1. Căn bậc hai của số phức. • Định nghĩa : Số phức \(\omega\) gọi là căn bậc hai của số phức z nếu \(\omega^2=z\) • Nhận xét : Số thực a > 0 có hai căn bậc hai là \(\omega=\pm\sqrt{a}\). Số thực a < 0 có hai căn bậc hai là\(\omega=\pm i\sqrt{\left|a\right|}\)|. Mỗi số phức \(z\ne0\) luôn có hai căn bậc hai. • Cách tìm : Gọi \(\omega=x+yi\)(x, y ∈ R) ta có \(z=\omega^2=x^2-y^2+2xyi\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-y^2=a\\2xy=b\end{cases}\) Ví dụ: Tìm căn bậc hai của số phức 1 - 2i Giải: Gọi số phức cần tìm là a + bi, (a, b \(\in\mathbb{R}\)), suy ra: \(\left(a+bi\right)^2=1-2i\) \(\Leftrightarrow a^2+2abi+b^2i^2=1-2i\) \(\Leftrightarrow a^2-b^2+2abi=1-2i\) (chú ý \(i^2=-1\)) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-b^2=1\\2ab=-2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-b^2=1\\ab=-1\end{cases}\) Thay \(a=-\frac{1}{b}\) từ phương trình thứ hai vào phương trình đầu ta có: \(\frac{1}{b^2}-b^2=1\) => \(b^4+b^2-1=0\) => \(\left[\begin{array}{nghiempt}b^2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\b^2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\) (chú ý: b là số thực) Với \(b^2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) => \(\left[\begin{array}{nghiempt}b=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\\b=-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.\) Với \(b=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\) => \(a=-\frac{1}{b}=-\sqrt{\frac{2}{-1+\sqrt{5}}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\) Với \(b=-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\) => \(a=-\frac{1}{b}=\sqrt{\frac{2}{-1+\sqrt{5}}}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\) Vậy có hai số phức là căn bậc hai của 1 - 2i là: \(\pm\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\mp\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}i\) 2. Phương trình bậc hai nghiệm phức. Cho phương trình bậc hai: \(ax^2+bx+c=0\), với a, b, c là các số thực (có thể là số phức) và a khác 0. • Tính \(\Delta=b^2-4ac\) hoặc \(\Delta'=\left(b'\right)^2-ac\) • Trường hợp ∆ là số thực : Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm \(z=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\) Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép \(z=-\frac{b}{2a}\) Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm \(I=\frac{-b\pm i\sqrt{\left|\Delta\right|}}{2a}\) • Trường hợp ∆ là số phức : Ta tìm căn bậc hai \(\omega\) của ∆. Khi đó phương trình có hai nghiệm \(z=\frac{-b\pm\omega}{2a}\) Ví dụ 1: Giải phương trình hệ số thực sau: \(x^2+x+1=0\) Giải: \(\Delta=-3\), phương trình có hai nghiệm phức là: \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\end{array}\right.\) Ví dụ 2: Giải phương trình hệ số phức sau: \(x^2-2ix+i=0\) Giải: \(\Delta'=\left(-i\right)^2-4i=i^2-4i=-1-4i\) Ta tìm căn bậc hai của \(\Delta'\), giả sử a + bi (với a, b là số thực) là căn bậc hai của \(\Delta'\), => \(\left(a+bi\right)^2=-1-4i\) => \(a^2-b^2+2abi=-1-4i\) => \(\begin{cases}a^2-b^2=-1\\2ab=-4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-b^2=-1\\ab=-2\end{cases}\) Thay \(b=-\frac{2}{a}\) từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được: \(a^2-\frac{4}{b^2}=-1\) \(\Rightarrow a^4+a^2-4=0\) \(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a^2=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\\a^2=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\) chú ý \(a\in\mathbb{R}\) => \(\left[\begin{array}{nghiempt}a=\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\\a=-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\end{array}\right.\) Với \(a=\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\) => \(b=-\frac{2}{a}=-2.\sqrt{\frac{2}{\sqrt{17}-1}}=-2.\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{8}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}\) Với \(a=-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\) => \(b=-\frac{2}{a}=2.\sqrt{\frac{2}{\sqrt{17}-1}}=2.\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{8}}=\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}\) Vậy căn bậc hai của \(\Delta'\) là hai số phức sau: \(\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}-\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}i\) \(-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}+\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}i\) Nghiệm của phương trình bậc hai ban đầu là: \(i+\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}-\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}i\) ; \(i-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}+\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}i\)
Tìm căn bậc hai của số phức sau: \(4+6\sqrt{5}i.\) \(\pm\left(3+\sqrt{5}i\right)\) \(3+\sqrt{5}i;-3+\sqrt{5}i\) \(3+\sqrt{5}i;3-\sqrt{5}i\) \(3-\sqrt{5}i\) Hướng dẫn giải: Đặt w = x +yi (với x, y là các số thực) là một căn bậc hai của \(4+6\sqrt{5}i.\) Suy ra: \(\left(x+yi\right)^2=4+6\sqrt{5}i\) . Từ đó ta có: \(\begin{cases}x^2-y^2=4\\2xy=6\sqrt{5}\end{cases}\) Giải hệ trên ta tìm được \(\begin{cases}x=3\\y=\sqrt{5}\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x=-3\\y=-\sqrt{5}\end{cases}\)
Gọi \(z_1,z_2,z_3,z_4\) là các nghiệm của phương trình \(\left(z^2+2i\right)\left(z^2+1\right)=0\). Tính \(\left|z_1+z_2+z_3+z_4\right|\)? 2 1 0 3 Hướng dẫn giải: Cách 1: Nếu phương trình có nghiệm z = x + yi thì nõ cũng có nghiệm là z = -x - yi (vì tất cả sự xuất hiện của z đều là bậc chẵn). Vậy tổng các nghiệm luôn bằng 0 Cách 2: \(\left(z^2+2i\right)\left(z^2+1\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}z^2+2i=0\\z^2+1=0\end{array}\right.\) Th1: \(z^{^{ }2}+2i=0\Leftrightarrow z^2=-2i\) Đặt z = x+ yi với x, y là số thực. Ta có: \(\left(x+yi\right)^2=-2i\) \(\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi=-2i\) <=> \(\begin{cases}x^2-y^2=0\\2xy=2\end{cases}\) <=> \(\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x=-1\\y=-1\end{cases}\) Th2: \(z^2+1=0\Leftrightarrow z^2-i^2=0\Leftrightarrow\left(z-i\right)\left(z+i\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}z=i\\z=-i\end{array}\right.\). Ta có 4 nghiệm của phương trình là: 1 + i, -1 - i; i; +i. \(\left|1+i-1-i+i-i\right|=0\). Nhận xét các căn bậc hai của một số phức đối nhau. Vì vậy không cần tính toán phức tạp ta có thể nhận ra các cặp nghiệm của phương trình này đối nhau và tổng các nghiệm bằng 0.
Gọi \(z_1,z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình \(z^2+2z+10=0.\) Tính giá trị của biểu thức \(A=\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2.\) \(2\sqrt{10}\) 20 \(3\sqrt{10}\) 2 Hướng dẫn giải: Phương trình \(z^2+2z+10=0\) có \(\Delta'=1-10=-9=\left(3i\right)^2\). Từ đó phương trình có hai nghiệm là: \(z_1=-1+3i,z_2=-1-3i\). \(A=\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2=\left|-1+3i\right|^2+\left|-1-3i\right|^2\) \(=10+10=20.\)
Giải phương trình sau trên tập nghiệm phức : \(z^2+\left(3-2i\right)z+5-5i=0\) Phương trình có 2 nghiệm là: -1 + 3i và -2 - i. Phương trình có 2 nghiêm là: 1 - 3i và 2 + i. Phương trình có 2 nghiệm là: 2 + 2i và 3 +i. Phương trình có 2 nghiệm là: 3 + i và 2- i Hướng dẫn giải: \(\Delta=\left(3-2i\right)^2-4\left(5-5i\right)=9-12i+4i^2-20+20i\) \(=-15+8i=1+2.4i-16=1+2.4i+\left(4i\right)^2=\left(1+4i\right)^2\) Phương trình có hai nghiệm là: \(z_1=\frac{-3+2i+1+4i}{2}=-1+3i\) \(z_2=\frac{-3+2i-1-4i}{2}=-2-i\)
Kí hiệu \(z_1,z_2,z_3,z_4\) là bốn nghiệm phức của phương trình \(z^4-z^2-12=0\). Tính tổng: \(T=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\left|z_3\right|+\left|z_4\right|\) \(T=4\) \(T=2\sqrt{3}\) \(T=4+2\sqrt{3}\) \(T=2+2\sqrt{3}\) Hướng dẫn giải: \(z^4-z^2-12=0\) (\(\Delta=49\)) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}z^2=4\\z^2=-3\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}z=2;z=-2\\z=\sqrt{3}i;z=-\sqrt{3}i\end{array}\right.\) Bốn nghiệm là: \(2;-2;\sqrt{3}i;-\sqrt{3}i\) \(T=\left|2\right|+\left|-2\right|+\left|\sqrt{3}i\right|+\left|-\sqrt{3}i\right|\) \(=2+2+\sqrt{3}+\sqrt{3}=4+2\sqrt{3}\)
Tìm số phức z thỏa mãn: \(\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^4=1\). 0; -1; 1 0; 1 0; -1; 2 -1; 1; 2 Hướng dẫn giải: \(\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^4=1\Leftrightarrow\left[\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^2-1\right]\left[\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^2+1\right]=0\) TH1: \(\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^2=1\Leftrightarrow\frac{z+i}{z-i}=\pm1\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}z+i=z-i\\z+i=-z+i\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow z=0\) TH2: \(\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^2=-1\Leftrightarrow\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^2-i^2=0\Leftrightarrow\left(\frac{z+i}{z-i}-i\right)\left(\frac{z+i}{z-i}+i\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\frac{z+i}{z-i}=i\\\frac{z+i}{z-i}=-i\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}z+i=i\left(z-i\right)\\z+i=-i\left(z-i\right)\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}z\left(1-i\right)=-i^2-i\\z\left(1+i\right)=i^2-i\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}z\left(1-i\right)=1-i\\z\left(1+i\right)=-1-i\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}z=1\\z=-1\end{array}\right.\) Vậy các số phức z cần tìm là: 0; 1; -1.
Giải phương trình sau trên tập số phức: \(z^4+16=0\) Phương trình có 4 nghiệm là: \(\sqrt{2}+\sqrt{2}i,-\sqrt{2}-\sqrt{2}i,\sqrt{2}-\sqrt{2}i,-\sqrt{2}+\sqrt{2}i\) Phương trình có 4 nghiệm là: \(\sqrt{2}i,-\sqrt{2}i,2i,-2i\) Phương trình có 4 nghiệm là: \(\sqrt{2}+\sqrt{2}i;\sqrt{2}i-\sqrt{2};2i;-2i\) Phương trình có 4 nghiệm là: \(\sqrt{2}i,-\sqrt{2}i,4i,-4i\) Hướng dẫn giải: \(z^4+16=0\Leftrightarrow z^4-\left(4i\right)^2=0\Leftrightarrow\left(z^2-4i\right)\left(z^2+4i\right)=0\) TH1: \(z^2-4i=0\Leftrightarrow z^2=4i\) Gọi z = x + yi (với x, y là số thực) là một căn bậc hai của 4i ta có: \(x^2-y^2+2xyi=4i\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-y^2=0\\2xy=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\\xy=2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=y=\pm\sqrt{2}\) (chú ý: x và y là các số thực) Suy ra có 2 nghiệm trong trường hợp này: \(\sqrt{2}+\sqrt{2}i;-\sqrt{2}-\sqrt{2}i.\) TH2. \(z^2+4i=0\Leftrightarrow z^2=-4i\) Gọi z = x + yi (với x, y là số thực) là một căn bậc hai của -4i ta có: \(x^2-y^2+2xyi=-4i\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-y^2=0\\2xy=-4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\\xy=-2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\sqrt{2};y=-\sqrt{2}\\x=-\sqrt{2};y=\sqrt{2}\end{array}\right.\) (chú ý: x và y là các số thực) Suy ra phương có thêm 2 nghiệm trong trường hợp này: \(\sqrt{2}-\sqrt{2}i,-\sqrt{2}+\sqrt{2}i.\)
Tìm số phức thỏa mãn \(z.\overline{z}+3\left(z-\overline{z}\right)=4-3i\) \(z=\frac{\sqrt{15}}{2}-\frac{i}{2},z=\frac{-\sqrt{15}}{2}-\frac{i}{2}\) \(z=\frac{\sqrt{15}}{2}+\frac{i}{2},z=\frac{-\sqrt{15}}{2}-\frac{i}{2}\) \(z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2},z=\frac{-\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\) \(z=\frac{-\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2},z=\frac{-\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\) Hướng dẫn giải: Đặt z = x + yi (với x và y là các số thực.) => \(\overline{z}\) = x - yi \(z.\overline{z}=x^2+y^2,z-\overline{z}=2yi.\) Thay vào phương trình ta có: \(x^2+y^2+6yi=4-3i\) Ta có hệ sau: \(\begin{cases}x^2+y^2=4\\6y=-3\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{15}}{2}\\y=\frac{-1}{2}\end{cases}\) Vậy: \(z=\frac{\sqrt{15}}{2}-\frac{i}{2},z=\frac{-\sqrt{15}}{2}-\frac{i}{2}\).
Giải phương trình sau trên tập nghiệm phức: \(\left(z+3-i\right)^2-6\left(z+3-i\right)+13=0\) z = 3i hoặc z = -i z = 3i hoặc z = -3i z = i hoặc z = -i. z= -3i hoặc z = -i Hướng dẫn giải: Đặt \(x=z+3-i\). Phương trình trở thành: \(x^2-6x+13=0\). \(\Delta=36-52=-16=\left(4i\right)^2\) nên \(x=\frac{6\pm4i}{2}=3-2i\). Do đó: \(z+3-i=3\pm2i\) hay z = 3i hoặc z = -i là các nghiệm cần tìm.
