Tìm nguyên hàm F(x) của \(f\left(x\right)=\frac{2^x-1}{e^x}\) biết \(F\left(0\right)=1\). \(F\left(x\right)=\frac{2^x+\ln2-1}{e^x\left(\ln2-1\right)}\) \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{\ln2-1}\left(\dfrac{2}{e}\right)^x+\left(\dfrac{1}{e}\right)^x-\dfrac{1}{\ln2-1}\) \(F\left(x\right)=\frac{2^x+\ln2}{e^x\left(\ln2-1\right)}\) \(F\left(x\right)=\left(\frac{2}{e}\right)^x\) Hướng dẫn giải: \(F\left(x\right)=\int\frac{2^x-1}{e^x}\text{d}x=\int\left[\left(\frac{2}{e}\right)^x-e^{-x}\right]\text{d}x=\int\left(\frac{2}{e}\right)^x\text{d}x+\int e^{-x}\text{d}\left(-x\right)\) \(=\frac{\left(\frac{2}{e}\right)^x}{\ln\left(\frac{2}{e}\right)}+e^{-x}+C\) \(=\frac{1}{\ln2-1}\left(\frac{2}{e}\right)^x+\left(\frac{1}{e}\right)^x+C\) Để \(F\left(0\right)=1\) thì \(\frac{1}{\ln2-1}\left(\frac{2}{e}\right)^0+\left(\frac{1}{e}\right)^0+C=1\) \(\Rightarrow C=-\frac{1}{\ln2-1}\) \(\Rightarrow F\left(x\right)=\frac{1}{\ln2-1}\left(\frac{2}{e}\right)^x+\left(\frac{1}{e}\right)^x-\frac{1}{\ln2-1}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? \(\int\limits\frac{\sqrt{x^4+x^{-4}+2}}{x^3}dx=\ln\left|x\right|-\frac{1}{4x^4}+C\) \(\int\limits\frac{x^2dx}{1-x^2}=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|-x+C\) \(\int\limits\tan^2xdx=\tan x-x+C\) \(\int\limits\frac{2^{x+1}-5^{x-1}}{10^x}dx=\frac{1}{5.2^x.\ln2}+\frac{2}{5^x.\ln5}+C\) Hướng dẫn giải:
Xác định khẳng định sai trong 4 khẳng định sau . \(\int\limits\frac{xdx}{3-2x^2}=-\frac{1}{4}\ln\left|3-2x^2\right|+C\) \(\int\frac{dx}{x\ln x}=\int\frac{d\ln x}{\ln x}=\ln\left|\ln x\right|+C\) \(\int\limits\dfrac{dx}{1+\cos x}=\dfrac{1}{2}tan\dfrac{x}{2}+C\) \(\int\limits\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}+1}\right|+C\) Hướng dẫn giải: Ta có \(\int\frac{xdx}{3-2x^2}=\int\frac{-\frac{1}{4}d\left(2x^2-3\right)}{2x^2-3}=-\frac{1}{4}\ln\left|2x^2-3\right|+C\), trong đó C là những hằng số chọn tùy ý trong mỗi khoảng xác định của hàm số \(y=\frac{x}{3-2x^2}\). Tương tự \(\int\frac{dx}{x\ln x}=\int\frac{d\ln x}{\ln x}=\ln\left|\ln x\right|+C\), trong đó C là những hằng số chọn tùy ý trong mỗi khoảng \(\left(0;1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\). Vậy A và B đúng. Vì \(\frac{1}{1+\cos x}=\frac{1}{2\cos^2x}\) nên \(\int\frac{1}{1+\cos x}dx=\tan\frac{x}{2}+C\) do đó C sai. ( Có thể kiểm tra D đúng bằng cách đổi biến: đặt \(\sqrt{1+x^2}=t\) )
Tìm nguyên hàm \(F\left(x\right)\) của hàm số \(y=\frac{x-2}{x^3}\) biết \(F\left(-1\right)=3\) . \(F\left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+3\) \(F\left(x\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-3\) \(F\left(x\right)=-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+1\) \(F\left(x\right)=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+1\) Hãy chọn kết quả đúng ? Hướng dẫn giải: Ta có \(y=\frac{x-2}{x^3}=x^{-2}-2.x^{-3}\) nên \(F\left(x\right)=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+C\) . Điều kiện \(F\left(-1\right)=3\) tương đương với \(C=1\) , do đó chọn D.
Tìm nguyên hàm \(F\left(x\right)\) của hàm số \(y=e^x\left(1-\frac{e^{-x}}{x^2}\right)\) biết \(F\left(1\right)=e\). \(F\left(x\right)=e^x-\frac{1}{x}+1\) \(F\left(x\right)=e^x+\frac{1}{x}-1\) \(F\left(x\right)=e^x-\frac{1}{x}+e\) \(F\left(x\right)=e^x+\frac{1}{x}-e\) Hướng dẫn giải: Ta có \(y=e^x\left(1-\frac{e^{-x}}{x^2}\right)=e^x-\frac{1}{x^2}\) nên \(F\left(x\right)=e^x+\frac{1}{x}+C\). Điều kiện \(F\left(1\right)=e\) suy ra \(C=-1\).
Tìm nguyên hàm \(F\left(x\right)\) của hàm số \(y=\frac{\cos2x}{\cos^2x\sin^2x}\) biết \(F\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=0\) . \(F\left(x\right)=\tan x+\cot x+2\) \(F\left(x\right)=\tan x+\cot x-2\) \(F\left(x\right)=-\tan x-\cot x+2\) \(F\left(x\right)=-\tan x-\cot x-2\) Hướng dẫn giải: Ta có \(y=\dfrac{\cos2x}{\cos^2x\sin^2x}=\dfrac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x.\sin^2x}=\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{1}{\cos^2x}\) nên \(F\left(x\right)=-\cot x-\tan x+C\) trong đó \(C\) là hằng số chọn tùy ý trong các khoảng xác định của hàm số \(-\cot x-\tan x\) . Điều kiện \(F\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=0\) tương đương với \(C=2\). Chọn C.
Tìm nguyên hàm \(F\left(x\right)\) của hàm số \(y=\frac{\left(x^2+1\right)^2}{x^3}\) biết \(F\left(\pm1\right)=-4\) . \(\frac{x^2}{2}+2\ln\left|x\right|-\frac{2}{x^2}+4\) \(\frac{x^2}{2}+2\ln\left|x\right|-\frac{1}{1x^2}+4\) \(\frac{x^2}{2}+2\ln\left|x\right|-\frac{2}{x^2}-4\) \(\frac{x^2}{2}+2\ln\left|x\right|-\frac{1}{2x^2}-4\) Hướng dẫn giải: Ta có \(y=\frac{\left(x^2+1\right)^2}{x^3}=\frac{x^4+2x^2+1}{x^3}=x+2.\frac{1}{x}+x^{-3}\) nên \(F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2x^2}+2\ln\left|x\right|+C\) trong đó C là một hằng số chọn tùy ý trong từng khoảng xác định của hàm số. Điều kiện \(F\left(\pm1\right)=-4\) suy ra \(C=-4\) . Đáp án là D.
Tìm nguyên hàm \(F\left(x\right)\) của hàm số \(y=\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)^2\) biết \(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{4}\) . \(F\left(x\right)=x+\cos x+\frac{\pi}{4}\) \(F\left(x\right)=x+\cos x-\frac{\pi}{4}\) \(F\left(x\right)=x-\cos x+\frac{\pi}{4}\) \(F\left(x\right)=x-\cos x-\frac{\pi}{4}\) Hướng dẫn giải: Ta có \(y=\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)^2=1-\sin x\) nên \(F\left(x\right)=\int\left(1-\sin x\right)dx=x-\cos x+C\). Điều kiện \(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{4}\) suy ra \(C=-\frac{\pi}{4}\) . Vậy nên \(F\left(x\right)=x+\cos x-\frac{\pi}{4}\)
Tìm hàm số \(F\left(x\right)\) biết \(F'\left(x\right)=\frac{3-2\cot^2x}{\cos^2x}\) và \(F\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=10\). \(F\left(x\right)=3\tan x+2\cot x\) \(F\left(x\right)=3\tan x+2\cot x+5\) \(F\left(x\right)=3\tan x-2\cot x+5\) \(F\left(x\right)=3\tan x+2\cot x-5\) Hướng dẫn giải: \(F\left(x\right)=\int F'\left(x\right)dx=\int\frac{3-2\cot^2x}{\cos^2x}dx=3\int\frac{1}{\cos^2x}dx-2\int\frac{1}{\sin^2x}dx=3\tan x+2\cot x+C\)trong đó C là hằng số xác định tùy ý trong mỗi khoảng xác định của hàm số \(3\tan x+2\cot x\). Điều kiện \(F\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=10\) suy ra \(C=5\) . Chọn B.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? \(\int\limits\sin^2\frac{x}{2}dx=\frac{x+\sin x}{2}+c\) \(\int\limits\left(3-2x\right)^4dx=\frac{-\left(3-2x\right)^5}{10}+C\) \(\int\limits\sqrt{4x-1}dx=\frac{1}{6}\sqrt{\left(4x-1\right)^3}+C\) \(\int\limits\sqrt[3]{5-6x}dx=-\frac{1}{8}\sqrt[3]{\left(5-6x\right)^4}+C\) Hướng dẫn giải: Có \(\left(\frac{x+\sin x}{2}+C\right)'=\frac{1}{2}\left(1+\cos x\right)=\cos^2x\ne\sin^2x\) nên A sai.
