Giải phương trình sau trên tập số phức: \(\left(\frac{iz+3}{z-2i}\right)^2-3\frac{iz+3}{z-2i}-4=0\) Nghiệm là: \(z=\frac{-1+5i}{2},z=\frac{4+35i}{17}\) \(z=-1,z=4\) \(z=\frac{-1-5i}{2},z=\frac{4-35i}{17}\) \(z=-1,z=4i\) Hướng dẫn giải: Đặt \(w=\frac{iz+3}{z-2i}\) phương trình trở thành: \(w^2-3w-4=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}w=-1\\w=4\end{array}\right.\) Với w = -1 ta có \(\frac{iz+3}{z-2i}=-1\) \(\Leftrightarrow z=\frac{2i-3}{i+1}=\frac{\left(2i-3\right)\left(i-1\right)}{\left(i+1\right)\left(i-1\right)}=\frac{1-5i}{-2}=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i\) Với w = 4 ta có \(\frac{iz+3}{z-2i}=4\) \(\Leftrightarrow z=\frac{-8i-3}{i-4}=\frac{\left(-8i-3\right)\left(i+4\right)}{\left(i-4\right)\left(i+4\right)}=\frac{-4-35i}{-17}=\frac{4}{17}+\frac{35}{17}i\)
Tìm nghiệm phức của phương trình sau: \(\left(\left(3+i\right)\overline{z}+2+2i\right)\left(iz+\frac{2+i}{i}\right)=0\) \(z=\frac{-4-2i}{5},z=2+i.\) \(z=\frac{-4-5i}{5};z=2i\) \(z=\frac{-4+2i}{5};z=2+i.\) \(z=\frac{-4+2i}{5};z=2i\) Hướng dẫn giải: \(\left(\left(3+i\right)\overline{z}+2+2i\right)\left(iz+\frac{2+i}{i}\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\left(3+i\right)\overline{z}+2+2i=0\\iz+\frac{2+i}{i}=0\end{array}\right.\) TH1: \(\left(3+i\right)\overline{z}+2+2i=0\Leftrightarrow\overline{z}=-\frac{2+2i}{3+i}=-\frac{\left(2+2i\right)\left(3-i\right)}{\left(3+i\right)\left(3-i\right)}=-\frac{8+4i}{10}=\frac{-4-2i}{5}\) suy ra \(z=\frac{-4+2i}{5}\) TH2: \(iz+\frac{2+i}{i}=0\Leftrightarrow z=-\frac{2+i}{i^2}=2+i\).
Gọi \(z_1,z_2,z_3,z_4\) lần lượt là các nghiệm của phương trình: \(8z^4+8z^3=z+1\) Tính \(\left|z_1\right|.\left|z_2\right|.\left|z_3\right|.\left|z_4\right|\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{16}\) Hướng dẫn giải: \(8z^4+8z^3=z+1\Leftrightarrow8z^3\left(z+1\right)-\left(z+1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left(z+1\right)\left[8z^3-1\right]=0\) \(\Leftrightarrow\left(z+1\right)\left(2z-1\right)\left(4z^2+2z+1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left(z+1\right)\left(2z-1\right)\left[z^2+2z+1+3z^2\right]=0\) \(\Leftrightarrow\left(z+1\right)\left(2z-1\right)\left[\left(z+1\right)^2-\left(\sqrt{3}zi\right)^2\right]=0\) \(\Leftrightarrow\left(z+1\right)\left(2z-1\right)\left(z+1-\sqrt{3}zi\right)\left(z+1+\sqrt{3}zi\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}z+1=0\\2z-1=0\\z+1-\sqrt{3}zi=0\\z+1+\sqrt{3}zi=0\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}z=-1\\z=\frac{1}{2}\\z=\frac{-1}{1-\sqrt{3}i}\\z=\frac{-1}{1+\sqrt{3}i}\end{array}\right.\) Vậy \(\left|z_1\right|.\left|z_2\right|.\left|z_3\right|.\left|z_4\right|=\left|-1.\right|.\left|\frac{1}{2}\right|.\left|\frac{-1}{1-\sqrt{3}i}\right|.\left|\frac{-1}{1+\sqrt{3}i}\right|\) \(=\left|-1.\frac{1}{2}.\frac{-1}{1-\sqrt{3}i}.\frac{-1}{1+\sqrt{3}i}\right|\) \(=\left|-\frac{1}{2}.\frac{1}{1-3i^2}\right|=\frac{1}{8}\)
Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: \(\frac{\left|z\right|^2}{\overline{z}}+iz+\frac{z-i}{1-i}=0\) \(z=1-\sqrt{3}i\) \(z=5\) \(z=-21+3\sqrt{2}i\) \(z=\frac{i}{3}\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(z.\overline{z}=\left|z\right|^2\) (vì nếu \(z=x+yi\) thì \(\left(x+yi\right)\left(x-yi\right)=x^2+y^2=\left|z\right|^2\)) Vậy: \(\frac{\left|z\right|^2}{\overline{z}}+iz+\frac{z-i}{1-i}=0\) \(\Leftrightarrow\frac{z.\overline{z}}{\overline{z}}+iz+\frac{\left(z-i\right)\left(1+i\right)}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)}=0\) \(\Leftrightarrow z+iz+\frac{z+iz-i-i^2}{1-i^2}=0\) \(\Leftrightarrow z+iz+\frac{z+iz-i-i^2}{2}=0\) \(\Leftrightarrow\frac{2z+2iz+z+iz-i+1}{2}=0\) \(\Leftrightarrow3z+3iz-i+1=0\) \(\Leftrightarrow3\left(1+i\right)z=i-1\) \(\Leftrightarrow z=\frac{1}{3}\frac{i-1}{i+1}\) \(\Leftrightarrow z=\frac{1}{3}\frac{\left(i-1\right)^2}{\left(i+1\right)\left(i-1\right)}\) \(\Leftrightarrow z=\frac{1}{3}\frac{i^2-2i+1}{i^2-1}\) \(\Leftrightarrow z=\frac{1}{3}\frac{-2i}{-2}\) \(\Leftrightarrow z=\frac{i}{3}\)
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện: \(z^2+3\overline{z}-2z.\overline{z}=0\) 0 2 4 1 Hướng dẫn giải: Giả sử z = x + yi, với x, y là số thực, khi đó: \(z^2+3\overline{z}-2z.\overline{z}=0\) \(\Leftrightarrow\left(x+yi\right)^2+3\left(x-yi\right)-2\left(x+yi\right).\left(x-yi\right)=0\) \(\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi+3x-3yi-2\left(x^2+y^2\right)=0\) \(\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi+3x-3yi-2\left(x^2+y^2\right)=0\) \(\Leftrightarrow-x^2-3y^2+3x+\left(2xy-3y\right)i=0\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}-x^2-3y^2+3x=0\\2xy-3y=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}-x^2-3y^2+3x=0\\\left(2x-3\right)y=0\end{cases}\) Từ phương trình thứ hai suy ra \(y=0\) hoặc \(x=\frac{3}{2}\) *) Với \(y=0\) thay vào phương trình thứ nhất ta có \(x=0\) hoặc \(x=3\), hay là ta có 2 số phức: \(z=0\) và \(z=3\) *) Với \(x=\frac{3}{2}\) thay vào phương trình thứ nhất ta có: \(y=\frac{\sqrt{3}}{2}\) hoặc \(y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), hay là ta có 2 số phức tương ứng là: \(z=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,z=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\) Vậy có 4 số phức khác nhau thỏa mãn đẳng thức đã cho là: \(z=0;z=3;z=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i;z=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Căn bậc hai của \(-2\) là \(i\sqrt{2}\) Căn bậc hai của \(-3\) là \(-i\sqrt{3}\) Căn bậc hai của 5 là \(\pm\sqrt{5}+0i\) Căn bậc hai của \(-1\) là \(i\) Hướng dẫn giải: Chú ý: - Căn bậc hai của -2 là \(\pm i\sqrt{2}\). - Căn bậc hai của \(-1\) là \(\pm i\)
Tính tổng các môđun các nghiệm của phương trình: \(x^4-6x^2-16=0\) . \(2\sqrt{2}\) \(6\sqrt{2}\) \(-4\sqrt{2}\) \(2\sqrt{3}\) Hướng dẫn giải: Phương trình trùng phương cho nghiệm là: \(\left[\begin{array}{nghiempt}x^2=8\\x^2=-2\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\pm2\sqrt{2}\\x=\pm i\sqrt{2}\end{array}\right.\) Vậy tổng các mô đun của các nghiệm là: \(\left|2\sqrt{2}\right|+\left|-2\sqrt{2}\right|+\left|i\sqrt{2}\right|+\left|-i\sqrt{2}\right|\) \(=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2}\) \(=6\sqrt{2}\)
Tính tổng các nghịch đảo các nghiệm của phương trình \(x^4-7x^2-8=0\). \(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\) \(2\sqrt{2}\) \(0\) \(-2\) Hướng dẫn giải: Phương trình trùng phương cho các nghiệm là: \(\left[\begin{array}{nghiempt}x^2=-1\\x^2=8\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\pm i\\x=\pm2\sqrt{2}\end{array}\right.\) Tổng các nghịch đảo các nghiệm là: \(\frac{1}{i}+\frac{1}{-i}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{-2\sqrt{2}}=0\)
Tìm khẳng định sai. Phương trình \(x^2-4x+9=0\) vô nghiệm Phương trình \(x^2+x-3=0\) có hai nghiệm trái dấu Phương trình \(x^2=-2\) có hai nghiệm \(\pm i\sqrt{2}\) Phương trình \(x^4-4x^2=5\) có 4 nghiệm phức Hướng dẫn giải: Trên tập số phức, mọi phương trình đều có nghiệm.
Cho phương trình bậc hai với hệ số thực \(az^2+bz+c=0,\left(a\ne0\right)\). Xét trên tập số phức, khẳng định nào sau đây sai? Phương trình bậc hai đã cho luôn có nghiệm Tổng hai nghiệm của phương trình đã cho là \(-\frac{b}{a}\) Tích hai nghiệm của phương trình đã cho là \(\frac{c}{a}\) Nếu \(\Delta=b^2-4ac< 0\) thì phương trình đã cho vô nghiệm Hướng dẫn giải: Phương trình bậc hai trên tập số phức luôn có nghiệm, căn bậc hai của số âm \(\Delta\) luôn tồn tại trên tập số phức.
