Tính tổng \(S=C_{2n}^0+C^2_{2n}+.......+C^{2n}_{2n}\) . \(2^{n-1}\) \(2^n\) \(2^{n+1}\) \(2^{n-2}\) Hướng dẫn giải: Xét khai triển \(\left(x+1\right)^{2n}=C^0_{2n}x^0+C^1_{2n}x+C^2_{2n}x^2+..........+C^{2n-1}_{2n}x^{2n-1}+C^{2n}_{2n}x^{2n}\). Thay \(x=1\), ta có: \(2^{2n}=C^0_{2n}+C^1_{2n}+C^2_{2n}+..........+C^{2n-1}_{2n}+C^{2n}_{2n}\). Thay \(x=-1\), ta có: \(0=C^0_{2n}-C^1_{2n}+C^2_{2n}+..........-C^{2n-1}_{2n}+C^{2n}_{2n}\). Suy ra \(2^{2n}=2\left(C^0_{2n}+C^2_{2n}+......+C^{2n}_{2n}\right)\) hay \(C^0_{2n}+C^2_{2n}+C^4_{2n}+....+C^{2n}_{2n}=2^{n-1}\).
Biết n thỏa mãn \(3.C^1_n+3^2.C^2_n+3^3.C^3_n+..........+3^nC^n_n=4095\). Tìm hệ số chứa \(x^{10}\) trong khai triển \(\left(x^2+y\right)^n\). 6 7 12 18 Hướng dẫn giải: Xét khai triển \(\left(x+1\right)^n=C^0_nx^0+C^1_nx^1+..........+C^n_nx^n\). Thay x = 3 vào ta có: \(4^n=C^0_n.3^0+C^1_n3^1+..........+C^n_n3^n\). Vì vậy \(3^0C^0_n+3.C^1_n+3^2.C^2_n+3^3.C^3_n+..........+3^nC^n_n=4095+1\) hay \(4^n=4^6\Leftrightarrow n=6\). Số hạng tổng quát trong khai triển \(\left(x^2+y\right)^6\) là: \(C^k_6.\left(x^2\right)^k.y^{6-k}=C^k_6x^{2k}.y^{6-k}\). Ta có: \(2k=10\Leftrightarrow k=5\). Vậy hệ số chứa \(x^{10}\) trong khai triển \(\left(x^2+y\right)^6\) là: \(C^5_6=6\).
Khai triển đa thức \(P\left(x\right)=\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}x\right)^{10}=a_0.x^0+a_1.x^1+....+a_{10}.x^{10}\) Hệ số lớn nhất trong khai triển trên là: \(\dfrac{2^7}{3^{10}}.C^7_{10}\) \(\dfrac{4^7}{3^{10}}.C^7_{10}\) \(\dfrac{2^7}{3^{10}}.C^7_{10}+1\) \(\dfrac{3^7}{2^{10}}.C^7_{10}\) Hướng dẫn giải:
Biết số tự nhiên n thỏa mãn \(C^2_{n-1}+A^2_n+3n=91\). Giá trị của n là: n = 9 n = 3 n = 18 n = 8 Hướng dẫn giải: \(C^2_{n-1}+A^2_n+3n=127\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{2!}+n\left(n-1\right)+3n=127\) \(\Leftrightarrow n^2-3n+2+2n^2-2n+6n=254\) \(\Leftrightarrow3n^2+n-252=0\) \(\Leftrightarrow n=9\).
Tìm hệ số chứa \(x^3\) trong khai triển \(\left(\sqrt[3]{x}+2\right)^{12}\). 1760 8 1560 1780 Hướng dẫn giải: \(\left(\sqrt[3]{x}+2\right)^{12}=\sum_{k=1}^{12}C^k_{12}\left(\sqrt[3]{x}\right)^k.2^{12-k}\) \(=\sum_{k=1}^{12}C^k_{12}x^{\dfrac{k}{3}}.2^{12-k}\). Ta có \(\dfrac{k}{3}=3\Leftrightarrow k=9\). Hệ số chứa \(x^3\) là: \(C^9_{12}.2^{12-9}=1760\).
Có bao nhiêu số hạng là số hữu tỉ trong khai triển \(\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{4}\right)^{100}\) ? 9 10 11 12 Hướng dẫn giải: \(\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{4}\right)^{100}\) \(=\sum_{k=1}^{100}C^k_{100}.\left(\sqrt[3]{3}\right)^k.\left(\sqrt[4]{4}\right)^{100-k}\) \(=\sum\limits^{100}_{k=1}C^k_{100}3^{\dfrac{k}{3}}.4^{\dfrac{100-k}{4}}\) Để \(C^k_{100}3^{\dfrac{k}{3}}.4^{\dfrac{100-k}{4}}\) là một số hữa tỉ thì \(\dfrac{k}{3},\dfrac{100-k}{4}\) phải là các số tự nhiên. Suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}k⋮3\\k⋮4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow k=BC\left(3,4\right)=B\left(12\right)\) và \(0\le k\le100\). Suy ra \(k=\left\{0;12;24;36;48;60;72;84;96\right\}\). Có 9 k thỏa mãn hay có 9 số hạng là số hữu tỉ.
Một tập hợp A có n phần tử, \(n\ge4\). Biết số tập hợp con có 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con có 2 phần tử của A. Giá trị của n là: n = 18 n = 19 n = 20 n = 21 Hướng dẫn giải: Số tập hợp con có 4 phần tử của A là: \(C_n^4\). Số tập hợp con có 2 phần tử cuả A là: \(C_n^2\). Suy ra \(C_n^4=20C_n^2\)\(\Leftrightarrow\dfrac{n!}{4!\left(n-4\right)!}=20\dfrac{n!}{2!\left(n-2\right)!}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{24}=10.n\left(n-1\right)\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{24}=10\)\(\Leftrightarrow\left(n-2\right)\left(n-3\right)=240=15.16\). vậy n = 18.
Tìm hệ số không chứa x trong khai triển \(\left(x^3+\dfrac{1}{x}\right)^{12}\). 220 240 250 270 Hướng dẫn giải: \(\left(x^3+\dfrac{1}{x}\right)^{12}=\sum\limits^{12}_{k=1}C^k_{12}.x^{3k}.\left(\dfrac{1}{x}\right)^{12-k}\) \(=\sum\limits^{12}_{k=1}C^k_{12}x^{3k}.x^{k-12}\)\(=\sum\limits^{12}_{k=1}C^k_{12}x^{4k-12}\). Ta có: \(4k-12=0\Leftrightarrow k=3\), vậy hệ số của số hạng không chứa x là: \(C^3_{12}=220\).
Với n là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^1+C^2_n=55\), số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức \(\left(x^3+\dfrac{2}{x^2}\right)^n\) bằng: 322560 3360 80640 13440 Hướng dẫn giải: Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển của biểu thức \(\left(x^3+\dfrac{2}{x^2}\right)^n\) là: \(C^k_n\left(x^3\right)^k\left(\dfrac{2}{x^2}\right)^{n-k}=C^k_n.x^{3k}.\dfrac{2^{n-k}}{x^{2n-2k}}\) Để số hạng không chứa x thì \(3k=2n-2k\Rightarrow k=\dfrac{2n}{5}\) Ta có \(C_n^1+C^2_n=55\Leftrightarrow\dfrac{n!}{\left(n-1\right)!}+\dfrac{n!}{2!\left(n-2\right)!}=55\) \(n+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}=55\Leftrightarrow n^2+n-110=0\Leftrightarrow n=10\) Vậy nên k = 4. Từ đó ta có số hạng cần tìm là \(C^4_{10}.2^{10-4}=13440\)
Hệ số của $x^5$ trong khai triển biểu thức \(x\left(2x-1\right)^6+\left(3x-1\right)^8\) bằng 13368 -13368 13848 -13848 Hướng dẫn giải: \(x\left(2x-1\right)^6+\left(3x-1\right)^8\) CTTQ số hạng thứ k của \(\left(2x-1\right)^6\) là \(C^k_6\left(2x\right)^{6-k}\left(-1\right)^k=C^k_6.2^{6-k}.x^{6-k}.\left(-1\right)^k\) CTTQ số hạng thứ j của \(\left(3x-1\right)^8\) là \(C^j_8\left(3x\right)^{8-j}\left(-1\right)^j=C^j_8.3^{8-j}.x^{8-j}.\left(-1\right)^j\) Vậy hệ số của $x^5$ là: \(C^2_6.2^4-C^5_8.3^5=-13368\)