ta có \(\int\frac{2}{\left(2x-1\right)^2}dx=\int\frac{d\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)^2}=-\frac{1}{2x-1}+C\) và \(\int-\frac{1}{\left(x-1\right)^2}dx=\int\frac{-d\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}=\frac{1}{x-1}+C\) nên \(F\left(x\right)=\int\left(\frac{2}{\left(2x-1\right)^2}-\frac{1}{x-1}\right)dx=-\frac{1}{2x-1}+\frac{1}{x-1}+C\) .
Tìm các hàm số f(x) biết \(f'\left(x\right)=\frac{\cos x}{\left(2+\sin x\right)^2}\). \(f\left(x\right)=\frac{\sin x}{\left(2+\cos x\right)^2}+C\) \(f\left(x\right)=\frac{\sin x}{2+\sin x}+C\) \(f\left(x\right)=\frac{-1}{2+\sin x}+C\) \(f\left(x\right)=\frac{1}{2+\cos x}+C\) Hướng dẫn giải: Theo định nghĩa, \(f(x)\) là một nguyên hàm của \(f'(x)\) . Mặt khác, \(\int f'\left(x\right)dx=\int\frac{\cos xdx}{\left(2+\sin x\right)^2}=\int\frac{d\left(2+\sin x\right)}{\left(2+\sin x\right)^2}=-\frac{1}{2+\sin x}+C\) . Do đó \(f\left(x\right)=\frac{-1}{2+\sin x}+C\) .
Tìm các hàm số F(x) thỏa mãn các điều kiện: \(F'\left(x\right)=x+\frac{1}{x}\) , \(F(\pm1)=-\dfrac{1}{2}\) . \(F\left(x\right)=1-\frac{1}{x^2}+C\) \(F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}+\ln x+C\) \(F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}+\ln x+-1\) \(F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}+\ln\left|x\right|+-1\) Hướng dẫn giải: Ta có \(F\left(x\right)=\int F'\left(x\right)dx=\int\left(x+\frac{1}{x}\right)dx=\left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{2}+\ln x+C_1,\left(x>0\right)\\\frac{x^2}{2}+\ln\left(-x\right)+C_2,\left(x< 0\right)\end{matrix}\right.\) . Từ điều kiện \(F(\pm1)=-\dfrac{1}{2}\) suy ra \(C_1=C_2=-1\). Vậy \(F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}+\ln\left|x\right|+-1\) . Đáp án là D. Chú ý: \(\left(\ln\left|x\right|\right)'=\frac{1}{x}\) Vậy \(F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}+\ln\left|x\right|+C\) thì \(F'\left(x\right)=x+\frac{1}{x}\)
Tìm nguyên hàm của hàm \(f\left(x\right)=2017^x\) \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\frac{2017^x}{\ln2017}+C\) \(\int f\left(x\right)\text{d}x=2017^x+C\) \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\frac{1}{x+1}.2017^{x+1}+C\) \(\int f\left(x\right)\text{d}x=2017^x\ln2017+C\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức \(\left(a^x\right)'=a^x.\ln a\), Ta có: \(\left(\frac{2017^x}{\ln2017}\right)'=\frac{2017^x.\ln2017}{\ln2017}=2017^x\) Vậy \(\int2017^xdx=\frac{2017^x}{\ln2017}+C\)
Tìm nguyên hàm của \(f\left(x\right)=x^e\) \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\frac{x^e}{\ln x}+C\) \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\frac{x^{e+1}}{e+1}+C\) \(\int f\left(x\right)\text{d}x=e.x^{e-1}+C\) \(\int f\left(x\right)\text{d}x=x^e+C\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức \(\left(x^a\right)'=a.x^{a-1}\), ta có: \(\left(\frac{x^{e+1}}{e+1}\right)'=\frac{\left(e+1\right)x^e}{e+1}=x^e\) Suy ra: \(\int x^edx=\frac{x^{e+1}}{e+1}+C\)
Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\frac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^2}\) ? \(F\left(x\right)=\frac{x^2-x-1}{x+1}\) \(F\left(x\right)=\frac{x^2+x+1}{x+1}\) \(F\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x+1}\) \(F\left(x\right)=\frac{x^2-3x-3}{x+1}\) Hướng dẫn giải: Lần lượt kiểm tra xem \(F'\left(x\right)=f\left(x\right)\)? Sử dụng công thức \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{vu'-uv'}{v^2}\), ta có: \(\left(\frac{x^2-x-1}{x+1}\right)'=\frac{\left(x+1\right)\left(2x-1\right)-\left(x^2-x-1\right)}{\left(x+1\right)^2}=\frac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^2}=f\left(x\right)\) \(\left(\frac{x^2+x+1}{x+1}\right)'=\frac{\left(x+1\right)\left(2x+1\right)-\left(x^2+x+1\right)}{\left(x+1\right)^2}=\frac{x^2+2x}{\left(x+1\right)}=f\left(x\right)\) \(\left(\frac{x^2+1}{x+1}\right)'=\frac{\left(x+1\right)2x-\left(x^2+1\right)}{\left(x+1\right)^2}=\frac{x^2+2x-1}{\left(x+1\right)^2}\ne f\left(x\right)\) \(\left(\frac{x^2-3x-3}{x+1}\right)'=\frac{\left(x+1\right)\left(2x-3\right)-\left(x^2-3x-3\right)}{\left(x+1\right)^2}=\frac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^2}=f\left(x\right)\) Vậy \(F\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x+1}\) không là nguyên hàm của f(x)
Tìm nguyên hàm F(x) trên khoảng \((0;\pi)\) của hàm số \(f\left(x\right)=-\frac{1}{\sin^2x}\) biết \(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\) \(F\left(x\right)=x\) \(F\left(x\right)=\sin x+\frac{\pi}{2}-1\) \(F\left(x\right)=\cot x\) \(F\left(x\right)=\cot x+\frac{\pi}{2}\) Hướng dẫn giải: Ta loại các đáp án sau: *) \(F\left(x\right)=x\) vì \(F'\left(x\right)=1\ne f\left(x\right)\) *) \(F\left(x\right)=\sin x+\frac{\pi}{2}-1\) vì \(F'\left(x\right)=\cos x\ne f\left(x\right)\) *) \(F\left(x\right)=\cot x\) vì \(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\ne\frac{\pi}{2}\) Kiểm tra trường hợp còn lại: \(F\left(x\right)=\cot x+\frac{\pi}{2}\) thỏa mãn vì \(F(x)=cotx+\dfrac{\pi }{2}\) xác định trên khoảng \((0;\pi)\) và có \(\begin{cases}F'\left(x\right)=-\frac{1}{\sin^2x}=f\left(x\right)\\F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\end{cases}\)
Tìm hàm số F(x) biết \(F'\left(x\right)=3x^2+2x+1\) và đồ thị \(y=F\left(x\right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e. \(F\left(x\right)=x^2+x+e\) \(F\left(x\right)=\cos\left(2x\right)+e-1\) \(F\left(x\right)=x^3+x^2+x+1\) \(F\left(x\right)=x^3+x^2+x+e\) Hướng dẫn giải: Loại trường hợp \(F\left(x\right)=x^3+x^2+x+1\) vì đồ thị cắt trục tung tại tung độ bằng 1 (khác e). Trong các hàm còn lại, chỉ có \(F\left(x\right)=x^3+x^2+x+e\) thỏa mãn \(F'\left(x\right)=3x^2+2x+1\)
Cho hàm f(x) thỏa mãn điều kiện \(f'\left(x\right)=2+\cos\left(2x\right)\) và \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\pi\). Tìm khẳng định sai. \(f\left(x\right)=2x+\frac{1}{2}\sin2x+\pi\) \(f\left(x\right)=2x-\sin2x+\pi\) \(f\left(0\right)=\pi\) \(f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0\) Hướng dẫn giải: Dễ thấy \(f\left(x\right)=2x+\frac{1}{2}\sin2x+C\) thỏa mãn điều kiện \(f'\left(x\right)=2+\cos\left(2x\right)\). Để \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\pi\) thì \(2.\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin\left(2\frac{\pi}{2}\right)+C=2\pi\) \(\Rightarrow C=\pi\) \(\Rightarrow f\left(x\right)=2x+\frac{1}{2}\sin2x+\pi\). Vậy khẳng định \(f\left(x\right)=2x-\sin2x+\pi\) là sai, còn các khẳng định khác đều đúng (\(f\left(0\right)=\pi\), \(f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0\))
