Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\cos2x\) ? \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\frac{1}{2}\sin2x+C\) \(\int f\left(x\right)\text{d}x=-\frac{1}{2}\sin2x+C\) \(\int f\left(x\right)\text{d}x=2\sin2x+C\) \(\int f\left(x\right)\text{d}x=-2\sin2x+C\)
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}\) và \(F\left(2\right)=1\). Tính \(F\left(3\right)\)? \(F\left(3\right)=\ln2-1\) \(F\left(3\right)=\ln2+1\) \(F\left(3\right)=\frac{1}{2}\) \(F\left(3\right)=\frac{7}{4}\) Hướng dẫn giải: \(F\left(x\right)=\int\frac{1}{x-1}\text{dx}=\ln\left|x-1\right|+C\) \(F\left(2\right)=\ln\left|2-1\right|+C=1\) \(\Rightarrow C=1\) Vậy \(F\left(x\right)=\ln\left|x-1\right|+1\) \(\Rightarrow F\left(3\right)=\ln\left|3-1\right|+1=\ln2+1\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=x^2+\dfrac{2}{x^2}\). \(\int f\left(x\right)dx=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{2}{x}+C\). \(\int f\left(x\right)dx=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{1}{x}+C\). \(\int f\left(x\right)dx=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{x}+C\). \(\int f\left(x\right)dx=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1}{x}+C\). Hướng dẫn giải: Ta có \(\int f\left(x\right)dx=\int\left(x^2+\dfrac{2}{x^2}\right)dx=\int x^2dx+2\int x^{-2}dx=\dfrac{x^3}{3}+2.\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{2}{x}+C\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=x^2+\dfrac{2}{x^2}\). \(\int f\left(x\right)dx=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{2}{x}+C\). \(\int f\left(x\right)dx=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{1}{x}+C\). \(\int f\left(x\right)dx=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{x}+C\). \(\int f\left(x\right)dx=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1}{x}+C\). Hướng dẫn giải: Ta có \(\int f\left(x\right)dx=\int\left(x^2+\dfrac{2}{x^2}\right)dx=\int x^2dx+2\int x^{-2}dx=\dfrac{x^3}{3}+2.\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{2}{x}+C\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=x^2+\dfrac{2}{x^2}\). \(\int f\left(x\right)dx=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{2}{x}+C\). \(\int f\left(x\right)dx=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{1}{x}+C\). \(\int f\left(x\right)dx=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{x}+C\). \(\int f\left(x\right)dx=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1}{x}+C\). Hướng dẫn giải: Ta có \(\int f\left(x\right)dx=\int\left(x^2+\dfrac{2}{x^2}\right)dx=\int x^2dx+2\int x^{-2}dx=\dfrac{x^3}{3}+2.\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{2}{x}+C\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=x^2+\dfrac{2}{x^2}\). \(\int f\left(x\right)dx=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{2}{x}+C\). \(\int f\left(x\right)dx=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{1}{x}+C\). \(\int f\left(x\right)dx=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{x}+C\). \(\int f\left(x\right)dx=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1}{x}+C\). Hướng dẫn giải: Ta có \(\int f\left(x\right)dx=\int\left(x^2+\dfrac{2}{x^2}\right)dx=\int x^2dx+2\int x^{-2}dx=\dfrac{x^3}{3}+2.\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{2}{x}+C\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\cos3x\). \(\int\cos3xdx=3\sin3x+C\) \(\int\cos3xdx=\dfrac{1}{3}\sin3x+C\) \(\int\cos3xdx=-\dfrac{1}{3}\sin3x+C\) \(\int\cos3xdx=\sin3x+C\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức \(\int\cos kxdx=\dfrac{1}{k}\sin kx+C,\left(k\ne0\right)\) ta có đáp số: \(\int\cos3xdx=\dfrac{1}{3}\sin3x+C\)
Tìm nguyên hàm \( F(x)\) của hàm số \(f(x)=sinx+cosx\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\) \( F(x)=cosx-sinx+3 \) \( F(x)=-cosx+sinx-1\) \(F(x)=-cosx+sinx+1 \) \(F(x)=-cosx+sinx+3\)
Cho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}} \) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x} \). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\ln {\rm{x}} \) \(\int {f'\left( x \right)\ln {\rm{xdx = }}\frac{{\ln {\rm{x}}}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + C}\) \( \int {f'\left( x \right)\ln {\rm{xdx = - }}\left( {\frac{{\ln {\rm{x}}}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C} \) \( \int {f'\left( x \right)\ln {\rm{xdx = }}\frac{{\ln {\rm{x}}}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}} + C}\) \(\int {f'\left( x \right)\ln {\rm{xdx = - }}\left( {\frac{{\ln {\rm{x}}}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}}} \right) + C}\) Hướng dẫn giải: \(\begin{array}{l} F'(x) = \frac{{ - 1}}{{{x^3}}}\\ \Rightarrow f(x) = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}}\\ I = \int {f'(x)\ln xdx} \end{array} \) Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln x = u}\\ {f'(x)dx = vdv} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \frac{1}{x}dx}\\ {v = f(x) = - \frac{1}{{{x^2}}}} \end{array}} \right.} \right. \) \( \Rightarrow I = \int {f'(x)\ln xdx = \frac{{ - \ln x}}{{{x^2}}} - \int {\frac{{ - 1}}{{{x^3}}}dx = - \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} - \frac{1}{{2{x^2}}}} } \)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=3x^2+1\) . \(x^3+C\) \(\dfrac{x^3}{3}+x+C\) \(6x+C\) \(x^3+x+C\)
