Tổng hợp lý thuyết và bài tập chuyên đề Phương trình bậc hai với hệ số thực

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Gọi M là điểm biểu diễn số phức \(w=\frac{z-\overline{z}+1}{z^2}\) , trong đó z là số phức thỏa mãn
    \(\left(1-i\right)\left(z+2i\right)=2-i+3z\)
    Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho \(\left(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{ON}\right)=2\phi\) , trong đó \(\phi=\left(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM}\right)\) là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia \(\overrightarrow{OM}\) . Điểm N nằm trong góc phần tư nào?
    • Góc phần tư (I).
    • Góc phần tư (II).
    • Góc phần tư (III).
    • Góc phần tư (IV).
    Hướng dẫn giải:

    Ta có:
    \(\left(1-i\right)\left(z+2i\right)=2-i+3z\)
    \(\Leftrightarrow\left(1-i\right)z-3z=2-i-2i\left(1-i\right)\)
    \(\Leftrightarrow\left(1-i-3\right)z=2-i-2i+2i^2\)
    \(\Leftrightarrow\left(-i-2\right)z=-3i\) (chú ý \(i^2=-1\))
    \(\Leftrightarrow z=\frac{3i}{i+2}\)
    \(\Leftrightarrow z=\frac{3i\left(i-2\right)}{\left(i+2\right)\left(i-2\right)}=\frac{-3-6i}{-5}=\frac{3+6i}{5}\)
    => \(w=\frac{\frac{3+6i}{5}-\frac{3-6i}{5}+1}{\left(\frac{3+6i}{5}\right)^2}=\frac{\frac{5+12i}{5}}{\frac{-27+36i}{25}}=\frac{5}{9}.\frac{5+12i}{-3+4i}\)
    \(=\frac{5}{9}.\frac{\left(5+12i\right)\left(-3-4i\right)}{\left(-3+4i\right)\left(-3-4i\right)}=\frac{5}{9}.\frac{33-56i}{25}\)
    \(=\frac{33}{45}-\frac{56}{45}i\)
    Điểm M biểu diễn \(\phi\) nên \(M\left(\frac{33}{45};-\frac{56}{45}\right)\)
    => \(\tan\phi=\frac{y_M}{x_M}=-\frac{56}{33}\)
    Áp dụng công thức tính \(\sin\left(2\phi\right),\cos\left(2\phi\right)\) theo \(\tan\phi\) ta có:
    \(\sin\left(2\phi\right)=\frac{2\tan\phi}{1+\tan^2\phi}=\frac{2.\left(-\frac{56}{11}\right)}{1+\frac{56^2}{11^2}}=\frac{-2047}{4225}\)
    \(\cos\left(2\phi\right)=\frac{1-\tan^2\phi}{1+\tan^2\phi}=\frac{1-\frac{56^2}{11^2}}{1+\frac{56^2}{11^2}}=-\frac{3696}{4225}\)
    => Góc \(2\phi\) nằm trong góc phần tư thứ (III).
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Kí hiệu \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \(4z^2-16z+17=0\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \(w=iz_0\) ?
    • \(M_1\left(\frac{1}{2};2\right)\)
    • \(M_2\left(-\frac{1}{2};2\right)\)
    • \(M_3\left(-\frac{1}{4};1\right)\)
    • \(M_4\left(\frac{1}{4};1\right)\)
    Hướng dẫn giải:

    \(4z^2-16z+17=0\)
    Có \(\Delta'=-4\) và hai nghiệm là \(\left\{\frac{8+2i}{4};\frac{8-2i}{4}\right\}\)
    Suy ra \(z_0=\frac{8+2i}{4}=2+\frac{1}{2}i\)
    \(\Rightarrow w=i.\left(2+\frac{1}{2}i\right)=-\frac{1}{2}+2i\)
    Điểm biểu diễn \(w\) là \(M_2\left(-\frac{1}{2};2\right)\).
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:
    • Trong C, căn bậc hai của -5 là \(\sqrt{5}i\)
    • Trong C, căn bậc hai của \(-\pi\) là \(i\sqrt{\pi}\)
    • Trong C, căn bậc hai của 5 là \(\pm\sqrt{5}\)
    • Trong C, căn bậc hai của - 1 là i
    Hướng dẫn giải:

    Trong C, một số thực bất kì có hai căn bậc hai đối nhau nên đáp án A; B; D sai.
    Chỉ có C đúng vì 5 có hai căn bậc hai là: \(\pm\sqrt{5}+0i\).
     
  4. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
  5. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Cho phương trình bậc hai với hệ số thực \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\).
    Xét trên tập số phức khẳng định nào sau đây sai?
    • Phương trình đã cho luôn có nghiệm
    • Tổng hai nghiệm của phương trình đã cho là \(\dfrac{-b}{a}\)
    • Tích của hai nghiệm đã cho là \(\dfrac{c}{a}\)
    • Nếu \(\Delta=b^2-4ac< 0\) thì phương trình đã cho vô nghiệm
     
  6. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Gọi \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình \(4z^2-4z+3=0\). Tính giá trị của biểu thức \(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\).
    • \(3\sqrt{2}\)
    • \(2\sqrt{3}\)
    • \(3\)
    • \(\sqrt{3}\)
    Hướng dẫn giải:

    \(4z^2-4z+3=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z_1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\\z_2=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\end{matrix}\right.\)
    Vậy nên \(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{3}\)