Cho hai đường thẳng \(d_1:\frac{x-3}{-2}=\frac{y-6}{2}=\frac{z-1}{1}\) và \(d_2:\begin{cases}x=t\\y=-t\\z=2\end{cases}\). Tìm đường thẳng đi qua A ( 0; 1; 1) , vuông góc với \(d_1\) và cắt \(d_2\) có phương trình là: \(\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-1}{4}\) \(\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{4}\) \(\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{-3}=\frac{z-1}{4}\) \(\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-1}{4}\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng cần tìm vuông góc với \(d_1\) nên nó nằm trên mặt phẳng đi qua A và có vecto pháp tuyến là vecto chỉ phương của \(d_1\), vậy đường thẳng cần tìm nằm trên mặt phẳng sau: \(-2\left(x-0\right)+2\left(y-1\right)+1.\left(z-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow-2x+2y+z-3=0\) Gọi M(x;y;z) là giao của đường thẳng cần tìm với đường thẳng \(d_2\), suy ra (x;y;z) thỏa mãn: \(\begin{cases}-2x+2y+z-3=0\\x=t\\y=-t\\z=2\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}t=-\frac{1}{4}\\x=-\frac{1}{4}\\y=\frac{1}{4}\\z=2\end{cases}\) Vậy \(M\left(-\frac{1}{4};\frac{1}{4};2\right)\) Đường thẳng cần tìm là AM có phương trình là: \(\frac{x-0}{-\frac{1}{4}-0}=\frac{y-1}{\frac{1}{4}-1}=\frac{z-1}{2-1}\) \(\Leftrightarrow\frac{x}{-\frac{1}{4}}=\frac{y-1}{-\frac{3}{4}}=\frac{z-1}{1}\) \(\Leftrightarrow\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-1}{4}\)
Tìm điểm đối xứng của A (-2; 3; -4 ) qua đường thẳng d: \(\frac{x+2}{-3}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{1}\). \(B\left(4;-3;2\right)\) \(B\left(1;1;1\right)\) \(B\left(4;3;2\right)\) \(B\left(1;-3;2\right)\) Hướng dẫn giải: Véc tơ chỉ phương của d là: \(\overrightarrow{u}\left(-3;-2;1\right)\). Hạ \(AH\perp d\) thì \(H\in d\Rightarrow H\left(-2-3t;-2-2t;t\right)\). Ta có: \(\overrightarrow{AH.}\overrightarrow{u}=0\) \(\Rightarrow\) \(\left(-2-3t+2;-2-2t-3;t+4\right).\left(-3;-2;1\right)=0\) \(\Rightarrow-3\left(-3t\right)-2\left(-2t-5\right)+t+4=0\) \(\Rightarrow14t+14=0\) \(\Rightarrow t=-1\) Vậy\(H\left(1;0;-1\right)\). Điểm B đối xứng của A qua d nên H là trung điểm của AB. \(\begin{cases}x_H=\frac{x_A+x_B}{2}\\y_H=\frac{y_A+y_B}{2}\\z_H=\frac{z_A+z_B}{2}\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}x_B=2x_H-x_A\\y_B=2y_H-y_A\\z_B=2z_H-z_A\end{cases}\) Vậy điểm đối xứng với điểm A là: \(B\left(4;-3;2\right)\).
Trong không gian cho hệ tọa độ Oxyz cho \(\Delta:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{-1}\) và cho \(A\left(1;2;-1\right)\), \(B\left(3;-1;-5\right)\). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt \(\Delta\) sao cho khoảng cách từ B tới d là lớn nhất. \(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{-1}\) \(\frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{6}=\frac{z+1}{-3}\) \(\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+3}{-1}\) \(\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{2}\) Hướng dẫn giải: Giả sử d cắt \(\Delta\) tại M, vì \(M\in\Delta\) \(\Rightarrow M\left(-1+2t;3t;-1-t\right)\Rightarrow\overrightarrow{AM}\left(-2+2t;3t-2;-t\right)\). Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(3-1;-1-2;-5+1\right)=\left(2;-3;-4\right)\). Gọi H là hình chiếu của B trên d. Khi đó \(d\left(B,d\right)=BH\le BA.\) Vậy \(d\left(B,d\right)\) lớn nhất bằng BA khi điểm H trùng với điểm A, hay là khi AM vuông góc với AB. \(\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=0\) \(\Leftrightarrow2\left(-2+2t\right)-3\left(3t-2\right)+4t=0\) \(\Leftrightarrow t=2\). Vậy M (3; 6; -3) . Vì d đi qua A(1;2;-1) và M(3;6;-3) nên phương trình d là: \(\frac{x-1}{3-1}=\frac{y-2}{6-2}=\frac{z+1}{-3+1}\) \(\Leftrightarrow\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z+1}{-2}\) \(\Leftrightarrow\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{-1}\)
Cho hai điểm \(A\left(1;4;2\right),B\left(-1;2;4\right)\) và đường thẳng \(\Delta:\frac{x-1}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{2}\). Điểm \(M\in\Delta\) mà \(MA^2+MB^2\) nhỏ nhất có tọa độ là: \(M\left(-1;0;4\right)\) \(M\left(0;-1;2\right)\) \(M\left(1;-2;0\right)\) \(M\left(2;-3;-2\right)\) Hướng dẫn giải: Lấy \(M\in\Delta\Rightarrow M\left(1-t,-2+t,2t\right)\) => \(\overrightarrow{MA}=\left(1-1+t;4+2-t;2-2t\right)=\left(t;6-t;2-2t\right)\) \(\overrightarrow{MB}=\left(-1-1+t;2+2-t;4-2t\right)=\left(t-2;4-t;4-2t\right)\) Vậy: \(MA^2+MB^2=t^2+\left(6-t\right)^2+\left(2-2t\right)^2+\left(t-2\right)^2+\left(4-t\right)^2+\left(4-2t\right)^2\) \(=12t^2-48t+76\) \(=12\left(t^2-4t+4\right)+28\) \(=12\left(t-2\right)^2+28\) \(MA^2+MB^2\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow t=2\). Suy ra: \(M\left(-1;0;4\right)\)
Tính khoảng cách của cặp đường thẳng sau: \(d_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3},\) \(d_2:\begin{cases}x=2-t\\y=-1+t\\z=t\end{cases}\). \(\frac{\sqrt{26}}{13}\) \(\sqrt{13}\) 13 \(\frac{\sqrt{26}}{2}\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng \(d_1\) đi qua \(M_1\left(1;2;3\right)\) và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1}\left(1;2;3\right)\). Đường thẳng \(d_2\) đi qua \(M_2\left(2;-1;0\right)\) và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_2}\left(-1;1;1\right)\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là: \(kc\left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right].\overrightarrow{M_1M_2}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]\right|}\) Với \(\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=\left(\left|\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right|,\left|\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right|,\left|\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(-1;-4;3\right)\) \(\overrightarrow{M_1M_2}=\left(2-1;-1-2;0-3\right)=\left(1;-3;-3\right)\) Vậy \(kc\left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|\left(-1;-4;3\right).\left(1;-3;-3\right)\right|}{\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-4\right)^2+3^2}}=\frac{\left(-1\right).1+\left(-4\right)\left(-3\right)+3.\left(-3\right)}{\sqrt{26}}=\frac{2}{\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}}{13}\)
Với giá trị nào của x thì phân thức $f(x)=\frac{-2x+1}{4x^{2}-12x+9} > 0$? $x<\dfrac{1}{2}$ $x>\dfrac{1}{2}$ $x>\dfrac{3}{2}$ $x<\dfrac{3}{2}$ Hướng dẫn giải: Ta có $f(x)=\frac{-2x+1}{4x^{2}-12x+9}=\frac{-2x+1}{(2x-3)^{2}}\\$ Điều kiện để phân thức có nghĩa \(x\ne\frac{3}{2}\). Do mẫu thức luôn lớn hơn 0 nên $f(x)>0 \Leftrightarrow -2x+1 >0 \Leftrightarrow x<\frac{1}{2}$ (thỏa mãn điều kiện \(x\ne\frac{3}{2}\))
Hai đường thẳng : \(\left(d_1\right):\begin{cases}x-y-z-7=0\\3x-4y-11=0\end{cases}\) và \(\left(d_2\right):\begin{cases}x+2y-z-1=0\\x+y+1=0\end{cases}\) cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của A là : A (1; -2; -4) A (-1; -2; -4) A (1; 2; -4) A (1; -2 ; 4) Hướng dẫn giải:
Hai đường thẳng : \(\left(d_1\right):\frac{x-1}{4}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{3}\) và \(\left(d_2\right):\begin{cases}4x-5y-9=0\\3x-5z+7=0\end{cases}\) cắt nhau tại B. Tọa độ của B là : B (1; 1; 2) B (1; -1; -2) B (1; -1; 2) B( -1; 1; -2) Hướng dẫn giải:
Hai đường thẳng \(\left(d_1\right):\begin{cases}x=2t-3\\y=3t-2\\z=4t+6\end{cases}\) và \(\left(d_2\right):\begin{cases}x=5+t'\\y=-1-4t'\\z=20+t'\end{cases}\) cắt nhau tại (C). Tọa độ điểm C là : C (3; -7; 18) C (3; 7; 18) C (3; -7; -18) C (-3; 7; 18) Hướng dẫn giải:
Cho đường thẳng \(\left(\Delta\right):\begin{cases}x+2y-3z+1=0\\2x-y+z-5=0\end{cases}\) Tìm kết quả sai ? (\(\Delta\)) có phương trình tham số : \(\begin{cases}x=t\\y=-14+7t\\z=-9+5t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=t+2\\y=7t\\z=1+5t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=\frac{9}{5}+t\\y=-\frac{7}{5}+7t\\z=5t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=2-5t\\y=3+2t\\z=-1+t\end{cases}\) Hướng dẫn giải: \(\left(\Delta\right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=\left(-1;-7,-5\right)\) nên trong (d) thì vectơ chỉ phương là (-5;2;1) không cùng phương với \(\overrightarrow{a}\) Vậy (D) là câu sai
