Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\) thỏa mãn \(f'\left(x\right)=\dfrac{2}{2x-1},f\left(0\right)=1\) và \(f\left(1\right)=2\). Giá trị của biểu thức \(f\left(-1\right)+f\left(3\right)\) bằng: \(4+\ln15\) \(2+\ln15\) \(3+\ln15\) \(\ln15\) Hướng dẫn giải: Ta có \(f\left(x\right)=\int\dfrac{2}{2x-1}dx=\int\dfrac{d\left(2x-1\right)}{2x-1}=\ln\left|2x-1\right|+C\) Với \(x< \dfrac{1}{2}\) thì \(f\left(x\right)=\ln\left(-2x+1\right)+C_1\) Ta có \(f\left(0\right)=1\Leftrightarrow0+C_1=1\Leftrightarrow C_1=1\) Với \(x>\dfrac{1}{2}\) thì \(f\left(x\right)=\ln\left(2x-1\right)+C_2\) Ta có \(f\left(1\right)=2\Leftrightarrow0+C_2=2\Leftrightarrow C_2=2\) Vậy nên hàm số \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\ln\left(2x-1\right)+2;x>\dfrac{1}{2}\\\ln\left(-2x+1\right)+1;x< \dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) Vậy thì \(f\left(-1\right)+f\left(3\right)=\ln3+1+\ln5+2=\ln15+3\)
Nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=x^3+x\) là: \(3x^2+1+C\) \(x^4+x^2+C\) \(x^3+x+C\) \(\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{1}{2}x^2+C\)
