Gọi M là điểm biểu diễn số phức \(w=\frac{z-\overline{z}+1}{z^2}\) , trong đó z là số phức thỏa mãn \(\left(1-i\right)\left(z+2i\right)=2-i+3z\) Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho \(\left(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{ON}\right)=2\phi\) , trong đó \(\phi=\left(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM}\right)\) là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia \(\overrightarrow{OM}\) . Điểm N nằm trong góc phần tư nào? Góc phần tư (I). Góc phần tư (II). Góc phần tư (III). Góc phần tư (IV). Hướng dẫn giải: Ta có: \(\left(1-i\right)\left(z+2i\right)=2-i+3z\) \(\Leftrightarrow\left(1-i\right)z-3z=2-i-2i\left(1-i\right)\) \(\Leftrightarrow\left(1-i-3\right)z=2-i-2i+2i^2\) \(\Leftrightarrow\left(-i-2\right)z=-3i\) (chú ý \(i^2=-1\)) \(\Leftrightarrow z=\frac{3i}{i+2}\) \(\Leftrightarrow z=\frac{3i\left(i-2\right)}{\left(i+2\right)\left(i-2\right)}=\frac{-3-6i}{-5}=\frac{3+6i}{5}\) => \(w=\frac{\frac{3+6i}{5}-\frac{3-6i}{5}+1}{\left(\frac{3+6i}{5}\right)^2}=\frac{\frac{5+12i}{5}}{\frac{-27+36i}{25}}=\frac{5}{9}.\frac{5+12i}{-3+4i}\) \(=\frac{5}{9}.\frac{\left(5+12i\right)\left(-3-4i\right)}{\left(-3+4i\right)\left(-3-4i\right)}=\frac{5}{9}.\frac{33-56i}{25}\) \(=\frac{33}{45}-\frac{56}{45}i\) Điểm M biểu diễn \(\phi\) nên \(M\left(\frac{33}{45};-\frac{56}{45}\right)\) => \(\tan\phi=\frac{y_M}{x_M}=-\frac{56}{33}\) Áp dụng công thức tính \(\sin\left(2\phi\right),\cos\left(2\phi\right)\) theo \(\tan\phi\) ta có: \(\sin\left(2\phi\right)=\frac{2\tan\phi}{1+\tan^2\phi}=\frac{2.\left(-\frac{56}{11}\right)}{1+\frac{56^2}{11^2}}=\frac{-2047}{4225}\) \(\cos\left(2\phi\right)=\frac{1-\tan^2\phi}{1+\tan^2\phi}=\frac{1-\frac{56^2}{11^2}}{1+\frac{56^2}{11^2}}=-\frac{3696}{4225}\) => Góc \(2\phi\) nằm trong góc phần tư thứ (III).
Kí hiệu \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \(4z^2-16z+17=0\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \(w=iz_0\) ? \(M_1\left(\frac{1}{2};2\right)\) \(M_2\left(-\frac{1}{2};2\right)\) \(M_3\left(-\frac{1}{4};1\right)\) \(M_4\left(\frac{1}{4};1\right)\) Hướng dẫn giải: \(4z^2-16z+17=0\) Có \(\Delta'=-4\) và hai nghiệm là \(\left\{\frac{8+2i}{4};\frac{8-2i}{4}\right\}\) Suy ra \(z_0=\frac{8+2i}{4}=2+\frac{1}{2}i\) \(\Rightarrow w=i.\left(2+\frac{1}{2}i\right)=-\frac{1}{2}+2i\) Điểm biểu diễn \(w\) là \(M_2\left(-\frac{1}{2};2\right)\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng: Trong C, căn bậc hai của -5 là \(\sqrt{5}i\) Trong C, căn bậc hai của \(-\pi\) là \(i\sqrt{\pi}\) Trong C, căn bậc hai của 5 là \(\pm\sqrt{5}\) Trong C, căn bậc hai của - 1 là i Hướng dẫn giải: Trong C, một số thực bất kì có hai căn bậc hai đối nhau nên đáp án A; B; D sai. Chỉ có C đúng vì 5 có hai căn bậc hai là: \(\pm\sqrt{5}+0i\).
Tính tổng nghịch đảo các nghiệm của phương trình sau: \(6x^4+9x^2+15=0\). \(\dfrac{1}{2}+i\) \(2\sqrt{2}\) 0 \(-2\)
Cho phương trình bậc hai với hệ số thực \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\). Xét trên tập số phức khẳng định nào sau đây sai? Phương trình đã cho luôn có nghiệm Tổng hai nghiệm của phương trình đã cho là \(\dfrac{-b}{a}\) Tích của hai nghiệm đã cho là \(\dfrac{c}{a}\) Nếu \(\Delta=b^2-4ac< 0\) thì phương trình đã cho vô nghiệm
Gọi \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình \(4z^2-4z+3=0\). Tính giá trị của biểu thức \(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\). \(3\sqrt{2}\) \(2\sqrt{3}\) \(3\) \(\sqrt{3}\) Hướng dẫn giải: \(4z^2-4z+3=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z_1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\\z_2=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\end{matrix}\right.\) Vậy nên \(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{3}\)