Tổng hợp lý thuyết và bài tập chuyên đề Nhị thức Niu-tơn

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Tính tổng \(S=C_{2n}^0+C^2_{2n}+.......+C^{2n}_{2n}\) .
    • \(2^{n-1}\)
    • \(2^n\)
    • \(2^{n+1}\)
    • \(2^{n-2}\)
    Hướng dẫn giải:

    Xét khai triển \(\left(x+1\right)^{2n}=C^0_{2n}x^0+C^1_{2n}x+C^2_{2n}x^2+..........+C^{2n-1}_{2n}x^{2n-1}+C^{2n}_{2n}x^{2n}\).
    Thay \(x=1\), ta có: \(2^{2n}=C^0_{2n}+C^1_{2n}+C^2_{2n}+..........+C^{2n-1}_{2n}+C^{2n}_{2n}\).
    Thay \(x=-1\), ta có: \(0=C^0_{2n}-C^1_{2n}+C^2_{2n}+..........-C^{2n-1}_{2n}+C^{2n}_{2n}\).
    Suy ra \(2^{2n}=2\left(C^0_{2n}+C^2_{2n}+......+C^{2n}_{2n}\right)\) hay \(C^0_{2n}+C^2_{2n}+C^4_{2n}+....+C^{2n}_{2n}=2^{n-1}\).
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Biết n thỏa mãn \(3.C^1_n+3^2.C^2_n+3^3.C^3_n+..........+3^nC^n_n=4095\). Tìm hệ số chứa \(x^{10}\) trong khai triển \(\left(x^2+y\right)^n\).
    • 6
    • 7
    • 12
    • 18
    Hướng dẫn giải:

    Xét khai triển \(\left(x+1\right)^n=C^0_nx^0+C^1_nx^1+..........+C^n_nx^n\). Thay x = 3 vào ta có:
    \(4^n=C^0_n.3^0+C^1_n3^1+..........+C^n_n3^n\).
    Vì vậy \(3^0C^0_n+3.C^1_n+3^2.C^2_n+3^3.C^3_n+..........+3^nC^n_n=4095+1\)
    hay \(4^n=4^6\Leftrightarrow n=6\).
    Số hạng tổng quát trong khai triển \(\left(x^2+y\right)^6\) là: \(C^k_6.\left(x^2\right)^k.y^{6-k}=C^k_6x^{2k}.y^{6-k}\).
    Ta có: \(2k=10\Leftrightarrow k=5\).
    Vậy hệ số chứa \(x^{10}\) trong khai triển \(\left(x^2+y\right)^6\) là: \(C^5_6=6\).
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Có bao nhiêu số hạng là số hữu tỉ trong khai triển \(\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{4}\right)^{100}\) ?
    • 9
    • 10
    • 11
    • 12
    Hướng dẫn giải:

    \(\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{4}\right)^{100}\) \(=\sum_{k=1}^{100}C^k_{100}.\left(\sqrt[3]{3}\right)^k.\left(\sqrt[4]{4}\right)^{100-k}\) \(=\sum\limits^{100}_{k=1}C^k_{100}3^{\dfrac{k}{3}}.4^{\dfrac{100-k}{4}}\)
    Để \(C^k_{100}3^{\dfrac{k}{3}}.4^{\dfrac{100-k}{4}}\) là một số hữa tỉ thì \(\dfrac{k}{3},\dfrac{100-k}{4}\) phải là các số tự nhiên.
    Suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}k⋮3\\k⋮4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow k=BC\left(3,4\right)=B\left(12\right)\) và \(0\le k\le100\).
    Suy ra \(k=\left\{0;12;24;36;48;60;72;84;96\right\}\).
    Có 9 k thỏa mãn hay có 9 số hạng là số hữu tỉ.
     
  7. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Một tập hợp A có n phần tử, \(n\ge4\). Biết số tập hợp con có 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con có 2 phần tử của A.
    Giá trị của n là:
    • n = 18
    • n = 19
    • n = 20
    • n = 21
    Hướng dẫn giải:

    Số tập hợp con có 4 phần tử của A là: \(C_n^4\).
    Số tập hợp con có 2 phần tử cuả A là: \(C_n^2\).
    Suy ra \(C_n^4=20C_n^2\)\(\Leftrightarrow\dfrac{n!}{4!\left(n-4\right)!}=20\dfrac{n!}{2!\left(n-2\right)!}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{24}=10.n\left(n-1\right)\)
    \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{24}=10\)\(\Leftrightarrow\left(n-2\right)\left(n-3\right)=240=15.16\).
    vậy n = 18.
     
  8. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  9. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Với n là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^1+C^2_n=55\), số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức \(\left(x^3+\dfrac{2}{x^2}\right)^n\) bằng:
    • 322560
    • 3360
    • 80640
    • 13440
    Hướng dẫn giải:

    Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển của biểu thức \(\left(x^3+\dfrac{2}{x^2}\right)^n\) là:
    \(C^k_n\left(x^3\right)^k\left(\dfrac{2}{x^2}\right)^{n-k}=C^k_n.x^{3k}.\dfrac{2^{n-k}}{x^{2n-2k}}\)
    Để số hạng không chứa x thì \(3k=2n-2k\Rightarrow k=\dfrac{2n}{5}\)
    Ta có \(C_n^1+C^2_n=55\Leftrightarrow\dfrac{n!}{\left(n-1\right)!}+\dfrac{n!}{2!\left(n-2\right)!}=55\)
    \(n+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}=55\Leftrightarrow n^2+n-110=0\Leftrightarrow n=10\)
    Vậy nên k = 4.
    Từ đó ta có số hạng cần tìm là \(C^4_{10}.2^{10-4}=13440\)
     
  10. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Hệ số của $x^5$ trong khai triển biểu thức \(x\left(2x-1\right)^6+\left(3x-1\right)^8\) bằng
    1. 13368
    2. -13368
    3. 13848
    4. -13848
    Hướng dẫn giải:

    \(x\left(2x-1\right)^6+\left(3x-1\right)^8\)
    CTTQ số hạng thứ k của \(\left(2x-1\right)^6\) là \(C^k_6\left(2x\right)^{6-k}\left(-1\right)^k=C^k_6.2^{6-k}.x^{6-k}.\left(-1\right)^k\)
    CTTQ số hạng thứ j của \(\left(3x-1\right)^8\) là \(C^j_8\left(3x\right)^{8-j}\left(-1\right)^j=C^j_8.3^{8-j}.x^{8-j}.\left(-1\right)^j\)
    Vậy hệ số của $x^5$ là: \(C^2_6.2^4-C^5_8.3^5=-13368\)